Формулы приведения тангенса и котангенса

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрическую функцию от угла вида $90°k \pm \alpha$ через функцию самого угла $\alpha$. Для синуса и косинуса это хорошо известно, а вот с тангенсом и котангенсом у студентов возникают типичные ошибки: забывают про смену функции или путают знак. Ниже разберём два правила, которые полностью описывают все случаи, и сразу применим их в интерактивном калькуляторе.

Два правила, которые надо знать наизусть

Всё поведение формул приведения для $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ определяется двумя независимыми вопросами.

Правило 1: меняется ли функция?

Если сдвиг кратен нечётному числу прямых углов (то есть $90°, 270°, 450°, \ldots$), функция меняется: $\operatorname{tg}$ превращается в $\operatorname{ctg}$ и наоборот. Если сдвиг кратен чётному числу прямых углов ($180°, 360°, \ldots$), функция остаётся той же.

Мнемоника: «нечётный - меняет, чётный - не меняет». Это же правило работает для $\sin/\cos$, только там нечётный сдвиг меняет $\sin \leftrightarrow \cos$.

Правило 2: каков знак?

Знак результата совпадает со знаком исходной функции в том четверти единичной окружности, в которой оказывается угол $90°k \pm \alpha$ при остром $\alpha \in (0°, 90°)$. Считайте угол как обычно: $\operatorname{tg}$ положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV; $\operatorname{ctg}$ - так же.

Рассчитать для своей задачи

Полная таблица формул для тангенса

Запишем все восемь случаев через острый угол $\alpha$:

$$\begin{aligned} \operatorname{tg}(90° - \alpha) &= \operatorname{ctg}\,\alpha, & \operatorname{tg}(90° + \alpha) &= -\operatorname{ctg}\,\alpha, \\ \operatorname{tg}(180° - \alpha) &= -\operatorname{tg}\,\alpha, & \operatorname{tg}(180° + \alpha) &= \operatorname{tg}\,\alpha, \\ \operatorname{tg}(270° - \alpha) &= \operatorname{ctg}\,\alpha, & \operatorname{tg}(270° + \alpha) &= -\operatorname{ctg}\,\alpha, \\ \operatorname{tg}(360° - \alpha) &= -\operatorname{tg}\,\alpha, & \operatorname{tg}(360° + \alpha) &= \operatorname{tg}\,\alpha. \end{aligned}$$

Два столбца сразу показывают паттерн: знаки чередуются в зависимости от того, попадает ли результирующий угол в «положительную» или «отрицательную» четверть.

Полная таблица для котангенса

Для котангенса картина симметрична: функция меняется там же (при нечётных сдвигах), знак определяется аналогично.

$$\begin{aligned} \operatorname{ctg}(90° - \alpha) &= \operatorname{tg}\,\alpha, & \operatorname{ctg}(90° + \alpha) &= -\operatorname{tg}\,\alpha, \\ \operatorname{ctg}(180° - \alpha) &= -\operatorname{ctg}\,\alpha, & \operatorname{ctg}(180° + \alpha) &= \operatorname{ctg}\,\alpha, \\ \operatorname{ctg}(270° - \alpha) &= \operatorname{tg}\,\alpha, & \operatorname{ctg}(270° + \alpha) &= -\operatorname{tg}\,\alpha, \\ \operatorname{ctg}(360° - \alpha) &= -\operatorname{ctg}\,\alpha, & \operatorname{ctg}(360° + \alpha) &= \operatorname{ctg}\,\alpha. \end{aligned}$$

Обратите внимание: $\operatorname{ctg}(90° - \alpha) = \operatorname{tg}\,\alpha$ - это хорошо известное соотношение «тангенс и котангенс дополнительных углов». Формулы приведения просто обобщают его на все четверти.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формул: почему это так работает

Рассмотрим вывод для двух показательных случаев.

Случай $\operatorname{tg}(90° + \alpha)$.

По определению $\operatorname{tg}\,\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$. Применим формулы приведения для синуса и косинуса:

$$\sin(90° + \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha.$$

Тогда:

$$\operatorname{tg}(90° + \alpha) = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\,\alpha.$$

Функция сменилась (был $\operatorname{tg}$, стал $\operatorname{ctg}$), знак отрицательный - угол $90° + \alpha$ при остром $\alpha$ лежит во второй четверти, где тангенс отрицателен.

Случай $\operatorname{tg}(180° + \alpha)$.

$$\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha, \qquad \cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha.$$ $$\operatorname{tg}(180° + \alpha) = \frac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \operatorname{tg}\,\alpha.$$

Минусы сократились, функция осталась прежней. Именно поэтому тангенс имеет период $180°$: $\operatorname{tg}(\alpha + 180°) = \operatorname{tg}\,\alpha$ при всех допустимых $\alpha$.

Аналогичный вывод для котангенса: $\operatorname{ctg}\,\varphi = \dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$, и при подстановке формул для $\sin/\cos$ получаются соответствующие соотношения из таблицы выше.

