Производная произведения и частного: формулы

Производная произведения двух функций - одна из базовых формул дифференциального исчисления. Её вывел Готфрид Лейбниц в XVII веке, и с тех пор она носит его имя. Если знаете только правило степеней и основные производные, но не знаете правило Лейбница, вычислить $(x^2 \sin x)'$ практически невозможно без подстановки. Ниже - вывод обеих формул, геометрический смысл через площадь прямоугольника и интерактивный калькулятор, где можно проверить любую точку.

Правило Лейбница: формула производной произведения

Пусть $u(x)$ и $v(x)$ - дифференцируемые функции. Тогда их произведение также дифференцируемо, и

$$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.$$

Словами: производная произведения равна сумме двух слагаемых - «производная первого умножить на второй» плюс «первый умножить на производную второго». Порядок важен: оба слагаемых нужны, нельзя написать просто $u'v'$.

Рассчитать для своей задачи

Вывод через приращения

Возьмём приращение $\Delta x$ и запишем $\Delta(uv) = (u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv$:

$$\Delta(uv) = u \cdot \Delta v + v \cdot \Delta u + \Delta u \cdot \Delta v.$$

Делим на $\Delta x$ и устремляем $\Delta x \to 0$. Произведение $\Delta u \cdot \Delta v / \Delta x \to 0$, потому что $\Delta u \to 0$ при непрерывности $u$. Остаётся

$$(uv)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = u' v + u v'.$$

Именно это видно в Manim-анимации на обложке: прямоугольник $u \times v$ увеличивается - появляются золотая полоска $\delta u \cdot v$ (вклад $u'v$) и сиреневая $u \cdot \delta v$ (вклад $uv'$). Уголок $\delta u \cdot \delta v$ - второй порядок малости, он исчезает при $\Delta x \to 0$.

Формула производной частного

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}, \quad v \neq 0.$$

Знак минус в числителе - принципиальное отличие от произведения. Его легко запомнить мнемонически: «числитель убывает» - деление «тормозит» рост функции, поэтому вклад $v'$ входит со знаком минус.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы частного

Запишем $u/v = u \cdot v^{-1}$ и применим правило произведения совместно с цепным правилом $(v^{-1})' = -v'/v^2$:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = u' \cdot v^{-1} + u \cdot \left(-\frac{v'}{v^2}\right) = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$$

Это более строгий вывод, чем работа с приращениями частного, и он показывает, откуда берётся $v^2$ в знаменателе - из дифференцирования $v^{-1}$.

Примеры вычислений

Пример 1. Найти $(x^2 \sin x)'$.

Здесь $u = x^2$, $v = \sin x$, $u' = 2x$, $v' = \cos x$:

$$(x^2 \sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x.$$

Пример 2. Найти $(\tan x)' = (\sin x / \cos x)'$.

$$(\tan x)' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Пример 3. Найти производную $f(x) = e^x \ln x$.

$$f'(x) = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \left(\ln x + \frac{1}{x}\right).$$

Геометрический смысл: прямоугольник

Правило Лейбница красиво объясняется геометрически. Рассмотрим прямоугольник со сторонами $u(x)$ и $v(x)$. Его площадь $S = u \cdot v$. При увеличении $x$ на $\Delta x$ стороны вырастают на $\Delta u$ и $\Delta v$, а площадь прирастает на

$$\Delta S \approx \Delta u \cdot v + u \cdot \Delta v$$

(угловой прямоугольник $\Delta u \cdot \Delta v$ мал второго порядка). Разделив на $\Delta x$ и взяв предел, получаем правило Лейбница. Именно это показывает анимированная обложка статьи.

Производная трёх и более множителей

Правило Лейбница обобщается на произвольное число множителей по индукции. Для трёх функций:

$$(u \cdot v \cdot w)' = u'vw + uv'w + uvw'.$$

Каждый раз дифференцируем один множитель, остальные оставляем как есть, и складываем все варианты. Это аналог формулы $n$ слагаемых.

Связь с логарифмическим дифференцированием

Если $f(x) = u_1 u_2 \cdots u_n$, то можно взять $\ln f = \sum \ln u_i$, продифференцировать:

$$\frac{f'}{f} = \sum \frac{u_i'}{u_i},$$

и умножить на $f$. Этот приём удобен, когда в произведении много множителей или они сложнее обычных степеней.

Частые ошибки

• Перепутать знаки в формуле частного. Пишут $(u'v + uv') / v^2$ вместо $(u'v - uv') / v^2$. Запомни: знак минус, потому что знаменатель «тормозит».
• Дифференцировать числитель и знаменатель отдельно. Это НЕ правило частного! $(u/v)' \neq u'/v'$ - самая грубая ошибка.
• Забыть второе слагаемое в произведении. $(uv)' \neq u'v$; нужны оба вклада $u'v$ и $uv'$.
• Не упрощать результат. После подстановки нередко получается выражение, которое сворачивается в стандартную форму (как $\tan' = 1/\cos^2 x$).
• Перепутать порядок вычитания. В формуле частного именно $u'v - uv'$, а не $uv' - u'v$.

FAQ

Почему в формуле произведения два слагаемых, а не одно?

Потому что меняются обе функции. Даже если $u$ постоянна ($u' = 0$), произведение всё равно меняется вместе с $v$ - вклад $uv'$. Только если обе постоянны, производная нулевая.

Можно ли применить правило произведения к частному?

Да: $u/v = u \cdot v^{-1}$. Дифференцируем как произведение: $(u \cdot v^{-1})' = u' v^{-1} + u \cdot (v^{-1})'$. Далее цепное правило $(v^{-1})' = -v'/v^2$ даёт формулу частного.

Как правило Лейбница связано с интегрированием по частям?

Это две стороны одной монеты. Из $(uv)' = u'v + uv'$ следует $uv' = (uv)' - u'v$, и интегрирование по $x$ даёт $\int uv' \, dx = uv - \int u'v \, dx$ - классическую формулу интегрирования по частям.

Коротко

Правило Лейбница $(uv)' = u'v + uv'$ - следствие того, что приращение площади прямоугольника складывается из двух полосок и малого угла второго порядка, который исчезает. Производная частного $(u/v)' = (u'v - uv') / v^2$ выводится из правила произведения с цепным правилом для $v^{-1}$. Знак минус и $v^2$ в знаменателе - ключевые отличия от произведения, которые легко проверить примером $(\tan x)' = 1/\cos^2 x$.