Логарифмические уравнения: замена переменной

Логарифмическое уравнение вида $\lg^2 x - 5\lg x + 6 = 0$ на первый взгляд кажется сложным: логарифм встречается дважды, да ещё в квадрате. Но если обозначить $t = \lg x$, оно мгновенно превращается в знакомое квадратное $t^2 - 5t + 6 = 0$. Замена переменной - главный приём для уравнений, где один и тот же логарифм входит в нескольких степенях. Калькулятор ниже соберёт замену за вас: подставит $t = \log_a x$, решит квадратное уравнение и сделает обратную замену $x = a^t$.

Когда применяется замена переменной

Замена $t = \log_a x$ работает, когда в уравнении встречается один и тот же логарифм в разных степенях, а другого вхождения неизвестного нет. Канонический шаблон - «квадратное относительно логарифма»:

$$A \cdot \log_a^2 x + B \cdot \log_a x + C = 0.$$

Здесь $\log_a^2 x$ - это $(\log_a x)^2$, то есть квадрат логарифма, а не логарифм квадрата. После обозначения $t = \log_a x$ уравнение становится чисто алгебраическим:

$$A t^2 + B t + C = 0.$$

Дальше работает стандартный аппарат квадратных уравнений: дискриминант, корни, теорема Виета. Вся «логарифмическая» специфика сосредоточена в двух местах - в ОДЗ исходного уравнения и в обратной замене. Это родственник того же приёма для показательных уравнений с заменой переменной, где роль $t$ играет $a^x$.

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм решения по шагам

Чтобы не запутаться, держитесь чёткой последовательности:

1. Запишите ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: для $\log_a x$ это $x > 0$. Если под логарифмом стоит не сам $x$, а функция, ОДЗ решается отдельным неравенством.
2. Приведите к одному основанию и одному логарифму. Все логарифмы должны выражаться через одно и то же $\log_a x$. Часто помогает формула перехода к новому основанию.
3. Введите замену $t = \log_a x$. Тогда $\log_a^2 x = t^2$, и уравнение становится квадратным.
4. Решите квадратное уравнение $At^2 + Bt + C = 0$ относительно $t$.
5. Сделайте обратную замену. Для каждого найденного $t$ решите $\log_a x = t$, то есть $x = a^t$.
6. Проверьте корни по ОДЗ. Обратная замена $x = a^t$ всегда даёт положительное число, поэтому при «чистом» $\log_a x$ оба корня обычно проходят. Но если в исходном уравнении под логарифмом стояла функция (например $x - 1$), проверка обязательна.

Ключевое отличие от показательных уравнений: у переменной $t = \log_a x$ нет ограничения $t > 0$. Логарифм принимает любые вещественные значения, поэтому любой вещественный корень квадратного уравнения годен, и обратная замена $x = a^t$ автоматически даёт допустимый $x > 0$.

ОДЗ и обратная замена - где прячутся посторонние корни

Самое тонкое место - это область допустимых значений. Сама замена $t = \log_a x$ ограничений на $t$ не накладывает: график логарифма пробегает всю числовую ось. Поэтому отбрасывать корни «по знаку $t$», как делают в показательных уравнениях, здесь не нужно. Опасность приходит с другой стороны - от выражения под логарифмом.

Возьмём $\log_3^2(x - 1) - \log_3(x - 1) - 2 = 0$. Замена $t = \log_3(x - 1)$ даёт $t^2 - t - 2 = 0$ с корнями $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$. Обратная замена: $\log_3(x - 1) = 2 \Rightarrow x - 1 = 9 \Rightarrow x = 10$, и $\log_3(x - 1) = -1 \Rightarrow x - 1 = 1/3 \Rightarrow x = 4/3$. Оба значения дают $x - 1 > 0$, оба входят в ОДЗ. А вот если бы какой-то корень дал $x - 1 \le 0$, его пришлось бы отбросить как посторонний.

Рассчитать для своей задачи

Приведение к одному основанию

Иногда в уравнении сразу несколько логарифмов с разными основаниями. Прежде чем вводить замену, их приводят к одному. Главный инструмент - формула перехода к новому основанию: $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$.

Рассмотрим $\log_4 x + \log_2 x = 3$. Поскольку $\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{1}{2}\log_2 x$, уравнение превращается в $\dfrac{1}{2}\log_2 x + \log_2 x = 3$, то есть $\dfrac{3}{2}\log_2 x = 3$. Замена $t = \log_2 x$ даёт $\dfrac{3}{2}t = 3$, откуда $t = 2$ и $x = 2^2 = 4$. Этот же приём приведения оснований лежит в основе преобразования выражений по свойствам логарифмов.

Взаимно обратные логарифмы

Отдельный класс - уравнения, где встречаются $\log_a x$ и $\log_x a$. Они связаны соотношением $\log_x a = \dfrac{1}{\log_a x}$, поэтому замена $t = \log_a x$ превращает второй логарифм в $1/t$.

