Преобразование выражений с корнями квадратными

Преобразование выражений с корнями квадратными - это набор приёмов, которые превращают громоздкую запись с радикалами в короткую и удобную для дальнейших вычислений. Главная цель почти всегда одна: упростить выражение так, чтобы под корнем не осталось лишних множителей, в знаменателе не было иррациональности, а одинаковые радикалы можно было сложить. Ниже разберём базовые свойства корня, четыре главных преобразования и типовые ловушки. Чтобы сразу проверить конкретное выражение, опишите его в форме под статьёй - разбор придёт по шагам.

Свойства квадратного корня, на которых всё держится

Все преобразования опираются на несколько тождеств. Для неотрицательных $a$ и $b$ верно:

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\;(b>0).$$

Отдельно стоит ключевое тождество, которое чаще всего нарушают:

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Именно модуль, а не просто $a$: квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$, а не $-5$. Если знак переменной неизвестен, убирать модуль нельзя. А вот складывать и вычитать корни «внутри» нельзя: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Это самое распространённое заблуждение, и проверяется оно одним примером: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, тогда как $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$.

Прежде чем что-то преобразовывать, полезно держать в голове область допустимых значений. Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным, а если корень стоит в знаменателе - ещё и отличным от нуля. Любое тождество из списка выше работает только там, где обе части определены. Поэтому первый шаг грамотного преобразования - не формула, а вопрос: при каких значениях переменной запись вообще имеет смысл. Тогда вы не потеряете ограничения и не получите посторонний ответ. Большинство приёмов ниже - это всего лишь аккуратное применение двух тождеств про произведение и про модуль в разных направлениях.

Вынесение множителя из под корня

Базовый приём упрощения - вынести из под корня всё, что является полным квадратом. Раскладываем подкоренное число на множители так, чтобы выделить наибольший квадрат, и вытаскиваем его корень наружу:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$

С переменными работает то же правило, но не забываем про модуль: $\sqrt{a^2 b}=|a|\sqrt{b}$ при $b\ge 0$. Если по условию $a\ge 0$, модуль снимается и получается $a\sqrt{b}$.

Рассчитать для своей задачи

Чтобы быстро найти наибольший квадрат-делитель, удобно разложить число на простые множители: $72=2^3\cdot 3^2$. Каждую пару одинаковых множителей выносим наружу по одному экземпляру: пара троек даёт $3$, пара двоек даёт $2$, оставшаяся двойка остаётся под корнем - снова $6\sqrt{2}$. Этот разложенческий способ надёжнее «угадывания» квадрата: он работает для любого числа и сразу показывает, что выносить нечего, если все простые множители стоят в первой степени.

Со степенями переменных правило ещё проще: чётную степень выносим целиком, нечётную дробим на чётную часть и одну единицу под корнем. Например, $\sqrt{a^5}=\sqrt{a^4\cdot a}=a^2\sqrt{a}$ при $a\ge 0$. Когда под корнем стоит произведение числа и буквенных множителей, разбираемся с каждым по отдельности, а затем собираем общий ответ.

Внесение множителя под корень

Обратное преобразование пригождается при сравнении радикалов и приведении к общему виду. Множитель перед корнем заносим под него, возведя в квадрат:

$$3\sqrt{5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{45}.$$

Важная тонкость со знаком: вносить под корень можно только неотрицательный множитель. Запись $-2\sqrt{3}$ нельзя превратить в $\sqrt{(-2)^2\cdot 3}=\sqrt{12}$, потому что $\sqrt{12}>0$, а исходное выражение отрицательно. Правильно вынести знак за корень: $-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}$.