Период тангенса и котангенса

Формулы приведения напрямую связаны с периодичностью. Из строк таблицы с $360°$ видно, что:

$$\operatorname{tg}(360° + \alpha) = \operatorname{tg}\,\alpha, \qquad \operatorname{ctg}(360° + \alpha) = \operatorname{ctg}\,\alpha.$$

Но и из строк с $180°$:

$$\operatorname{tg}(180° + \alpha) = \operatorname{tg}\,\alpha, \qquad \operatorname{ctg}(180° + \alpha) = \operatorname{ctg}\,\alpha.$$

Это означает, что период тангенса и котангенса равен $180°$ (или $\pi$ в радианах), а не $360°$. Это отличает их от синуса и косинуса, у которых период $360°$. На графике это видно как симметрия кривой: каждые $180°$ узор повторяется.

Применение в задачах на упрощение

Формулы приведения используют в двух типах задач.

Тип 1: вычислить точное значение. Например, $\operatorname{tg}\,120°$. Запишем $120° = 180° - 60°$:

$$\operatorname{tg}(180° - 60°) = -\operatorname{tg}\,60° = -\sqrt{3}.$$

Или $\operatorname{tg}\,210° = \operatorname{tg}(180° + 30°) = \operatorname{tg}\,30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Тип 2: упростить выражение с буквенным $\alpha$. Например:

$$\operatorname{tg}(270° - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(90° + \alpha).$$

По таблице: $\operatorname{tg}(270° - \alpha) = \operatorname{ctg}\,\alpha$ и $\operatorname{tg}(90° + \alpha) = -\operatorname{ctg}\,\alpha$. Произведение:

$$\operatorname{ctg}\,\alpha \cdot (-\operatorname{ctg}\,\alpha) = -\operatorname{ctg}^2\alpha.$$

Такие упрощения часто встречаются в ЕГЭ, где итоговый ответ должен содержать только $\operatorname{tg}\,\alpha$ или $\operatorname{ctg}\,\alpha$ без сдвигов.

Частые ошибки

• Забыть сменить функцию при нечётном сдвиге. Написать $\operatorname{tg}(90° + \alpha) = -\operatorname{tg}\,\alpha$ вместо $-\operatorname{ctg}\,\alpha$ - это самая распространённая ошибка. При нечётном $k$ $\operatorname{tg}$ превращается в $\operatorname{ctg}$ и наоборот.
• Перепутать знак для $270°$. Из-за того, что $270° = 3 \cdot 90°$, многие интуитивно ставят знак «как у $90°$» - но знак зависит не только от кратности, а от конкретной четверти угла $270° \pm \alpha$.
• Применять формулу к аргументу в радианах, ориентируясь на градусные таблицы. Если задача в радианах, нужно убедиться, что $\pi/2$ соответствует $90°$, $\pi$ - $180°$ и так далее, прежде чем пользоваться таблицей.
• Игнорировать область допустимых значений. Формулы приведения справедливы при всех $\alpha$, но $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ имеют свои асимптоты. Если $\alpha = 90°$, то $\operatorname{tg}\,\alpha$ не определён, и формула приведения просто даст неопределённость с другой стороны.
• Использовать $\operatorname{ctg}\,\alpha = 1/\operatorname{tg}\,\alpha$ без проверки. Это верно только при $\operatorname{tg}\,\alpha \neq 0$ и при определённости обоих. В формулах приведения лучше работать напрямую через $\sin/\cos$.

FAQ

Почему тангенс меняется на котангенс при сдвиге на $90°$, а синус на косинус?

Потому что $\operatorname{tg}(90° + \alpha) = \sin(90° + \alpha)/\cos(90° + \alpha) = \cos\alpha/(-\sin\alpha) = -\operatorname{ctg}\,\alpha$. В числителе получается косинус, в знаменателе - со знаком синус. Отношение «косинус к синусу» - это и есть котангенс. То же самое происходит при любом нечётном сдвиге: после подстановки формул для $\sin/\cos$ числитель и знаменатель меняются местами.

Как быстро вспомнить знак на экзамене, не заучивая таблицу?

Нарисуйте единичную окружность, отметьте угол $90°k \pm \alpha$ при остром $\alpha$ (достаточно одного-двух значений, например $\alpha = 30°$). Определите, в какой четверти оказался результирующий угол. В I и III четвертях тангенс (и котангенс) положительны, во II и IV - отрицательны. Это займёт 10-15 секунд и даст правильный знак без заучивания.

Работают ли формулы приведения для отрицательных $\alpha$ или $\alpha > 90°$?

Формально - да, формулы справедливы при любом $\alpha$ из области допустимых значений. Но на практике их применяют, чтобы свести аргумент к острому углу. Если $\alpha$ вышел за $90°$, сначала используйте формулы приведения снова или свойство периодичности.

Коротко

Формулы приведения для тангенса и котангенса работают по двум правилам: нечётный сдвиг ($90°, 270°, \ldots$) меняет функцию ($\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}$), чётный ($180°, 360°$) оставляет прежней; знак определяется четвертью, в которой оказывается угол $90°k \pm \alpha$. Запомнив эти два принципа и умея быстро определять знак по единичной окружности, можно воспроизвести всю таблицу за несколько секунд, не заучивая каждую строку отдельно.