Замена переменной в определённом интеграле

Замена переменной (подстановка) в определённом интеграле - один из ключевых методов вычисления площадей, объёмов и физических величин. В отличие от неопределённого интеграла, здесь при замене переменной необходимо также пересчитать пределы интегрирования - именно на этом шаге студенты теряют больше всего баллов на экзамене. Ниже разберём формулу пересчёта, алгоритм выбора замены и три типовых класса подынтегральных выражений. Чтобы сразу увидеть, как меняются пределы и площадь под кривой, используй калькулятор ниже: он показывает исходный интеграл и интеграл после замены на одном дыхании.

Формула замены переменной для определённого интеграла

Пусть нужно вычислить $\int_a^b f(x)\,dx$. Делаем замену $x = \varphi(t)$, где $\varphi$ непрерывно дифференцируема и $\varphi'(t) \neq 0$ на рассматриваемом промежутке. Тогда:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt.$$

На практике удобнее задавать замену в виде $t = g(x)$, тогда $dt = g'(x)\,dx$ и новые пределы - просто значения $g$ в старых пределах:

$$t_1 = g(a), \quad t_2 = g(b).$$

Главное отличие от неопределённого интеграла: не нужно делать обратную замену. После вычисления первообразной $F(t)$ в новых координатах результат есть $F(t_2) - F(t_1)$ - и всё.

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм: как выбрать замену

Нет универсального правила, но три сигнала подсказывают хорошую замену:

1. Подкоренное выражение вида $\sqrt{1 + x^n}$ или \sqrt{a^2 - x^2: кладём под знак корня в $t$.
2. Производная части выражения присутствует в другом множителе: $2x\,dx$ рядом с $f(x^2)$ - берём $t = x^2$.
3. Показательная или тригонометрическая функция: $e^x$ в одном множителе и $e^x\,dx$ в другом - $t = e^x$.

Алгоритм выбора замены:

• Посмотри на выражение под знаком корня, показателем степени или аргументом трансцендентной функции.
• Предположи $t =$ (это выражение) и найди $dt$.
• Проверь: всё ли остальное под знаком интеграла выражается через $t$ и $dt$ без остатка.
• Пересчитай пределы: подставь старые пределы $a$ и $b$ в формулу $t = g(x)$.

Рассчитать для своей задачи

Разбор примера: интеграл с квадратным корнем

Вычислим $\displaystyle\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2}\,dx$.

Шаг 1. Выбор замены. Видим $\sqrt{1+x^2}$ - кладём аргумент корня в $t$:

$$t = 1 + x^2, \quad dt = 2x\,dx.$$

Множитель $2x\,dx$ уже есть в исходном интеграле - замена идеальная.

Шаг 2. Пересчёт пределов. Подставляем старые пределы в $t = 1 + x^2$:

$$x = 0 \;\Rightarrow\; t_1 = 1 + 0 = 1, \qquad x = 1 \;\Rightarrow\; t_2 = 1 + 1 = 2.$$

Шаг 3. Интеграл в новых координатах. Заменяем:

$$\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2}\,dx = \int_1^2 \sqrt{t}\,dt = \int_1^2 t^{1/2}\,dt.$$

Шаг 4. Вычисление первообразной и подстановка.

$$\int_1^2 t^{1/2}\,dt = \left[\frac{2}{3}\,t^{3/2}\right]_1^2 = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2} - 1^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) \approx 0{,}9428.$$

Обратная замена $t \to x$ не нужна: пределы уже в координатах $t$, результат - число.

Три класса замен в типовых задачах

1. Алгебраическая замена (рациональный подкоренной)

Если под корнем линейная функция $\sqrt{ax + b}$, берём $t = ax + b$. Пределы пересчитываются сразу, дробь упрощается до степени. Пример: $\int_0^3 x\sqrt{x+1}\,dx$ при $t = x+1$ даёт $x = t-1$, $dx = dt$, пределы $[1, 4]$:

$$\int_1^4 (t-1)\sqrt{t}\,dt = \int_1^4 (t^{3/2} - t^{1/2})\,dt.$$

2. Тригонометрическая замена

Подынтегральное выражение содержит $\sqrt{a^2 - x^2}$ - берём $x = a\sin t$, $dx = a\cos t\,dt$. Выражение под корнем превращается в $a\cos t$. Пределы переходят к значениям $\arcsin(x/a)$:

$$\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2} a^2\cos^2 t\,dt = \frac{\pi a^2}{4}.$$

Это площадь четверти круга радиуса $a$ - хорошая проверка метода.

3. Замена вида $t = \varphi(x)$ с произведением

Классика: $\int_a^b f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx$. Стандартный шаблон - производная «внутренней» функции уже стоит рядом. Пример: $\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$ при $t = \ln x$, $dt = dx/x$, пределы $[0, 1]$:

$$\int_0^1 t\,dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}.$$

Формула первообразной для типовых выражений

Вот краткая шпаргалка для часто встречающихся подстановок:

Замена и пределы: что меняется, что нет

Пересчёт пределов - главная точка ошибки. Запомни три правила:

• Новые пределы $t_1 = g(a)$, $t_2 = g(b)$ могут быть меньше или больше старых - это нормально.
• Если замена монотонно убывающая ($g'(x) < 0$), новый нижний предел окажется больше верхнего. В этом случае интеграл будет со знаком «минус» - не переставляй пределы вручную, минус сам войдёт через $dt$.
• После замены нельзя смешивать старую переменную $x$ и новую $t$ в одном интеграле. Проверяй: все $x$ должны выразиться через $t$.

Частые ошибки

• Забыть пересчитать пределы. Оставить старые пределы $[a, b]$ при новой переменной $t$ - самая частая ошибка. После замены пределы всегда меняются (или совпадают случайно, что редко).
• Сделать обратную замену там, где она не нужна. В определённом интеграле первообразную не нужно выражать через $x$: подставляем новые пределы $t_1$ и $t_2$ напрямую.
• Потерять производную $g'(x)$. Если замена $t = g(x)$, то $dx = dt / g'(x)$. Множитель $g'(x)$ может сократиться с частью интеграла, но его нельзя просто выбросить без проверки.
• Перепутать направление неравенства. При убывающей замене $t_1 > t_2$ - оставь пределы как есть, знак войдёт через $\varphi'(t) < 0$.
• Применить замену к разрывной функции. Если $\varphi'$ меняет знак на промежутке интегрирования, разбейте промежуток на части до смены знака.

FAQ

Обязательно ли делать обратную замену в определённом интеграле? Нет. Это главное отличие определённого интеграла от неопределённого. После нахождения первообразной $F(t)$ подставляем новые пределы $t_1$ и $t_2$: ответ $= F(t_2) - F(t_1)$.

Что делать, если не удаётся выразить всё через новую переменную? Значит, замена выбрана неудачно. Попробуй другую: иногда помогает разложить числитель или знаменатель по частям, вынести множитель за скобки или воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы появился нужный дифференциал.

Могут ли новые пределы совпасть? Да, если $g(a) = g(b)$. В этом случае интеграл равен нулю - площади «туда» и «обратно» сокращаются. Это физически означает, что функция замены прошла весь путь и вернулась к исходному значению.

Коротко

Замена переменной в определённом интеграле сводится к трём шагам: выбрать замену $t = g(x)$, пересчитать пределы $t_1 = g(a)$ и $t_2 = g(b)$, вычислить интеграл по $t$ и подставить новые пределы без обратной замены. Главный ориентир - наличие производной «внутренней» функции среди множителей подынтегрального выражения. Метод работает для алгебраических подкоренных, тригонометрических выражений и всех случаев вида $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$.