Тангенс через синус и косинус: формула и вывод

Тангенс угла - одна из четырёх основных тригонометрических функций. Её главное свойство: тангенс всегда выражается через синус и косинус того же угла по простой формуле. Именно это соотношение позволяет переходить между функциями при упрощении выражений, доказательстве тождеств и вычислении значений. Интерактивный график ниже наглядно покажет, как ведут себя все три функции при изменении угла и где тангенс уходит в бесконечность.

Формула: тангенс через синус и косинус

Основное соотношение записывается так:

$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Здесь $x$ - угол в градусах или радианах, $\sin x$ и $\cos x$ - значения синуса и косинуса того же угла. Формула действует для всех значений $x$, кроме тех, при которых $\cos x = 0$, - в этих точках тангенс не определён.

Рассчитать для своей задачи

Связь между тангенсом, синусом и косинусом - не случайная договорённость, а следствие из определений через прямоугольный треугольник. Разберём вывод шаг за шагом.

Вывод из прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом $x$, гипотенузой $c$ и катетами $a$ (противолежащий) и $b$ (прилежащий).

По определению:

$\sin x = \frac{a}{c}, \qquad \cos x = \frac{b}{c}, \qquad \operatorname{tg} x = \frac{a}{b}.$

Разделим $\sin x$ на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = \operatorname{tg} x.$

Гипотенуза $c$ сокращается, и мы получаем формулу $\operatorname{tg} x = \sin x / \cos x$. Это верно для любого острого угла $x$. Для углов второго, третьего и четвёртого квадрантов определение обобщается через единичную окружность, но соотношение остаётся тем же.

Рассчитать для своей задачи

На единичной окружности координата точки по горизонтали равна $\cos x$, по вертикали - $\sin x$. Тангенс геометрически соответствует длине отрезка, который вертикаль через точку отсекает на касательной к окружности в точке $(1, 0)$. Именно поэтому он и называется «тангенс» - от латинского tangens, «касающийся».

Область определения и асимптоты

Тангенс не определён там, где знаменатель обращается в ноль:

$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

В градусах: $x = 90° + 180° n$. В этих точках функция имеет вертикальные асимптоты. Во всех остальных точках тангенс определён, непрерывен и принимает любые вещественные значения:

$\operatorname{tg} x \in (-\infty;\, +\infty), \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$

Период функции - $\pi$ (180°): через каждые $\pi$ радиан рисунок полностью повторяется. Это вдвое короче периода синуса и косинуса, потому что $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ - тангенс нечётная функция, и за половину полного оборота он проходит все значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Знак тангенса по квадрантам

Знак тангенса определяется знаками синуса и косинуса:

$\operatorname{sign}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{sign}(\sin x) \cdot \operatorname{sign}(\cos x).$

Правило «плюс в первом и третьем» легко запомнить: при переходе через асимптоту тангенс меняет знак, поэтому знаки чередуются начиная с «плюса» в первом квадранте.

Табличные значения тангенса

Зная синус и косинус стандартных углов, значение тангенса вычисляется делением:

Проверить любое значение можно в калькуляторе выше: поставьте ползунок на нужный угол и сравните результат с таблицей.

Применение формулы при упрощении выражений

Формула $\operatorname{tg} x = \sin x / \cos x$ - рабочий инструмент при приведении тригонометрических выражений к единому виду. Несколько типичных приёмов:

Избавиться от тангенса: если выражение содержит $\operatorname{tg} x$ и нужно выразить его только через синус и косинус, подставляем $\sin x / \cos x$ напрямую. Этот приём незаменим при доказательстве тождеств, когда левая и правая части записаны в разных «языках».

Упрощение дробей. Например:

$\frac{\operatorname{tg} x \cdot \cos x}{\sin x} = \frac{(\sin x / \cos x) \cdot \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} = 1.$

Основное тригонометрическое тождество связано с формулой тангенса через квадрат:

$1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$

Это тождество часто используют при замене переменной и интегрировании. Оно же позволяет найти $\cos x$ по известному тангенсу: из $1/\cos^2 x = 1 + \operatorname{tg}^2 x$ следует $\cos^2 x = 1 / (1 + \operatorname{tg}^2 x)$, а знак $\cos x$ определяется квадрантом.

Переход к единственной переменной. При интегрировании рациональных тригонометрических функций иногда удобна универсальная подстановка $t = \operatorname{tg}(x/2)$, из которой $\sin x = 2t/(1+t^2)$, $\cos x = (1-t^2)/(1+t^2)$. Она целиком основана на формуле тангенса.

Сравнение знаков. Поскольку $\operatorname{tg} x = \sin x / \cos x$, знак тангенса совпадает со знаком произведения синуса и косинуса. Это мгновенно даёт правило «в первом и третьем квадрантах тангенс положителен».

Частые ошибки

• Подстановка угла в градусах в функции sin/cos напрямую в коде или формуле. Если вычисляете в радианах, сначала умножьте на $\pi/180$.
• Деление на ноль при cos x = 0. В точках $90°, 270°$ и им кратных тангенс не определён; нельзя записывать $\operatorname{tg} 90° = \pm\infty$ как число.
• Путаница знаков. В третьем квадранте оба знака у синуса и косинуса отрицательны, поэтому тангенс положителен - не отрицателен.
• Применение формулы к $\operatorname{ctg}$. Котангенс - не тангенс: $\operatorname{ctg} x = \cos x / \sin x$ (числитель и знаменатель поменяны местами).
• Забыть период при решении уравнений. Из $\operatorname{tg} x = a$ следует $x = \operatorname{arctg}\, a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; записать только одно решение - ошибка.

FAQ

Как вывести формулу tg x = sin x / cos x? Проще всего через прямоугольный треугольник: $\sin x = a/c$, $\cos x = b/c$, $\operatorname{tg} x = a/b$. Делим первое на второе: гипотенуза $c$ сокращается, и остаётся $\operatorname{tg} x = \sin x / \cos x$. То же соотношение действует на единичной окружности для любого угла.

При каких значениях x тангенс не определён? При $x = 90° + 180° \cdot n$ ($n$ - любое целое). В этих точках $\cos x = 0$, знаменатель обращается в ноль. На графике в этих местах видны вертикальные асимптоты.

Чем тангенс отличается от котангенса? Котангенс - обратная функция: $\operatorname{ctg} x = \cos x / \sin x = 1 / \operatorname{tg} x$. Не определён при $\sin x = 0$, то есть при $x = 0°, 180°, 360°, \ldots$. Период у обеих функций одинаков - $\pi$ (180°).

Коротко

Тангенс выражается через синус и косинус формулой $\operatorname{tg} x = \sin x / \cos x$. Она следует из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза сокращается при делении $\sin$ на $\cos$. Тангенс определён всюду, кроме точек, в которых $\cos x = 0$; в этих точках функция обращается к вертикальным асимптотам. Формула используется при упрощении выражений, доказательстве тождеств и решении уравнений - и всегда работает одинаково: подставь $\sin x / \cos x$ вместо $\operatorname{tg} x$ и сократи.