Формула тангенса суммы и разности: вывод и примеры

Формула тангенса суммы и разности позволяет найти тангенс угла, составленного из двух других, не вычисляя сам угол. Это одна из базовых формул тригонометрии: через неё считают точные значения вроде $\tan 75°$, доказывают тождества и решают уравнения, где аргумент представлен в виде $x + 45°$ или $\alpha - \beta$. В этой статье разберём, как формула выводится из тангенса как отношения синуса к косинусу, чем тангенс суммы отличается от тангенса разности, когда выражение теряет смысл и какие ошибки в знаках встречаются чаще всего. Чтобы сразу увидеть, как меняется результат, покрути калькулятор ниже: он считает $\tan(\alpha \pm \beta)$ по формуле, сверяет с прямым значением и показывает все три угла на кривой тангенса.

Как выглядит формула тангенса суммы и разности

Обе формулы записываются компактно через тангенсы самих углов $\alpha$ и $\beta$:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\,\tan\beta}, \qquad \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\,\tan\beta}.$

Их удобно держать в голове как одну формулу со «связанными» знаками: в числителе стоит тот же знак, что и в скобке слева, а в знаменателе - противоположный. Для суммы это $\dfrac{+}{1-}$, для разности - $\dfrac{-}{1+}$. Именно перепутанный знак в знаменателе даёт большинство ошибок, поэтому стоит запомнить правило «в знаменателе знак меняется».

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы через синус и косинус

Формула не запоминается «с потолка» - она прямо следует из определения тангенса и формул синуса и косинуса суммы. По определению $\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$. Подставляем известные разложения:

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}.$

Теперь главный приём: делим числитель и знаменатель на $\cos\alpha\cos\beta$ (это законно, пока косинусы не равны нулю). Тогда каждое слагаемое превращается в тангенс:

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 - \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\,\tan\beta}.$

Для разности вывод дословно такой же, только в исходных формулах синуса и косинуса разности меняются знаки - в итоге плюс и минус меняются местами. Этот вывод полезно уметь воспроизводить: на экзамене формулу тангенса нередко просят получить именно так, а не процитировать.

Как считать tan(α ± β): пример с tan 75°

Классическое применение - точные значения углов, которые не входят в таблицу, но раскладываются на табличные. Возьмём $\tan 75°$ и представим $75° = 45° + 30°$:

$\tan 75° = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \cdot \tan 30°} = \frac{1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}}.$

Умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, получаем $\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, и после избавления от иррациональности в знаменателе - $\tan 75° = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732$. Тем же приёмом считается $\tan 15° = \tan(45° - 30°) = 2 - \sqrt{3}$. В калькуляторе выше можно поставить $\alpha = 45°$, $\beta = 30°$ и сравнить результат формулы с прямым значением $\tan 75°$ - они совпадают.

Рассчитать для своей задачи

На графике тангенса хорошо видно, почему результат получается большим: вблизи $90°$ кривая круто уходит вверх, и сумма углов $75°$ уже попадает в эту быстрорастущую область. Поэтому $\tan 75°$ заметно превосходит и $\tan 45° = 1$, и $\tan 30° \approx 0{,}577$ по отдельности - тангенс суммы не равен сумме тангенсов.

Когда тангенс суммы не определён

У формулы есть граница применимости, которую легко упустить. Знаменатель $1 - \tan\alpha\,\tan\beta$ может обратиться в ноль - тогда дробь теряет смысл. Это не сбой формулы, а её честный сигнал: если $\alpha + \beta = 90°$ (или вообще кратно $90°$ с поправкой на период), то сам угол попадает на вертикальную асимптоту, где тангенс не существует.

Например, для $\alpha = 60°$, $\beta = 30°$ произведение $\tan 60° \cdot \tan 30° = \sqrt{3}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}} = 1$, знаменатель равен нулю, и $\tan 90°$ действительно не определён. В калькуляторе при таком наборе углов поле результата покажет «не опр.» - это правильное поведение, а не ошибка. Отдельно нужно следить, чтобы и сами $\tan\alpha$, $\tan\beta$ существовали: при $\alpha = 90°$ формулу в этом виде применять нельзя, тогда переходят к синусам и косинусам напрямую.

