Логарифмические уравнения по определению логарифма

Решение по определению логарифма - самый первый приём, с которого начинают тему логарифмических уравнений. Если уравнение приведено к виду «логарифм равен числу», его не нужно потенцировать или менять переменную: достаточно вспомнить, что значит сам логарифм. Запись $\log_a b = c$ по определению означает $a^c = b$, и этот переход решает целый класс простейших уравнений в одну строку. Ниже - почему это работает, как не потерять ОДЗ и какие уравнения сводятся к этому виду. Интерактивный сборщик ниже соберёт пошаговый разбор вашего уравнения и отправит его в чат.

Что значит «решить по определению логарифма»

Логарифм $\log_a b$ - это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Формально определение записывается так:

$$\log_a b = c \;\Longleftrightarrow\; a^c = b, \qquad a>0,\ a\neq 1,\ b>0.$$

Отсюда сразу следует способ решать простейшие логарифмические уравнения. Если уравнение имеет вид $\log_a f(x) = b$, где справа стоит число, а слева один логарифм, то по определению логарифм можно «снять»: выражение под ним равно основанию в степени правой части.

$$\log_a f(x) = b \;\Longleftrightarrow\; f(x) = a^{b}.$$

Никаких дополнительных свойств логарифмов здесь не требуется - работает сама расшифровка того, что такое логарифм. Поэтому метод и называют решением «по определению»: мы не преобразуем уравнение хитрыми тождествами, а буквально переписываем равенство в показательной форме.

Рассчитать для своей задачи

Простейший случай и базовый пример

Самый чистый вид - когда под логарифмом стоит сама переменная: $\log_a x = b$. По определению $x = a^b$, и это уже готовый ответ, если он попадает в область определения. Например, уравнение $\log_2 x = 5$ превращается в $x = 2^5 = 32$. Поскольку $32>0$, корень существует и проходит проверку.

Чуть сложнее, когда под логарифмом не сама переменная, а выражение. Уравнение $\log_3(x-2) = 2$ по определению даёт $x-2 = 3^2 = 9$, откуда $x = 11$. Аргумент $x-2$ в этой точке равен $9>0$ - значит, логарифм определён и корень годится. Обратите внимание: правая часть может быть и отрицательной. В уравнении $\log_2 x = -3$ имеем $x = 2^{-3} = \tfrac18$, и это положительное число, так что корень существует. Отрицательным может быть значение логарифма, но не его аргумент.

Область допустимых значений: короткий, но обязательный шаг

Хотя метод выглядит как «снять логарифм и решить», ОДЗ выписывать всё равно нужно. Логарифм $\log_a f(x)$ существует только при $f(x)>0$, а если основание содержит переменную - ещё и при условии $a>0,\ a\neq 1$. Поэтому даже в простейшем уравнении сначала фиксируют, при каких $x$ выражение под логарифмом положительно, а уже потом приравнивают его к $a^b$.

Хорошая новость: при решении по определению посторонние корни почти не возникают. Переход $\log_a f(x)=b \Leftrightarrow f(x)=a^b$ равносилен на ОДЗ, потому что правая часть $a^b$ всегда строго положительна, а значит автоматически удовлетворяет требованию $f(x)>0$ для найденного значения. Тем не менее запись ОДЗ остаётся обязательной частью оформления, и без неё на экзамене снимают баллы. Тот же принцип контроля области работает и в методе потенцирования логарифмических уравнений, где расширение области уже способно добавить лишние корни.

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм решения по определению

Сведём приём к короткой пошаговой схеме, которая закрывает практически все задачи этого типа.

Шаг 1. Выписать ОДЗ: потребовать положительности выражения под логарифмом, $f(x)>0$ (и условие $a>0,\ a\neq 1$, если основание содержит переменную).

Шаг 2. Убедиться, что уравнение приведено к виду «один логарифм равен числу»: $\log_a f(x) = b$. Если логарифмов несколько или справа тоже логарифм - сначала упрощают выражение или применяют другой метод.

Шаг 3. По определению перейти к показательному равенству: $f(x) = a^{b}$.

Шаг 4. Решить полученное алгебраическое уравнение относительно $x$ (чаще линейное или квадратное).

Шаг 5. Проверить найденные корни на принадлежность ОДЗ. Прошедшие проверку идут в ответ.

