Свойства логарифмов: преобразование выражений по шагам

Преобразование логарифмических выражений держится на пяти базовых тождествах. Если знать их и понимать, в какую сторону каждое работает, почти любое громоздкое выражение сворачивается в несколько символов: сумма логарифмов превращается в логарифм произведения, степень выносится множителем, дробь под знаком раскладывается в разность. Ниже разберём все свойства логарифмов, которые нужны для преобразования выражений, покажем порядок действий и соберём типовые ошибки. Чтобы сразу потренироваться на своём примере, наберите выражение в форме под обложкой или соберите запрос калькулятором ниже.

Определение и область применимости

Логарифм $\log_a b$ - это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить $b$. Формально $\log_a b = c$ означает $a^c = b$. Все свойства логарифмов работают только при выполнении ограничений: основание $a > 0$, $a \ne 1$, а аргумент строго положителен: $b > 0$. Это область допустимых значений (ОДЗ), и при преобразовании выражений её нужно держать в голове постоянно - именно потерянная ОДЗ даёт большинство неверных ответов.

Из определения сразу следуют два опорных равенства, которые часто экономят вычисления:

$$\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1.$$

А также основное логарифмическое тождество - оно «развязывает» логарифм и степень:

$$a^{\log_a b} = b.$$

Логарифм произведения и частного

Два самых ходовых свойства превращают арифметику внутри логарифма в арифметику снаружи. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного - разности:

$$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y.$$

Оба тождества двусторонние. Слева направо они раскладывают сложный аргумент на простые слагаемые - это нужно при вычислении и при логарифмировании формул. Справа налево сворачивают сумму или разность логарифмов с одинаковым основанием в один логарифм - это нужно при упрощении выражений и решении уравнений.

Рассчитать для своей задачи

Пример свёртки: $\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 15$. Пример разложения: $\log_3 \frac{27}{x} = \log_3 27 - \log_3 x = 3 - \log_3 x$. Обратите внимание, что разность сворачивается только при общем основании - складывать $\log_2 3$ и $\log_5 7$ напрямую нельзя.

Вынос степени за знак логарифма

Третье свойство выносит показатель степени аргумента множителем перед логарифмом:

$$\log_a (x^k) = k \log_a x.$$

Оно работает для любого вещественного $k$, в том числе дробного и отрицательного. Поэтому корень - это тоже степень: $\log_a \sqrt[n]{x} = \log_a x^{1/n} = \frac{1}{n}\log_a x$. На этом приёме строится логарифмирование степенных выражений: например, $\log_a \frac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}$ раскладывается в $3\log_a x + \tfrac{1}{2}\log_a y - 2\log_a z$.

Есть и зеркальная формула - вынос степени из основания: $\log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x$. Объединяя обе, получаем общее правило для степеней и в основании, и в аргументе: $\log_{a^k}(x^m) = \frac{m}{k}\log_a x$.

Переход к новому основанию

Самое мощное при преобразовании выражений - формула перехода к новому основанию. Она позволяет переписать логарифм через любое удобное основание $c$:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

Чаще всего в качестве $c$ берут 10 (десятичный логарифм $\lg$) или $e$ (натуральный $\ln$) - чтобы посчитать на калькуляторе. Но в задачах на упрощение основание подбирают так, чтобы числитель и знаменатель свернулись. Из формулы перехода следуют два удобных частных случая:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}, \qquad \log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_a c.$$

Рассчитать для своей задачи

Эта формула - мост между логарифмами с разными основаниями. Без неё нельзя сложить $\log_2 5$ и $\log_4 7$: их сначала приводят к общему основанию. Похожий приём приведения к общему виду используется и при упрощении тригонометрических выражений - сводим всё к одной функции, потом упрощаем.

Порядок действий при упрощении

Когда свойств несколько, помогает устойчивый алгоритм. Преобразование громоздкого логарифмического выражения почти всегда идёт по одной схеме:

1. Выпишите ОДЗ - все аргументы положительны, основания корректны. Это страховка от лишних или потерянных решений.
2. Разложите аргументы на множители и представьте корни как степени - чтобы стало видно, к чему применять свойства.
3. Вынесите степени за знак логарифма (свойство $\log_a x^k = k\log_a x$).
4. Приведите к общему основанию, если логарифмы разные (формула перехода).
5. Сверните сумму и разность логарифмов с общим основанием в один (свойства произведения и частного).
6. Подставьте опорные значения $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$ и упростите числовую часть.