Где формула применяется в задачах

Помимо точных значений углов, формула тангенса суммы и разности постоянно всплывает в трёх типах задач. Первый - тригонометрические уравнения, где аргумент задан составным, например $\tan(x + 45°) = 2\tan x$: формула раскрывает левую часть через $\tan x$ и сводит уравнение к алгебраическому относительно $t = \tan x$. Второй - доказательство тождеств: многие соотношения, вроде $\tan\alpha + \tan\beta = \tan(\alpha+\beta)\,(1 - \tan\alpha\tan\beta)$, получаются простой перестановкой членов формулы. Третий - геометрия и физика, где встречается угол между прямыми: если две прямые имеют угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$, то тангенс угла между ними равен $\dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}$ - это та же формула тангенса разности, в которой $\tan\alpha = k_1$ и $\tan\beta = k_2$. Поэтому формула важна не только в тригонометрии, но и в аналитической геометрии, где угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона.

Чтобы не держать формулу «в воздухе», полезно один раз пройти полный расчёт по шагам: выписать тангенсы обоих углов, аккуратно собрать числитель с нужным знаком, собрать знаменатель с противоположным знаком и только потом делить. Калькулятор в начале статьи делает ровно эти шаги и показывает числитель и знаменатель отдельно - так видно, на каком этапе обычно теряется знак.

Частые ошибки

• Знак в знаменателе. Для суммы в знаменателе стоит минус, для разности - плюс. Перепутать их - самая частая ошибка; правило «в знаменателе знак противоположный» спасает.
• Сумма тангенсов вместо тангенса суммы. $\tan(\alpha+\beta) \ne \tan\alpha + \tan\beta$. Тангенс - нелинейная функция, складывать «в лоб» нельзя.
• Забыли про неопределённость. Если знаменатель обратился в ноль, ответ не «бесконечность как число», а «тангенс не определён»: угол кратен $90°$.
• Градусы и радианы. Перед подстановкой убедитесь, что углы в одной системе. В табличных значениях $\tan 45° = 1$, но $\tan(45) \ne 1$, если калькулятор стоит в радианах.
• Потеряли период. Тангенс имеет период $180°$, поэтому $\tan(\alpha+\beta)$ и $\tan(\alpha+\beta+180°)$ равны - это иногда нужно учитывать при решении уравнений.

FAQ

Чем формула тангенса суммы отличается от формулы разности? Только знаками. В числителе знак совпадает со знаком в скобке (плюс для суммы, минус для разности), а в знаменателе он противоположный. Формально это одна формула $\tan(\alpha\pm\beta) = \dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ с согласованными верхними и нижними знаками.

Как через неё найти tan двойного угла? Положите $\beta = \alpha$ в формулу суммы: $\tan 2\alpha = \dfrac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha\cdot\tan\alpha} = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$. Это и есть стандартная формула тангенса двойного угла - она частный случай тангенса суммы.

Почему нельзя просто сложить тангенсы углов? Потому что тангенс нелинеен: его график круто меняется к асимптотам. Сумма тангенсов и тангенс суммы совпадают только в вырожденных случаях. Калькулятор выше наглядно показывает, что $\tan(\alpha+\beta)$ почти всегда отличается от $\tan\alpha + \tan\beta$.

Коротко

Формула тангенса суммы и разности - $\tan(\alpha\pm\beta) = \dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$, где знак в числителе совпадает со знаком в скобке, а в знаменателе ему противоположен. Она выводится делением формул синуса и косинуса суммы на $\cos\alpha\cos\beta$ и удобна для точных значений ($\tan 75° = 2+\sqrt{3}$), вывода тангенса двойного угла и решения уравнений. Главное - не путать знак в знаменателе, помнить, что тангенс суммы не равен сумме тангенсов, и проверять, не обращается ли знаменатель в ноль, когда угол становится кратным $90°$.