Теорема Лопиталя: раскрытие неопределённостей

Предел функции нередко приводит к неопределённостям вида $0/0$ или $\infty/\infty$, когда числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности. Применить стандартные правила пределов напрямую не получается, и именно здесь на помощь приходит теорема Лопиталя: она сводит сложный предел к пределу производных. Ниже разберём формулировку, условия применения и типичные задачи - а пока выберите тип неопределённости в калькуляторе и посмотрите, как шаг за шагом раскрывается предел.

Формулировка теоремы Лопиталя

Теорема Лопиталя (правило Бернулли-Лопиталя) формулируется следующим образом. Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в проколотой окрестности точки $a$ (включая $a = \pm\infty$), причём выполняется одно из двух:

• $f(x) \to 0$ и $g(x) \to 0$ при $x \to a$ (тип $0/0$);
• $|g(x)| \to \infty$ при $x \to a$ (тип $\infty/\infty$).

Если $g'(x) \ne 0$ в проколотой окрестности точки $a$ и существует (или равен $\pm\infty$) предел

$$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L,$$

то

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$$

Иными словами: в случае неопределённости $0/0$ или $\infty/\infty$ предел дроби равен пределу дроби производных. Это утверждение - однонаправленная импликация. Существование предела $f'/g'$ достаточно, но не необходимо для существования предела $f/g$. Если предел производных не существует, это ничего не говорит об исходном пределе - нужно искать другой способ.

Теорему открыл Иоганн Бернулли, а опубликовал маркиз де Лопиталь в своём учебнике дифференциального исчисления 1696 года - первом в истории систематическом изложении дифференциального исчисления. Несмотря на имя в названии, доказательство принадлежит Бернулли; тем не менее «правило Лопиталя» прочно укрепилось в математическом языке.

Рассчитать для своей задачи

Тип 0/0: пошаговый пример

Рассмотрим классический предел $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$. При $x \to 0$ числитель $\sin x \to 0$ и знаменатель $x \to 0$ - явная неопределённость $0/0$. Прямая подстановка даёт $\sin 0 / 0 = 0/0$, что не определено.

Проверим условия теоремы: обе функции дифференцируемы на всей числовой прямой, знаменатель $g(x) = x$ имеет производную $g'(x) = 1 \ne 0$ в окрестности нуля. Условия выполнены.

Берём производные числителя и знаменателя по отдельности:

$$(\sin x)' = \cos x, \qquad (x)' = 1.$$

По теореме Лопиталя:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1.$$

Результат совпадает с первым замечательным пределом. Заметьте: предел дроби производных $\cos x / 1$ вычисляется простой подстановкой, неопределённости больше нет.

Теорему можно применять несколько раз подряд, если после первого применения неопределённость не снялась. Для $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ неопределённость $0/0$ после первого дифференцирования даёт:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x},$$

что снова $0/0$. Второе применение теоремы Лопиталя:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}.$$

Каждый раз перед применением нужно убедиться, что неопределённость сохраняется. Применять теорему «на автомате», не проверяя тип, - одна из самых частых ошибок.

Тип inf/inf и предел на бесконечности

Для типа $\infty/\infty$ правило работает так же. Найдём $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$. При $x \to +\infty$ оба $\ln x \to \infty$ и $x \to \infty$. Это неопределённость $\infty/\infty$; производные: $(\ln x)' = 1/x$, $(x)' = 1$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0.$$

Это подтверждает хорошо известный факт: логарифм растёт медленнее любой степени $x^q$ при $q > 0$. Для $\lim_{x \to +\infty} (\ln x)^p / x^q$ нужно применить теорему $p$ раз, каждый раз понижая степень логарифма, пока в числителе не останется константа, а знаменатель по-прежнему стремится к бесконечности - предел всегда равен $0$.

Схожим образом проверяется, что $e^x$ растёт быстрее любой степени: $\lim_{x \to +\infty} x^n / e^x = 0$ для любого фиксированного $n$. Каждое применение Лопиталя снижает степень: $n x^{n-1} / e^x$, затем $n(n-1)x^{n-2}/e^x$, и так далее, пока в числителе не останется константа, а знаменатель $e^x \to \infty$ даёт нулевой предел.

