Десятичный и натуральный логарифм: вычисление по шагам

Десятичный и натуральный логарифм - это два самых ходовых частных случая логарифма: первый берётся по основанию 10 и обозначается $\lg x$, второй по основанию $e \approx 2{,}71828$ и обозначается $\ln x$. Вычислить их без калькулятора можно почти всегда, если помнить определение, опорные значения и одну переходную формулу, связывающую любые основания. Ниже разберём, как вычисляется десятичный и натуральный логарифм пошагово: от точных значений на «круглых» аргументах до оценки и перевода одного логарифма в другой. Чтобы сразу посчитать свой пример и увидеть оба значения рядом, наберите число в калькуляторе ниже.

Что такое десятичный и натуральный логарифм

Логарифм $\log_a x$ - это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить $x$. Формально $\log_a x = c$ означает $a^c = x$. Когда основание равно 10, логарифм называют десятичным и пишут $\lg x$ вместо $\log_{10} x$. Когда основание равно числу Эйлера $e$, логарифм называют натуральным и пишут $\ln x$ вместо $\log_e x$.

$$\lg x = \log_{10} x, \qquad \ln x = \log_e x, \qquad e \approx 2{,}718281828.$$

Оба определены только при $x > 0$ - это их область допустимых значений. Из определения сразу следуют опорные равенства, которые лежат в основе любого вычисления: $\lg 1 = 0$, $\ln 1 = 0$, $\lg 10 = 1$, $\ln e = 1$. Десятичный логарифм удобен тем, что для степеней десятки он даёт целые числа: $\lg 100 = 2$, $\lg 1000 = 3$, $\lg 0{,}1 = -1$. Натуральный логарифм естественно возникает там, где есть непрерывный рост и интегралы, поэтому он базовый в анализе.

Рассчитать для своей задачи

Точное вычисление на степенях основания

Самый простой случай - когда аргумент является целой степенью основания. Тогда логарифм считается устно: достаточно записать аргумент как степень и взять показатель. Для десятичного логарифма «круглыми» будут степени десяти, для натурального - степени числа $e$.

$$\lg 10^{k} = k, \qquad \ln e^{k} = k.$$

Примеры: $\lg 10000 = \lg 10^{4} = 4$; $\lg 0{,}001 = \lg 10^{-3} = -3$; $\ln e^{5} = 5$; $\ln \dfrac{1}{e} = \ln e^{-1} = -1$. Если аргумент не степень основания, но раскладывается на множители - степени десятки и простые числа, - применяют свойства логарифма произведения и степени, чтобы свести задачу к опорным значениям. Эти приёмы подробно разобраны в материале про свойства логарифмов и преобразование выражений.

Формула перехода: связь lg и ln

Главный инструмент вычисления - формула перехода к новому основанию. Она позволяет выразить логарифм по любому основанию через логарифмы по другому. В практике это значит, что десятичный и натуральный логарифм одного и того же числа отличаются ровно в постоянное число раз.

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \qquad \text{откуда} \qquad \lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}, \quad \ln x = \frac{\lg x}{\lg e}.$$

Постоянные множители здесь известны: $\ln 10 \approx 2{,}302585$ и $\lg e \approx 0{,}434294$. Они взаимно обратны: $\lg e = \dfrac{1}{\ln 10}$. Поэтому переход в любую сторону - это умножение или деление на одну константу:

$$\ln x \approx 2{,}302585 \cdot \lg x, \qquad \lg x \approx 0{,}434294 \cdot \ln x.$$

Рассчитать для своей задачи

Например, зная $\lg 2 \approx 0{,}30103$, сразу получаем $\ln 2 \approx 2{,}302585 \cdot 0{,}30103 \approx 0{,}69315$. Обратно: $\ln 5 \approx 1{,}60944$, тогда $\lg 5 \approx 0{,}434294 \cdot 1{,}60944 \approx 0{,}69897$. Эту же связь использует калькулятор выше: он считает одно значение и через множитель мгновенно выдаёт второе.

Оценка логарифма между опорными точками

Когда нужен не точный ответ, а быстрая оценка, логарифм «зажимают» между ближайшими степенями основания. Десятичный логарифм числа показывает, между какими порядками лежит аргумент: целая часть $\lg x$ - это число цифр до запятой минус один. Так, у числа от 100 до 1000 десятичный логарифм лежит между 2 и 3.

$$10^{2} = 100 \le x \le 1000 = 10^{3} \;\Rightarrow\; 2 \le \lg x \le 3.$$

Для уточнения внутри интервала полезно помнить три опорных значения: $\lg 2 \approx 0{,}301$, $\lg 3 \approx 0{,}477$, $\lg 7 \approx 0{,}845$. Из них через свойства собираются почти все «школьные» логарифмы: $\lg 4 = 2\lg 2 \approx 0{,}602$, $\lg 5 = \lg \dfrac{10}{2} = 1 - \lg 2 \approx 0{,}699$, $\lg 6 = \lg 2 + \lg 3 \approx 0{,}778$. Тот же приём оценки применим к натуральному логарифму, только опорными становятся степени $e$: между $e^{2} \approx 7{,}39$ и $e^{3} \approx 20{,}09$ натуральный логарифм лежит между 2 и 3.