Удобно держать в голове образ: определение логарифма - это «ключ», который переводит уравнение из логарифмического мира в показательный, где всё считается напрямую.

Когда под логарифмом стоит квадратный трёхчлен

Метод не ограничивается линейными выражениями. Если под логарифмом многочлен, после перехода получится алгебраическое уравнение той же степени. Возьмём $\log_2(x^2 - 3x + 4) = 1$. По определению $x^2 - 3x + 4 = 2^1 = 2$, то есть $x^2 - 3x + 2 = 0$, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь проверка ОДЗ. Аргумент $x^2-3x+4$ должен быть положителен; его дискриминант отрицателен, поэтому трёхчлен положителен при всех $x$, и оба корня попадают в область определения. Значит, в ответе оба значения. Если бы аргумент в какой-то точке оказался неположительным, соответствующий корень пришлось бы отбросить - именно поэтому шаг проверки нельзя пропускать даже здесь.

Уравнения, которые сводятся к этому виду

Чисто «по определению» решаются не только уравнения, где справа уже стоит число. Часто к этому виду приводят за один шаг. Если в правой части число записано как логарифм, например $\log_a f(x) = \log_a c$, то это уже метод потенцирования; но если справа $\log_a a^k$ или просто константа, метод определения применим напрямую.

Полезно помнить связку с основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$. Оно - прямое следствие того же определения и помогает быстро проверять, что найденный корень действительно обращает уравнение в верное равенство. Когда основание непривычное (десятичное или натуральное), переход по определению остаётся тем же: $\lg x = b$ означает $x = 10^b$, а $\ln x = b$ означает $x = e^b$ - полезно держать под рукой приёмы вычисления десятичного и натурального логарифма.

Частые ошибки

• Умножение вместо возведения в степень. Переход $\log_a f = b$ даёт $f = a^b$, а не $a\cdot b$. Это типовая описка в первых задачах темы.
• Страх перед отрицательной правой частью. Значение $b$ в $\log_a x = b$ может быть отрицательным: тогда $x = a^b$ - положительная дробь, а не «нет корней». Отрицательным не может быть аргумент логарифма, а не его значение.
• Пропуск ОДЗ. Даже при равносильном переходе область определения выписывают всегда - это часть оформления, и без неё снимают баллы.
• Применение метода к неподходящему виду. Если справа стоит логарифм или слева сумма логарифмов, «снять» логарифм по определению нельзя - сначала приводят уравнение к виду «один логарифм равен числу».
• Потеря корня квадратного уравнения. Когда под логарифмом трёхчлен, после перехода получается квадратное уравнение - оба его корня нужно проверить по ОДЗ, а не брать первый попавшийся.

FAQ

Чем решение по определению отличается от потенцирования? По определению решают уравнения вида «логарифм равен числу»: $\log_a f(x)=b \Rightarrow f(x)=a^b$. Потенцирование применяют, когда логарифмы стоят по обе стороны: $\log_a f=\log_a g \Rightarrow f=g$. Это два разных простейших случая, и определение - более базовый из них.

Нужно ли проверять корни, если переход равносильный? Записать ОДЗ нужно обязательно, а явная проверка подстановкой желательна, особенно когда под логарифмом квадратный трёхчлен и корней несколько. Формально переход равносилен на ОДЗ, но проверка ловит арифметические ошибки и подтверждает ответ.

Что делать, если справа отрицательное число? Ничего особенного - метод работает так же. $\log_a x = -2$ даёт $x = a^{-2}$, положительную дробь. Отрицательной может быть только правая часть (значение логарифма), но не аргумент под знаком логарифма.

Коротко

Решение по определению логарифма закрывает простейший тип логарифмических уравнений - те, что приведены к виду $\log_a f(x) = b$. Суть приёма в одной формуле: $\log_a f(x)=b$ равносильно $f(x)=a^{b}$, потому что логарифм по определению есть показатель степени. Алгоритм короткий - выписать ОДЗ, перейти к показательному равенству $f(x)=a^b$, решить алгебру и проверить корни по области определения. Посторонние корни здесь почти не возникают, так как $a^b$ всегда положительно, но запись ОДЗ остаётся обязательной частью верного оформления.