Замена переменной в тригонометрических уравнениях

Тригонометрические уравнения вида $\sin^2 x - \sin x - 2 = 0$ или $2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$ выглядят страшно, но внутри скрывается обычное квадратное уравнение. Стоит обозначить $t = \sin x$ или $t = \cos x$ - и вся тригонометрия исчезает. Ниже - калькулятор, который покажет, как это работает для ваших коэффициентов, и проверит, входят ли найденные корни в допустимую область.

Когда применяют замену переменной

Замена $t = \sin x$ (или $t = \cos x$, $t = \tg x$) полезна, когда уравнение содержит одну тригонометрическую функцию в нескольких степенях. Стандартные случаи:

• Квадратное по $\sin x$: $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$.
• Квадратное по $\cos x$: $a\cos^2 x + b\cos x + c = 0$.
• Квадратное по $\tg x$: $a\tg^2 x + b\tg x + c = 0$.
• Однородное второй степени: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ - делится на $\cos^2 x$, затем замена $t = \tg x$.

Признак: в уравнении присутствует одна функция, и её степени кратны (например, $\sin^2 x$ и $\sin x$, но не $\sin x$ и $\cos x$ одновременно без связи между ними).

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм замены переменной

Рассмотрим пошагово на примере $\sin^2 x - \sin x - 2 = 0$.

Шаг 1. Сделать замену. Пишем $t = \sin x$, тогда $\sin^2 x = t^2$. Уравнение принимает вид: $t^2 - t - 2 = 0.$

Шаг 2. Найти корни алгебраического уравнения. По формуле дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad \sqrt{D} = 3.$ $t_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \quad t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.$

Шаг 3. Проверить ОДЗ. Поскольку $t = \sin x$ и $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$, переменная $t$ обязана лежать в отрезке $[-1; 1]$:

• $t_1 = -1$: входит в $[-1; 1]$, подходит.
• $t_2 = 2$: не входит в $[-1; 1]$, отбрасываем.

Шаг 4. Сделать обратную замену. Для допустимого корня $t_1 = -1$ решаем $\sin x = -1$: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Область допустимых значений (ОДЗ)

Ключевое правило метода: найденные корни $t$ нужно обязательно проверять на соответствие области значений исходной функции.

Рассчитать для своей задачи

• Для $t = \sin x$: ОДЗ $t \in [-1; 1]$.
• Для $t = \cos x$: ОДЗ $t \in [-1; 1]$.
• Для $t = \tg x$: ОДЗ $t \in (-\infty; +\infty)$, но обратная замена $x = \arctg t + \pi n$ даёт бесконечную серию.
• Для $t = \ctg x$: ОДЗ $t \in (-\infty; +\infty)$.

Если все найденные корни $t$ лежат вне ОДЗ, уравнение не имеет решений.

Обратная замена: сколько решений даёт один корень

Каждый допустимый корень $t^*$ порождает серию решений по $x$. Для $\sin x = t^*$:

$x = \arcsin t^* + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin t^* + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Исключение: если $|t^*| = 1$, то $\arcsin(\pm 1) = \pm \frac{\pi}{2}$, и оба ряда совпадают, давая одну серию.

Для $\cos x = t^*$: $x = \pm\arccos t^* + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Для $\tg x = t^*$: $x = \arctg t^* + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Квадратное по $\cos x$: пример с двумя допустимыми корнями

Решим $2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$.

Замена $t = \cos x$, ОДЗ $t \in [-1; 1]$: $2t^2 + 3t + 1 = 0.$ $D = 9 - 8 = 1, \quad t_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1, \quad t_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}.$

Оба корня в $[-1; 1]$. Обратная замена:

• $\cos x = -1$: $x = \pi + 2\pi n$.
• $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Итоговый ответ: $x = \pi + 2\pi n$ и $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Однородное уравнение второй степени

Уравнение $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ называют однородным. При $\cos x \ne 0$ делим на $\cos^2 x$: $a\tg^2 x + b\tg x + c = 0.$ Замена $t = \tg x$: $at^2 + bt + c = 0.$ ОДЗ здесь $t \in \mathbb{R}$ (все корни допустимы). Обратная замена: $x = \arctg t_k + \pi n$.

Частые ошибки

• Не проверяют ОДЗ. Корень $t = 1.5$ для $t = \sin x$ недопустим - уравнение $\sin x = 1.5$ не имеет решений. Это частейшая ошибка на ЕГЭ.
• Забывают вторую серию при обратной замене через arcsin. $\sin x = \frac{1}{2}$ даёт два ряда: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
• Делят на тригонометрическую функцию без проверки. Деление на $\cos x$ или $\sin x$ требует отдельной проверки $\cos x = 0$ (или $\sin x = 0$).
• Смешивают $\sin^2 x$ и $(\sin x)^2$. Это одно и то же, но иногда $\sin^2 x$ путают с $\sin(2x)$, что неверно.
• Не упрощают перед заменой. Уравнение $\sin^2 x + \cos^2 x - 1 = 0$ - это тождество, верное при любом $x$: замена не нужна.

FAQ

Можно ли делать замену $t = \sin^2 x$, а не $t = \sin x$?

Иногда удобна замена $t = \sin^2 x$ (особенно если в уравнении нет нечётных степеней), но тогда ОДЗ меняется: $t \in [0; 1]$. Это рабочий подход, но он менее стандартен и чаще приводит к ошибкам с ОДЗ.

Что делать, если уравнение содержит и $\sin x$, и $\cos x$?

Привести к одной функции. Например, через формулу $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ (или $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$). После подстановки остаётся одна функция, и замена становится корректной.

Работает ли метод для уравнений выше второй степени?

Да. Например, $\sin^4 x - 5\sin^2 x + 4 = 0$ - биквадратное уравнение. Замена $t = \sin^2 x$, ОДЗ $[0; 1]$: $t^2 - 5t + 4 = 0$, корни $t = 1$ и $t = 4$. Только $t = 1$ входит в ОДЗ, что даёт $\sin^2 x = 1$, а значит $\sin x = \pm 1$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Коротко

Метод замены переменной в тригонометрических уравнениях: обозначаем $t$ равным одной тригонометрической функции, решаем полученное алгебраическое уравнение, проверяем корни на ОДЗ (для $\sin x$ и $\cos x$ это $[-1; 1]$), делаем обратную замену и записываем полный ответ с параметром $n \in \mathbb{Z}$.