Логарифмические уравнения с разными основаниями

Логарифмические уравнения с разными основаниями пугают тем, что привычное «приравняй аргументы» здесь не работает: пока логарифмы записаны по разным основаниям, потенцировать нечего. Вся хитрость в одном шаге - свести все логарифмы к одному основанию, и тогда уравнение распадается на знакомую алгебру. Ниже разберём, как выбирать общее основание, как пользоваться формулой перехода и где прячутся посторонние корни. Если уже есть конкретное уравнение, опишите его в форме ниже - соберём пошаговое решение.

Почему разные основания мешают решать

Базовый приём - потенцирование - работает только когда обе части имеют вид $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ с одинаковым основанием $a$. Тогда из монотонности логарифма следует $f(x) = g(x)$, и дальше идёт обычное уравнение. Но в записи вроде $\log_2 x = \log_4 (x + 6)$ основания разные ($2$ и $4$), и приравнивать аргументы $x$ и $x + 6$ нельзя - это грубая ошибка, дающая неверный ответ.

Поэтому первый и главный шаг для любого логарифмического уравнения с разными основаниями - унификация основания. Нужно переписать все логарифмы по одному и тому же основанию, и только после этого продолжать. Способ унификации зависит от того, как связаны основания между собой.

Рассчитать для своей задачи

Формула перехода к новому основанию

Универсальный инструмент - формула перехода:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Здесь $c$ - любое удобное основание ($c > 0$, $c \ne 1$). Она позволяет переписать логарифм по основанию $a$ через логарифмы по основанию $c$. На практике в качестве $c$ берут одно из оснований, уже встречающихся в уравнении, либо натуральное основание $e$ или десятичное $10$.

Из этой формулы вытекают два удобных частных случая:

$$\begin{aligned} \log_{a^k} b &= \frac{1}{k}\,\log_a b, \\ \log_a b^k &= k\,\log_a b. \end{aligned}$$

Первая особенно полезна, когда основания - степени одного числа: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$. Тогда $\log_4 b = \tfrac12 \log_2 b$, и всё уравнение мгновенно сводится к одному основанию $2$.

Случай 1: основания - степени одного числа

Самый частый школьный тип. Если все основания являются степенями одного числа, выбирайте это число общим основанием. Возьмём $\log_2 x = \log_4 (x + 6)$. Поскольку $4 = 2^2$, по формуле $\log_4 (x+6) = \tfrac12 \log_2 (x+6)$. Уравнение становится

$$\log_2 x = \tfrac12 \log_2 (x + 6).$$

Умножим обе части на $2$ и внесём коэффициент под знак логарифма: $2\log_2 x = \log_2 x^2$, получаем $\log_2 x^2 = \log_2 (x + 6)$. Теперь основания совпали - потенцируем: $x^2 = x + 6$, то есть $x^2 - x - 6 = 0$, откуда $x = 3$ или $x = -2$. Корень $x = -2$ не входит в ОДЗ (под логарифмом $\log_2 x$ нужно $x > 0$), поэтому ответ $x = 3$.

Случай 2: основания не связаны степенью

Если основания не выражаются как степени одного числа (например, $\log_2 x$ и $\log_3 x$), приведите оба логарифма к общему основанию через полную формулу перехода. Часто удобно перейти к натуральному логарифму. Рассмотрим $\log_2 x = \log_3 x$. Перепишем оба через $\ln$:

$$\frac{\ln x}{\ln 2} = \frac{\ln x}{\ln 3}.$$

Перенесём всё в одну сторону: $\ln x \left( \tfrac{1}{\ln 2} - \tfrac{1}{\ln 3} \right) = 0$. Так как $\ln 2 \ne \ln 3$, скобка не равна нулю, значит $\ln x = 0$, то есть $x = 1$. Это единственный корень - он удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Такой тип нередко имеет один «очевидный» корень, но записывать его без выкладок нельзя: на экзамене ценится именно обоснование через формулу перехода, а не угадывание.