Пример: $\log_2 x + \log_x 2 = 2{,}5$. Замена $t = \log_2 x$ даёт

$$t + \frac{1}{t} = 2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad 2t^2 - 5t + 2 = 0.$$

Корни $t = 2$ и $t = 0{,}5$ - оба годятся (на $t$ ограничений нет), но появляется дополнительное условие из $\log_x 2$: основание $x \ne 1$ и $x > 0$. Обратная замена: $\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4$ и $\log_2 x = 0{,}5 \Rightarrow x = \sqrt{2}$. Оба корня удовлетворяют $x > 0$, $x \ne 1$.

Когда под логарифмом сложное выражение

Если под знаком логарифма стоит не $x$, а функция, замена всё равно работает, но проверка ОДЗ становится решающей. Уравнение $\log_2^2(x^2 - 3) - \log_2(x^2 - 3) = 0$ требует $x^2 - 3 > 0$, то есть $|x| > \sqrt{3}$. Замена $t = \log_2(x^2 - 3)$ даёт $t^2 - t = 0$, корни $t = 0$ и $t = 1$. Обратная замена: $x^2 - 3 = 1$ и $x^2 - 3 = 2$, откуда $x^2 = 4$ или $x^2 = 5$, то есть $x = \pm 2$ и $x = \pm\sqrt{5}$. Все четыре значения дают $|x| > \sqrt{3}$, все входят в ОДЗ. Здесь именно проверка области, а не знак $t$, отсеивает лишнее - поэтому решение полезно проверить подстановкой.

Проверка корней и запись ответа

После обратной замены подставьте найденные $x$ в исходное уравнение, особенно если под логарифмом было сложное выражение или вы делили на что-то по пути. Записывайте ответ аккуратно: если $t$ - целое, то $x = a^t$ обычно «красивое» число; если $t$ нецелый, оставляйте ответ в точной форме $x = a^t$, а не округляйте раньше времени. Опираться при этом удобно на основное логарифмическое тождество, которое и гарантирует переход $\log_a x = t \Leftrightarrow x = a^t$.

Частые ошибки

• Путают $\log_a^2 x$ и $\log_a x^2$. Первое - квадрат логарифма $(\log_a x)^2$, заменяется на $t^2$. Второе - логарифм квадрата, по свойству равен $2\log_a x$, то есть $2t$. Это совершенно разные вещи.
• Забывают ОДЗ. На $t$ ограничений нет, но на исходное выражение под логарифмом - есть. Без выписанного ОДЗ легко включить в ответ посторонний корень.
• Отбрасывают «отрицательный» корень $t$. В отличие от показательных уравнений, у $t = \log_a x$ нет условия $t > 0$. Отрицательный $t$ - это нормально, он даёт $x = a^t \in (0; 1)$.
• Теряют корень при обратной замене. Каждое найденное $t$ даёт своё уравнение $\log_a x = t$ - нельзя останавливаться на первом.
• Неверно приводят основания. $\log_4 x$ - это $\tfrac{1}{2}\log_2 x$, а не $2\log_2 x$. Ошибка в коэффициенте ломает всё уравнение.

FAQ

Чем замена в логарифмическом уравнении отличается от показательного? Структурно приём один и тот же: «обозначь повторяющийся блок одной буквой». Но у показательной замены $t = a^x$ есть жёсткое условие $t > 0$, а у логарифмической $t = \log_a x$ его нет - логарифм пробегает все вещественные значения. Зато в логарифмическом уравнении критично ОДЗ выражения под знаком логарифма.

Что делать, если после замены получилось не квадратное уравнение? Если логарифм входит в третьей степени, получится кубическое относительно $t$ - решается так же, просто корней может быть до трёх. Если появляется $1/t$ (как при взаимно обратных логарифмах), умножьте уравнение на $t$ и приведите к квадратному, не забыв $t \ne 0$.

Можно ли решать логарифмические уравнения без замены? Простейшие - да: $\log_2 x = 3$ решается сразу как $x = 2^3 = 8$. Замена нужна именно для «квадратных относительно логарифма» уравнений, где один логарифм входит в нескольких степенях и свести к равенству логарифмов напрямую нельзя.

Коротко

Замена $t = \log_a x$ превращает уравнение $A\log_a^2 x + B\log_a x + C = 0$ в квадратное $At^2 + Bt + C = 0$. Алгоритм: выписать ОДЗ ($x > 0$ или неравенство для выражения под логарифмом), привести к одному основанию, ввести замену, решить квадратное уравнение, сделать обратную замену $x = a^t$ для каждого корня и проверить ОДЗ. Главное отличие от показательных уравнений - у $t$ нет условия $t > 0$, зато решающую роль играет область допустимых значений исходного выражения.