Логарифмические неравенства: метод интервалов

Логарифмические неравенства стабильно входят в ЕГЭ по профильной математике и часто вызывают затруднения из-за одной тонкости: направление неравенства зависит от основания логарифма. Если основание больше единицы, логарифм возрастает и знак сохраняется; если основание меньше единицы, логарифм убывает и знак переворачивается. Метод интервалов позволяет систематизировать этот разбор и не потерять ни условие ОДЗ, ни точки смены знака. Ниже - алгоритм и интерактивный калькулятор, на котором можно подобрать любые параметры и сразу увидеть зону решения.

Область допустимых значений: первый шаг, который нельзя пропускать

Прежде чем работать с неравенством, необходимо найти ОДЗ - множество значений $x$, при которых логарифм существует. Логарифм $\log_a f(x)$ определён тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

$$f(x) > 0, \quad a > 0, \quad a \neq 1.$$

Для неравенства вида $\log_a(x - c) \,[\text{знак}]\, d$ условие ОДЗ - это $x - c > 0$, то есть $x > c$. Это неравенство должно быть пересечено с ответом в конце - без него даже верно найденный промежуток окажется ошибочным.

Когда в неравенстве стоят два логарифма, ОДЗ расширяется: нужно потребовать положительность аргумента у каждого. Для $\log_a f(x) \geq \log_a g(x)$ ОДЗ - это $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ одновременно. Нередко именно пересечение этих двух условий с ответом «срезает» лишние промежутки.

Рассчитать для своей задачи

Типичная ошибка: написать ОДЗ, а потом про него забыть. Например, для $\log_3(x - 2) > 1$ ОДЗ - это $x > 2$, и ответ $(3; +\infty)$ уже лежит строго внутри ОДЗ. Но если бы граница решения оказалась левее $x = 2$, нужно было бы взять пересечение - и ответ мог бы оказаться пустым множеством.

Алгоритм метода интервалов для логарифмических неравенств

Метод интервалов для логарифмических неравенств немного отличается от привычного дробно-рационального случая: вместо нулей функции мы ищем точки, где логарифм равен правой части, и учитываем монотонность.

Шаг 1. Найти ОДЗ: $f(x) > 0$. Если логарифмов несколько - пересечь все условия.

Шаг 2. Перейти к показательному неравенству, сняв логарифм с обеих частей. Здесь критично основание $a$:

• $a > 1$: логарифм возрастает $\Rightarrow$ знак неравенства сохраняется: $\log_a f(x) > d \;\Longleftrightarrow\; f(x) > a^d.$
• $0 < a < 1$: логарифм убывает $\Rightarrow$ знак неравенства переворачивается: $\log_a f(x) > d \;\Longleftrightarrow\; f(x) < a^d.$

Шаг 3. Решить полученное показательное неравенство методом интервалов. Для линейного $f(x) = x - c$ достаточно одного шага: передвинуть константу. Для квадратного - найти корни, расставить знаки и выбрать нужные промежутки.

Шаг 4. Взять пересечение с ОДЗ.

Шаг 5. Записать ответ в виде промежутка, проверив, включены ли концы (только при $\geq$ или $\leq$ для нулей числителя; точки ОДЗ всегда исключены строго).

Удобный мнемонический приём: нарисуйте числовую ось, отметьте точку-границу ОДЗ (штриховая вертикаль) и точку-границу решения. Подписи «+» и «−» на интервалах помогают не запутаться в направлении - именно так устроен график в калькуляторе выше.

Рассчитать для своей задачи

Пример 1: основание больше единицы

Решим $\log_3(x) > 1$.

ОДЗ: $x > 0$.

Снимаем логарифм. $a = 3 > 1$ - логарифм возрастает, знак сохраняется: $\log_3(x) > 1 \;\Longleftrightarrow\; x > 3^1 = 3.$

Пересечение с ОДЗ: $(3; +\infty) \cap (0; +\infty) = (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

В калькуляторе: выставьте $a = 3$, $c = 0$, $d = 1$, знак $>$ - зелёная зона совпадёт с $(3; +\infty)$.

Пример 2: основание меньше единицы, знак переворачивается

Решим $\log_{0{,}5}(x + 1) < 2$.

ОДЗ: $x + 1 > 0 \;\Rightarrow\; x > -1$.

Снимаем логарифм. $a = 0{,}5 < 1$ - убывающий логарифм, знак переворачивается: $\log_{0{,}5}(x + 1) < 2 \;\Longleftrightarrow\; x + 1 > 0{,}5^2 = 0{,}25 \;\Longleftrightarrow\; x > -0{,}75.$

Пересечение с ОДЗ: $(-0{,}75; +\infty) \cap (-1; +\infty) = (-0{,}75; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-0{,}75; +\infty)$.

