Основное логарифмическое тождество: примеры и разбор

Когда в выражении встречается «степень в степени логарифма» вроде $5^{\log_5 8}$, многие тратят минуты на промежуточные вычисления, хотя ответ читается мгновенно. Это и есть основное логарифмическое тождество: возведение основания в степень его же логарифма возвращает исходное число. Ниже разберём формулу, её строгий вывод из определения логарифма и десяток примеров - от элементарных до тех, где под показателем стоит целое выражение. В конце соберём типовую задачу под ваш случай и отправим её на пошаговый разбор.

Что такое основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество записывается одной строкой:

$$a^{\log_a b} = b$$

Здесь $a$ - основание логарифма, $b$ - число под знаком логарифма. Тождество справедливо при ограничениях, которые накладывает само понятие логарифма: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$. Если хотя бы одно из условий нарушено, выражение либо не определено, либо теряет смысл.

Словами тождество звучит так: логарифм $\log_a b$ - это и есть тот показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Поэтому, подставив этот показатель обратно в степень с основанием $a$, мы по определению возвращаемся к $b$. Тождество не требует никаких вычислений - оно «сворачивает» громоздкую конструкцию в одно число.

Рассчитать для своей задачи

Полезно держать в голове именно этот образ: логарифм и возведение в степень с тем же основанием - взаимно обратные операции, и тождество фиксирует, что их последовательное применение возвращает к началу.

Откуда берётся формула: вывод из определения

Логарифм по определению - это решение уравнения $a^x = b$. То есть запись

$$x = \log_a b \quad\Longleftrightarrow\quad a^x = b$$

говорит ровно одно и то же двумя способами. Возьмём правое равенство $a^x = b$ и подставим в него $x = \log_a b$ из левого. Получаем:

$$a^{\log_a b} = b$$

Никакой магии: мы просто записали определение логарифма в «обратную» сторону. Именно поэтому тождество называют основным - оно напрямую вытекает из смысла операции и служит фундаментом для остальных свойств логарифмов, в том числе для логарифмических неравенств, где умение сворачивать такие выражения экономит много времени.

Простые примеры

Начнём с прямых подстановок - здесь основание степени и основание логарифма совпадают:

$$\begin{aligned} 2^{\log_2 7} &= 7 \\ 10^{\log_{10} 45} &= 45 \\ 5^{\log_5 3} &= 3 \\ e^{\ln 12} &= 12 \end{aligned}$$

Последняя строка - частный случай для натурального логарифма, где $a = e$, а $\log_e b$ записывается как $\ln b$. Аналогично для десятичного логарифма $\lg b = \log_{10} b$, поэтому $10^{\lg 6} = 6$. Замечайте структуру «основание в степени своего логарифма» - как только она появилась, выражение схлопывается в число под логарифмом.

Примеры с выражением под логарифмом

Под знаком логарифма может стоять не число, а целое выражение - тождество работает точно так же:

$$\begin{aligned} 3^{\log_3 (x+1)} &= x + 1, \quad x > -1 \\ 7^{\log_7 (2x)} &= 2x, \quad x > 0 \\ a^{\log_a (m \cdot n)} &= m \cdot n \end{aligned}$$

Обратите внимание на ограничения справа: выражение под логарифмом обязано быть положительным. Поэтому $3^{\log_3 (x+1)} = x+1$ верно только при $x > -1$ - иначе исходный логарифм не определён. Это типичное место, где теряют область допустимых значений.

Когда основания степени и логарифма различаются

Если основание степени не совпадает с основанием логарифма, напрямую тождество не применить - сначала выражение приводят к нужному виду. Рассмотрим $4^{\log_2 5}$. Здесь $4 = 2^2$, поэтому:

$$4^{\log_2 5} = \left(2^2\right)^{\log_2 5} = 2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 5^2} = 5^2 = 25$$

Мы воспользовались свойством $k \log_a b = \log_a b^k$ и только потом свернули конструкцию по основному тождеству. Похожий приём - для $9^{\log_3 2}$: записываем $9 = 3^2$, получаем $3^{2\log_3 2} = 3^{\log_3 4} = 4$. Главный навык здесь - увидеть общее основание, к которому можно привести обе части.

