Логарифмические неравенства с переменным основанием

Логарифмические неравенства с переменным основанием - один из самых каверзных типов задач: здесь нельзя просто «убрать логарифм» и сохранить знак, потому что монотонность функции $\log_a$ зависит от того, больше основание единицы или меньше. Пробуйте разные значения $a$ и $b$ в калькуляторе ниже: сразу видно, как зона решения прыгает с одного конца на другой при переходе через $a = 1$.

Что такое переменное основание

В стандартных задачах основание логарифма фиксировано: $\log_2$, $\log_{10}$, $\ln$. Неравенство $\log_2(x) < 3$ решается в одну строку: $0 < x < 8$. Но когда основание само содержит переменную или параметр, алгоритм усложняется.

Простейший «переменный» случай - когда основание задано числом из интервала $(0, 1)$, например $\log_{0{,}5}(x) > 2$. Здесь основание конкретное, но функция $\log_{0{,}5}$ убывает, и это меняет решение. В общем случае основание $a$ может зависеть от $x$ или от параметра, и приходится разбирать несколько диапазонов.

Формально речь идёт о неравенствах вида:

$\log_a(f(x)) \,\square\, \log_a(g(x)),$

где $a > 0$, $a \neq 1$, а $f(x)$ и $g(x)$ - некоторые выражения.

Ключевой факт: монотонность меняет знак

Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$:

• возрастает при $a > 1$: больший аргумент даёт больший логарифм,
• убывает при $0 < a < 1$: больший аргумент даёт меньший логарифм.

Отсюда главное правило: когда переходишь от неравенства на логарифмы к неравенству на аргументы, смотри на $a$:

$\log_a(f(x)) < \log_a(g(x)) \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} f(x) < g(x), & a > 1, \\ f(x) > g(x), & 0 < a < 1. \end{cases}$

При $a > 1$ знак сохраняется. При $0 < a < 1$ знак переворачивается. Это и есть «ловушка», в которую попадают, если не думать о значении основания.

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм решения: пять шагов

Чёткий порядок действий снимает 90 % ошибок.

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм определён только при положительном аргументе, основание обязано быть положительным и отличным от единицы:

$f(x) > 0, \quad g(x) > 0, \quad a > 0, \quad a \neq 1.$

Если $a$ само зависит от $x$, ОДЗ включает и условие на $a$.

Шаг 2. Разбить на два случая. Если основание является параметром или зависит от $x$:

$\text{Случай 1: } a > 1. \qquad \text{Случай 2: } 0 < a < 1.$

В каждом случае неравенство на логарифмы переписывается в неравенство на аргументы с соответствующим знаком.

Шаг 3. Решить неравенство на аргументы. В каждом случае решить получившееся алгебраическое неравенство.

Шаг 4. Пересечение с ОДЗ. Решение каждого случая пересечь с его ОДЗ.

Шаг 5. Объединить ответы. Итоговый ответ - объединение решений из Случая 1 и Случая 2.

Пример с конкретным параметром

Рассмотрим неравенство:

$\log_{0{,}3}(x) < \log_{0{,}3}(7).$

Здесь $a = 0{,}3 \in (0, 1)$, поэтому функция убывает. Переходим к аргументам с переворотом знака:

$x > 7.$

С учётом ОДЗ ($x > 0$) ответ: $x > 7$.

Для сравнения: $\log_3(x) < \log_3(7)$ даёт $x < 7$ (при $a = 3 > 1$ знак не меняется), то есть $0 < x < 7$.

Рассчитать для своей задачи

Пример с переменным основанием

Задача ЕГЭ профильного уровня: $\log_{x-1}(3) < 1$.

Здесь основание $a = x - 1$ само зависит от $x$. ОДЗ:

$x - 1 > 0, \quad x - 1 \neq 1 \;\Rightarrow\; x > 1, \; x \neq 2.$

Правую часть запишем через тот же логарифм: $1 = \log_{x-1}(x - 1)$. Неравенство принимает вид:

$\log_{x-1}(3) < \log_{x-1}(x - 1).$

Случай 1: $x - 1 > 1$, то есть $x > 2$. Функция возрастает, знак сохраняется:

$3 < x - 1 \;\Rightarrow\; x > 4.$

Пересечение с $x > 2$: решение $x > 4$.

Случай 2: $0 < x - 1 < 1$, то есть $1 < x < 2$. Функция убывает, знак переворачивается:

$3 > x - 1 \;\Rightarrow\; x < 4.$

Пересечение с $1 < x < 2$: решение $1 < x < 2$.

Итоговый ответ: $x \in (1, 2) \cup (4, +\infty)$.

Частые ошибки

• Игнорирование монотонности. Если просто «снять» логарифм и оставить знак, получишь неверный ответ при $0 < a < 1$. Всегда смотри на значение основания первым делом.
• Забытая ОДЗ. Логарифм не определён при $x \leq 0$ - без пересечения с ОДЗ ответ неполный.
• Случай $a = 1$ не исключён. $\log_1$ не существует, и если основание может равняться единице, это особая точка, которую нужно выкинуть явно.
• Нет разбора двух случаев. Если основание содержит переменную, без двух случаев (больше 1 / меньше 1) задача не решается.
• Неверное ОДЗ на основание. Условие $a > 0$ само по себе мало; нужно ещё $a \neq 1$. Если $a = x^2$, то при $x = 1$ или $x = -1$ логарифм теряет смысл - это нужно учесть.

FAQ

Почему при $a < 1$ знак переворачивается? Потому что $\log_a$ при $0 < a < 1$ - убывающая функция: чем больше аргумент, тем меньше логарифм. Из $\log_a(x_1) < \log_a(x_2)$ следует $x_1 > x_2$, а не $x_1 < x_2$. Геометрически это видно на графике: кривая «смотрит вниз», а не вверх.

Как понять, что основание > 1 или < 1, если оно содержит переменную? Нужно решить два неравенства: $a(x) > 1$ и $0 < a(x) < 1$ - и для каждого диапазона разбирать задачу отдельно. Это и есть «разбор случаев».

Что делать, если логарифм стоит и слева, и справа с разными основаниями? Свести к одному основанию через формулу перехода $\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}$, а затем решать как обычное алгебраическое неравенство. Или перейти к функции одного переменного и исследовать её знак.

Коротко

Логарифмические неравенства с переменным основанием решаются по алгоритму из пяти шагов: выписать ОДЗ (аргументы положительны, основание положительно и не равно единице), разделить на два случая по знаку $a - 1$, в каждом случае перейти от неравенства на логарифмы к неравенству на аргументы с нужным знаком (сохраняется при $a > 1$, переворачивается при $0 < a < 1$), пересечь с ОДЗ и объединить результаты. Калькулятор выше даёт мгновенную проверку: двигайте $a$ через единицу и смотрите, как переключается зона решения.