Десятичный логарифм и порядок числа

У десятичного логарифма есть исключительно удобное приложение: он напрямую измеряет порядок величины. Если записать число в стандартном виде $x = m \cdot 10^{k}$, где $1 \le m < 10$, то $\lg x = k + \lg m$, причём $0 \le \lg m < 1$. Целая часть $k$ - это и есть десятичный порядок, а дробная $\lg m$ уточняет позицию внутри порядка.

$$\lg(m \cdot 10^{k}) = k + \lg m, \qquad 1 \le m < 10.$$

Именно поэтому десятичный логарифм лежит в основе логарифмических шкал - децибел, звёздных величин, водородного показателя. Например, $\mathrm{pH} = -\lg[\mathrm{H}^{+}]$: каждая единица $\mathrm{pH}$ - это изменение концентрации в 10 раз. Натуральный логарифм в шкалах появляется реже, зато он незаменим в формулах роста и распада, где показатель экспоненты сам по себе натуральный.

Вычисление логарифма с произвольным аргументом

Для аргумента, который не сводится к опорным значениям, действуют по шагам. Сначала аргумент раскладывают на множители - степени основания и простые числа. Затем логарифм произведения превращают в сумму логарифмов, а степени выносят множителями. Наконец, подставляют известные опорные значения. Покажем на десятичном логарифме числа 200:

$$\lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = 0{,}30103 + 2 = 2{,}30103.$$

Если же нужен натуральный логарифм этого же числа, не обязательно начинать с нуля - достаточно умножить готовый десятичный на $\ln 10$: $\ln 200 \approx 2{,}302585 \cdot 2{,}30103 \approx 5{,}29832$. Этот двухходовой приём (посчитать удобный логарифм, перевести в нужный множителем) и есть главный практический навык вычисления. Если аргумент дробный, его записывают как частное и используют разность логарифмов - техника та же, что и при решении систем логарифмических уравнений.

Частые ошибки

• Путают $\lg$ и $\ln$. $\lg$ - это всегда основание 10, $\ln$ - основание $e$. В разных учебниках $\log$ без указания основания может означать и то, и другое; уточняйте контекст.
• Считают логарифм суммы поразрядно. $\lg(a + b) \ne \lg a + \lg b$. В сумму раскладывается логарифм произведения, а не суммы.
• Теряют знак для аргумента меньше единицы. Для $0 < x < 1$ логарифм отрицателен: $\lg 0{,}5 \approx -0{,}301$, а не $0{,}301$.
• Берут логарифм отрицательного числа или нуля. Область определения строго $x > 0$; $\lg(-4)$ и $\ln 0$ не существуют в действительных числах.
• Округляют множитель перехода грубо. Замена $\ln 10$ на 2 вместо $2{,}3026$ даёт ошибку около 15 %; держите хотя бы четыре знака.

FAQ

Чему равен натуральный логарифм 10? $\ln 10 \approx 2{,}302585$. Это в точности множитель перехода от десятичного логарифма к натуральному: $\ln x = \ln 10 \cdot \lg x$. Обратная величина $\lg e \approx 0{,}434294$ переводит натуральный логарифм в десятичный.

Как перевести десятичный логарифм в натуральный? Умножьте десятичный логарифм на $\ln 10 \approx 2{,}3026$: $\ln x = 2{,}3026 \cdot \lg x$. Например, $\lg 5 \approx 0{,}699$, значит $\ln 5 \approx 2{,}3026 \cdot 0{,}699 \approx 1{,}609$. В обратную сторону умножайте на $0{,}43429$.

Можно ли вычислить логарифм без калькулятора? Да, если аргумент - степень основания (тогда ответ устный) или раскладывается на множители 2, 3, 7 и степени десятки. Запомнив $\lg 2 \approx 0{,}301$, $\lg 3 \approx 0{,}477$, $\lg 7 \approx 0{,}845$, через свойства логарифмов можно собрать большинство табличных значений вручную.

Коротко

Десятичный логарифм $\lg x$ берётся по основанию 10, натуральный $\ln x$ - по основанию $e$. На степенях основания они считаются устно, на остальных аргументах - раскладыванием на множители с опорными значениями $\lg 2$, $\lg 3$, $\lg 7$. Связывает их формула перехода: $\ln x = \ln 10 \cdot \lg x \approx 2{,}3026 \cdot \lg x$, а обратно - множитель $\lg e \approx 0{,}4343$. Поэтому достаточно вычислить один из них и перевести в другой умножением на постоянную.