Разбор составного примера

Соберём приёмы вместе на одном выражении, какое встречается в заданиях повышенной сложности. Упростим:

$$8^{\log_2 3} - 25^{\log_5 2}$$

Каждое слагаемое приводим к общему основанию. В первом $8 = 2^3$, значит показатель утраивается:

$$8^{\log_2 3} = \left(2^3\right)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 3^3 = 27$$

Во втором $25 = 5^2$, показатель удваивается:

$$25^{\log_5 2} = \left(5^2\right)^{\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 2^2 = 4$$

Итог: $27 - 4 = 23$. Главное в таком разборе - действовать по шагам: сначала выразить основание степени как степень основания логарифма, затем внести коэффициент под знак логарифма по правилу $k\log_a b = \log_a b^k$, и только в самом конце свернуть всё основным тождеством. Тот же порядок работает и для дробных оснований: например, $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{\log_3 2}$ сводят к $3^{-\log_3 2} = 3^{\log_3 2^{-1}} = \tfrac{1}{2}$.

Где тождество встречается в задачах

Помимо прямого упрощения, основное тождество - рабочий инструмент в нескольких типах заданий. В показательных уравнениях оно помогает избавиться от логарифма в показателе: если уравнение содержит $a^{\log_a f(x)}$, эту часть сразу заменяют на $f(x)$. В вычислении значений выражений без калькулятора (типовая часть ЕГЭ) тождество превращает многоэтажную запись в одно действие. В доказательствах свойств логарифмов оно служит отправной точкой - через него выводят формулу перехода к новому основанию и правило логарифма произведения.

Узнаётся ситуация для применения по характерному признаку: в выражении есть степень, у которой основание и основание логарифма в показателе можно свести к одному числу. Как только это видно, дальнейшие вычисления почти всегда короче, чем кажется на первый взгляд.

Связь со следствием тождества

Из основного тождества выводится полезное следствие - степень с показателем-логарифмом, где числа под логарифмом и в основании степени переставлены:

Рассчитать для своей задачи

$$a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$$

Это равенство часто экономит шаги в задачах с «неудобными» основаниями. Например, $2^{\log_5 3} = 3^{\log_5 2}$ - если второе выражение оказывается проще для оценки, переходят к нему. Тождество и его следствие вместе покрывают большинство задач уровня ЕГЭ на упрощение показательно-логарифмических выражений.

Частые ошибки

• Путают тождество с $\log_a a^b = b$. Это родственное, но другое равенство: здесь логарифм «снаружи», а степень «внутри». Основное тождество - наоборот: степень снаружи, логарифм в показателе.
• Забывают про область допустимых значений. В $a^{\log_a (x-3)} = x-3$ ответ верен только при $x > 3$; без этого условия запись бессмысленна.
• Применяют тождество при разных основаниях напрямую. $4^{\log_2 5} \ne 5$: пока основания не совпали, сворачивать нельзя - сначала приведите к общему основанию.
• Теряют ограничение $a \ne 1$. При $a = 1$ логарифм не определён, поэтому тождество к единичному основанию неприменимо.
• Считают $a^{\log_a b}$ через калькулятор по шагам - это лишняя работа: ответ всегда равен $b$ по определению.

FAQ

Чему равно $a^{\log_a b}$? Ровно $b$, при условиях $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$. Это и есть формулировка основного логарифмического тождества - показатель степени совпадает с логарифмом по тому же основанию, поэтому степень возвращает исходное число.

Чем основное тождество отличается от $\log_a a^x = x$? В основном тождестве степень стоит снаружи, а логарифм - в показателе: $a^{\log_a b} = b$. В равенстве $\log_a a^x = x$ логарифм берётся от степени. Оба следуют из определения логарифма, но применяются в разных конфигурациях выражения.

Можно ли применять тождество, если под логарифмом отрицательное число? Нет. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому $b > 0$ обязательно. Если под логарифмом стоит выражение с переменной, нужно сначала выписать область допустимых значений.

Коротко

Основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ - прямое следствие определения логарифма как показателя степени: оно позволяет мгновенно сворачивать конструкции «основание в степени своего логарифма» при $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$. Если основания степени и логарифма различаются, выражение сначала приводят к общему основанию, и лишь затем применяют тождество. Главное - не путать его с равенством $\log_a a^x = x$ и не забывать про область допустимых значений.