Случай 3: переменная в основании

Отдельная категория - уравнения, где основание содержит неизвестную: $\log_x 9 = 2$ или $\log_{x-1}(2x) = \log_{x-1} 5$. Здесь к стандартному условию положительности аргументов добавляется условие на основание: $x > 0$ и $x \ne 1$ (для $\log_{x-1}$ это $x - 1 > 0$ и $x - 1 \ne 1$). Удобно сразу выписать расширенное ОДЗ, а затем перейти к показательной форме: $\log_x 9 = 2 \iff x^2 = 9$, откуда с учётом ОДЗ $x = 3$.

Рассчитать для своей задачи

Случай 4: замена переменной

Когда после унификации в уравнении остаётся один и тот же логарифм в нескольких степенях, помогает замена. Например, $\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11$. Приведём всё к основанию $2$: $\log_2 x + \tfrac12 \log_2 x + \tfrac13 \log_2 x = 11$. Обозначим $t = \log_2 x$:

$$t + \tfrac12 t + \tfrac13 t = \tfrac{11}{6} t = 11 \;\Rightarrow\; t = 6.$$

Обратная замена: $\log_2 x = 6$, значит $x = 2^6 = 64$. Подробнее этот приём разобран в статье про замену переменной в логарифмических уравнениях, а свойства, которыми мы сворачивали логарифмы, - в преобразовании логарифмических выражений.

Алгоритм решения

Сведём всё в общий порядок действий для уравнения с разными основаниями:

1. Выпишите ОДЗ: все выражения под логарифмами строго положительны; если переменная в основании - добавьте $a > 0$, $a \ne 1$.
2. Выберите общее основание: если основания - степени одного числа, берите это число; иначе используйте $e$ или $10$.
3. Приведите все логарифмы к общему основанию формулой перехода (или коротким правилом $\log_{a^k} b = \tfrac1k \log_a b$).
4. Сверните уравнение к виду $\log_c f = \log_c g$ или к алгебраическому относительно $t = \log_c x$.
5. Решите полученное уравнение, сделайте обратную замену.
6. Проверьте каждый корень по ОДЗ и подстановкой - отсеките посторонние.

Частые ошибки

• Приравнивание аргументов при разных основаниях. $\log_2 x = \log_3(x+1)$ не даёт $x = x + 1$ - сначала унификация основания, только потом потенцирование.
• Потеря ОДЗ для переменного основания. Забывают условие $a \ne 1$: при $a = 1$ логарифм не определён, корень $x$, дающий основание $1$, посторонний.
• Неверный знак в формуле степени. Путают $\log_{a^k} b = \tfrac1k \log_a b$ с $\log_a b^k = k \log_a b$ - показатель из основания и показатель из аргумента ведут себя по-разному.
• Принятие посторонних корней. После потенцирования появляются корни, не входящие в ОДЗ; без обязательной проверки ответ оказывается лишним.
• Деление на ноль при общем основании. При переходе к $\ln$ забывают, что $\ln 1 = 0$ в знаменателе недопустимо - основание $c$ не должно равняться $1$.

FAQ

Какое основание выбрать общим? Если основания - степени одного числа ($2, 4, 8$ или $3, 9, 27$), берите это число: выкладки короче. Если связи нет, переходите к натуральному $\ln$ или десятичному $\lg$ - формула перехода работает для любого допустимого основания.

Всегда ли нужна проверка корней? Да. Преобразования логарифмов (сворачивание суммы, потенцирование) могут расширять область определения и порождать посторонние корни. Каждый найденный $x$ обязательно сверяют с ОДЗ и при необходимости подставляют в исходное уравнение.

Можно ли решать через десятичный логарифм вместо натурального? Можно: формула перехода $\log_a b = \tfrac{\lg b}{\lg a}$ работает с любым основанием $c > 0$, $c \ne 1$. Выбор между $\ln$ и $\lg$ - вопрос удобства, на ответ он не влияет.

Коротко

Логарифмические уравнения с разными основаниями решаются по единой схеме: выписать ОДЗ, привести все логарифмы к одному основанию (через формулу перехода или короткое правило для степеней), свернуть к равенству логарифмов или к алгебраическому уравнению относительно $t = \log_c x$, решить и обязательно проверить корни. Главный навык - грамотно выбрать общее основание, а главная страховка от ошибки - проверка по ОДЗ.