Здесь ключевое - не перепутать направление: кажется, что $<$ должно давать «меньше», но из-за убывания логарифма получается «больше».

Неравенство с переменным основанием: два случая

Когда основание само зависит от $x$, например $\log_x 5 < 1$, разбор усложняется: нужно рассматривать два случая отдельно.

Случай 1: $x > 1$. Логарифм возрастает, знак сохраняется: $\log_x 5 < 1 \;\Longleftrightarrow\; 5 < x^1 = x \;\Longleftrightarrow\; x > 5.$ Пересечение с условием случая: $x > 5$.

Случай 2: $0 < x < 1$. Логарифм убывает, знак переворачивается: $\log_x 5 < 1 \;\Longleftrightarrow\; 5 > x^1 = x \;\Longleftrightarrow\; x < 5.$ Пересечение с условием случая: $0 < x < 1$.

Итог (объединение): $x \in (0;\, 1) \cup (5;\, +\infty)$.

Обратите внимание: $x = 1$ не входит в ОДЗ никогда (при $a = 1$ логарифм не определён), поэтому точка $x = 1$ всегда исключается.

Рассчитать для своей задачи

Неравенство с двумя логарифмами одного основания

Неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ решается по той же схеме, но ОДЗ теперь двойная: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ одновременно. Это принципиально - нельзя учесть ОДЗ только одного логарифма.

Снятие логарифма: при $a > 1$ - $f(x) > g(x)$; при $0 < a < 1$ - $f(x) < g(x)$.

Пример: $\log_2(x + 3) \geq \log_2(2x - 1)$.

ОДЗ: $x + 3 > 0$ и $2x - 1 > 0 \;\Rightarrow\; x > \tfrac{1}{2}$.

Снимаем логарифм: $a = 2 > 1$, знак сохраняется: $x + 3 \geq 2x - 1 \;\Rightarrow\; 4 \geq x \;\Rightarrow\; x \leq 4.$

Пересечение с ОДЗ: $x \in \bigl(\tfrac{1}{2};\, 4\bigr]$.

Заметьте: правый конец $x = 4$ включён (из-за $\geq$), а левый $x = \tfrac{1}{2}$ - строго исключён (граница ОДЗ).

При $0 < a < 1$ в аналогичном примере знак после снятия логарифма перевернулся бы, и ответ оказался бы на другой стороне: не «до 4», а «от 4». Именно поэтому шаг с определением монотонности - ключевой.

Частые ошибки

• Забыть ОДЗ. Даже верно найденный промежуток надо пересечь с $f(x) > 0$. Без этого в ответ могут попасть значения, где логарифм не определён.
• Не перевернуть знак при $0 < a < 1$. При убывающем логарифме $\log_a f > \log_a g \;\Leftrightarrow\; f < g$ - многие забывают об этом.
• Включить границу ОДЗ в ответ. Точка $x = c$ при $f(x) = x - c$ всегда исключается из ОДЗ (логарифм нуля не определён), даже если стоит знак $\geq$.
• Путать $a^d$ и $d^a$. При снятии логарифма $\log_a(\ldots) > d$ правая часть становится $a^d$, не $d^a$.
• При переменном основании не разбить на два случая. Пропустить случай $0 < x < 1$ - значит потерять часть ответа.

FAQ

Почему при основании меньше единицы знак переворачивается? Функция $\log_a x$ при $0 < a < 1$ убывает: чем больше $x$, тем меньше $\log_a x$. Поэтому из $\log_a f > \log_a g$ следует $f < g$ - чтобы меньший логарифм отвечал большему аргументу.

Всегда ли точка-граница исключена из ответа? Граница ОДЗ ($f(x) = 0$) всегда исключена, поскольку там логарифм не определён. Граница решения (где $\log_a f = d$) включается, если стоит $\geq$ или $\leq$, и исключается при строгом неравенстве.

Как решать неравенства вида $\log_a^2 x - 3\log_a x + 2 < 0$? Это квадратное неравенство относительно $t = \log_a x$. Находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$, решаем квадратное неравенство ($1 < t < 2$), потом переходим обратно к $x$: если $a > 1$, то $a < x < a^2$.

Коротко

Логарифмические неравенства решаются в четыре шага: найти ОДЗ, снять логарифм с учётом монотонности (при $a > 1$ знак сохраняется, при $0 < a < 1$ переворачивается), применить метод интервалов к показательному неравенству и пересечь с ОДЗ. При переменном основании - разбить на два случая и объединить. Граница ОДЗ всегда строго исключена, граница решения - в зависимости от строгости знака.