Рассчитать для своей задачи

Сведение других неопределённостей к 0/0 или inf/inf

Теорема Лопиталя работает только с дробями, но другие неопределённости сводятся к нужному виду алгебраически.

Тип $0 \cdot \infty$. Запись $f(x) \cdot g(x)$ при $f \to 0$, $g \to \infty$ переписывается как дробь:

$$f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} \quad (\text{тип } 0/0) \quad \text{или} \quad \frac{g(x)}{1/f(x)} \quad (\text{тип } \infty/\infty).$$

Пример: $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.

Тип $\infty - \infty$. Нужно привести к общему знаменателю или вынести за скобку. Пример: $\lim_{x \to 0} \bigl(1/x - 1/\sin x\bigr) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x}$, и дальше - Лопиталь два раза.

Типы $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$. Применяют логарифмирование: $\ln[f(x)^{g(x)}] = g(x) \ln f(x)$, что даёт тип $0 \cdot \infty$, а затем снова сводится к дроби.

Условия применения и когда Лопиталь не работает

Теорему нельзя применять механически - три условия обязательны:

1. Неопределённость действительно есть. Если $\lim g(x) \ne 0$ и $\ne \infty$, то предел $f/g$ находится подстановкой. Лопиталь в таком случае даст неверный ответ.
2. Производная знаменателя не обнуляется в проколотой окрестности. Если $g'(x) = 0$ в некоторых точках, теорема неприменима.
3. Предел производных должен существовать (или быть $\pm\infty$). Если $\lim f'(x)/g'(x)$ не существует, исходный предел может существовать или нет - теорема ничего не утверждает.

Пример, где Лопиталь приводит к зацикливанию: $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + \sin x}{x}$. Применив правило, получим $\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 + \cos x}{1}$, что не существует (косинус осциллирует). Но исходный предел равен 1 - достаточно разделить числитель и знаменатель на $x$.

Частые ошибки

• Дифференцируют дробь как произведение. Нужно брать производную числителя и знаменателя по отдельности, а не производную всей дроби по правилу Лейбница.
• Применяют Лопиталь без проверки неопределённости. Если предел числителя и знаменателя не равны одновременно 0 или $\infty$, применение теоремы незаконно.
• Забывают, что теорема применима только к дробям. Тип $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$ требует предварительного преобразования к виду $0/0$ или $\infty/\infty$.
• Зацикливаются. Если при каждом применении неопределённость не снимается, стоит попробовать эквивалентные бесконечно малые или разложение в ряд Тейлора.
• Неверно определяют тип при $\infty/\infty$. Для применения теоремы достаточно $|g(x)| \to \infty$; знак числителя при этом неважен.

FAQ

Сколько раз можно применять теорему Лопиталя подряд? Столько, сколько нужно, при условии что каждый раз снова возникает неопределённость $0/0$ или $\infty/\infty$ и производная знаменателя не обращается в нуль. Перед каждым шагом стоит проверить тип.

Почему Лопиталь иногда даёт предел там, где он не существует? Существование предела производных достаточно, но не необходимо для существования исходного предела. Классический контрпример - $\lim_{x \to \infty} (x + \sin x)/x = 1$, хотя $\lim_{x \to \infty}(1 + \cos x)/1$ не существует. Теорема «молчит» в такой ситуации, но не запрещает пределу существовать иными методами.

Можно ли применять теорему к односторонним пределам? Да. Формулировка допускает $x \to a^+$, $x \to a^-$, $x \to +\infty$, $x \to -\infty$ - механизм тот же, только нужно следить, что производные рассматриваются в соответствующей односторонней окрестности.

Коротко

Теорема Лопиталя позволяет раскрыть неопределённости $0/0$ и $\infty/\infty$, заменяя предел дроби на предел дроби производных. Применяется строго при наличии нужного типа неопределённости и ненулевой производной знаменателя; при необходимости используется несколько раз подряд. Другие типы неопределённостей ($0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, степенные) сводятся к $0/0$ или $\infty/\infty$ через алгебраические преобразования или логарифмирование.