На практике пункты 4 и 5 нередко меняются местами, а часть шагов пропускается - но именно этот порядок реже всего приводит к ошибке. Тот же принцип «сначала ОДЗ, потом тождества» опирается на основное логарифмическое тождество, которое развязывает логарифм и степень.

Разбор сквозного примера

Упростим выражение $\log_3 \dfrac{81 \sqrt{x}}{27}$ при $x > 0$. Идём по алгоритму:

$$\begin{aligned} \log_3 \frac{81 \sqrt{x}}{27} &= \log_3 (81 \sqrt{x}) - \log_3 27 \\ &= \log_3 81 + \log_3 \sqrt{x} - \log_3 27 \\ &= 4 + \tfrac{1}{2}\log_3 x - 3 \\ &= 1 + \tfrac{1}{2}\log_3 x. \end{aligned}$$

Сначала логарифм частного дал разность, затем логарифм произведения - сумму, потом степени $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$ свернулись в числа 4 и 3, а корень дал коэффициент $\tfrac{1}{2}$. Выражение из четырёх символов превратилось в линейную форму относительно $\log_3 x$ - именно так выглядит результат грамотного преобразования.

Логарифмирование и потенцирование

Два встречных действия. Логарифмирование - взятие логарифма от обеих частей равенства, чтобы степени стали множителями. Так удобно работать со степенными формулами: из $y = \frac{a^2 b^3}{c}$ берётся $\ln y = 2\ln a + 3\ln b - \ln c$. Потенцирование - обратный ход: от равенства логарифмов переходят к равенству аргументов. Если $\log_a u = \log_a v$ и оба в ОДЗ, то $u = v$ - на этом стоит решение логарифмических уравнений.

Важно: потенцирование законно только при одинаковом основании слева и справа и обязательной проверке ОДЗ - иначе появляются посторонние корни, которых в исходном выражении быть не могло.

Частые ошибки

• Логарифм суммы. $\log_a(x + y) \ne \log_a x + \log_a y$. Сворачивается только произведение, не сумма. Самая частая ошибка.
• Потеря модуля при чётной степени. $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$, а не $2\log_a x$ - иначе теряется часть ОДЗ.
• Сложение логарифмов с разными основаниями. $\log_2 3 + \log_5 7$ нельзя свернуть напрямую: сначала формула перехода к общему основанию.
• Игнор ОДЗ при потенцировании. Переход $\log_a u = \log_a v \Rightarrow u = v$ без проверки $u, v > 0$ добавляет посторонние корни.
• Перепутанные числитель и знаменатель в формуле перехода. $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$: «новый» аргумент сверху, «новое» основание снизу, не наоборот.

FAQ

Можно ли свернуть $\log_a x + \log_b y$ с разными основаниями? Напрямую - нет. Сначала по формуле перехода оба логарифма приводят к общему основанию (например, натуральному), и только потом, если получается общий множитель, выражение упрощают. Свойство суммы $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ требует именно одинакового основания.

Чем отличается десятичный логарифм от натурального при преобразованиях? Только основанием: $\lg = \log_{10}$, $\ln = \log_e$. Все свойства (произведение, степень, переход) одинаковы для любого допустимого основания. Десятичный и натуральный удобны тем, что есть на калькуляторе, поэтому к ним приводят через формулу перехода для численного ответа.

Зачем при выносе степени иногда появляется модуль? Потому что чётная степень расширяет область определения аргумента. $x^2$ положительно при всех $x \ne 0$, а $\log_a x$ существует лишь при $x > 0$. Чтобы преобразование не сужало ОДЗ, чётную степень выносят с модулем: $\log_a x^2 = 2\log_a|x|$.

Коротко

Преобразование логарифмических выражений опирается на пять свойств: логарифм произведения (сумма), логарифм частного (разность), вынос степени множителем, формулу перехода к новому основанию и основное тождество $a^{\log_a b} = b$. Все они двусторонние - раскладывают сложный аргумент и сворачивают сумму логарифмов обратно. Надёжный порядок: выписать ОДЗ, разложить аргументы и вынести степени, привести к общему основанию, свернуть сумму и разность, подставить опорные значения $\log_a a = 1$ и $\log_a 1 = 0$. Главные ловушки - путать логарифм суммы с суммой логарифмов, терять модуль при чётной степени и игнорировать ОДЗ при потенцировании.