Внесение особенно полезно, когда нужно сравнить, что больше - $3\sqrt{2}$ или $2\sqrt{5}$. Заносим оба множителя под корень: $\sqrt{18}$ против $\sqrt{20}$. Под одинаковыми корнями сравнение сводится к сравнению подкоренных чисел, поэтому $2\sqrt{5}>3\sqrt{2}$.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Если корень оказался в знаменателе дроби, выражение принято приводить к виду без радикала внизу. Для одночленного знаменателя домножаем числитель и знаменатель на тот же корень:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Рассчитать для своей задачи

Если в знаменателе сумма или разность с корнем, домножают на сопряжённое выражение - то же двучлен, но с противоположным знаком. Работает формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, которая «убивает» корень:

$$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}.$$

Этот приём - рабочая лошадка преобразований: он же помогает раскрывать неопределённости в пределах и упрощать ответы в физических задачах. Главное - не перепутать знак сопряжённого: для $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ сопряжённым будет именно $\sqrt{5}+\sqrt{3}$, и наоборот. После домножения знаменатель всегда превращается в разность подкоренных чисел, то есть в обычное рациональное число.

Разбор составного примера по шагам

Покажем, как приёмы складываются в одно решение. Упростим выражение

$$\sqrt{48}-\sqrt{27}+\frac{6}{\sqrt{3}}.$$

Сначала выносим множители из под корней: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$ и $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$. Затем избавляемся от иррациональности в третьем слагаемом: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. Теперь все три слагаемых стали подобными радикалами с корнем из трёх, и осталось их сложить:

$$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}.$$

Порядок действий здесь не случаен: сначала упрощаем каждое слагаемое по отдельности и только потом сводим подобные. Если попытаться складывать сразу, корни покажутся разными и решение застрянет на ровном месте.

Сложение и вычитание подобных радикалов

Складывать можно только подобные радикалы - те, у которых под корнем стоит одно и то же число. Тогда корень ведёт себя как общий множитель:

$$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(2+5)\sqrt{3}=7\sqrt{3}.$$

Часто радикалы выглядят разными, но после вынесения множителя оказываются подобными. Сначала упрощаем каждое слагаемое, потом складываем:

$$\sqrt{50}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}.$$

Если же подкоренные числа разные и не сводятся к общему, как $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, выражение уже считается упрощённым - складывать нечего. Тот же принцип «привести к подобному виду» лежит в основе решения иррациональных неравенств, где радикалы сравнивают и оценивают.

Сложные подкоренные выражения и вложенные корни

Иногда под корнем стоит полный квадрат двучлена, замаскированный сложением. Тогда корень «сворачивается». Узнаём шаблон $a\pm 2\sqrt{b}$ и пытаемся представить его как $(\sqrt{x}\pm\sqrt{y})^2=x+y\pm 2\sqrt{xy}$:

$$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1.$$

Здесь сработало $x+y=3$ и $xy=2$, то есть $x=2$, $y=1$. Проверка обязательна: раскрываем квадрат обратно и убеждаемся, что получили исходное подкоренное. С такими вложенными радикалами особенно легко ошибиться в знаке, поэтому держите модуль в уме: итог $\sqrt{x}\pm\sqrt{y}$ должен быть неотрицателен.

Частые ошибки

• Снимают корень без модуля. $\sqrt{x^2}=|x|$, а не $x$. Если знак $x$ неизвестен, модуль обязателен - иначе теряется часть ответа или появляется лишний.
• Разбивают корень от суммы. $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Корень распределяется только по произведению и частному, но не по сумме и разности.
• Вносят отрицательный множитель под корень. $-2\sqrt{3}\neq\sqrt{12}$. Под корень заносится только неотрицательное число, знак остаётся снаружи.
• Забывают про ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель - ненулевым. Преобразование, расширяющее область определения, может дать посторонние решения.
• Складывают неподобные радикалы. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ не равно $\sqrt{5}$ и вообще не сворачивается - это уже окончательный вид.

FAQ

Как понять, что выражение с корнем упрощено до конца? Признаков три: под корнем не осталось множителей-полных квадратов, в знаменателе нет радикала, а все подобные корни сведены вместе. Если все три условия выполнены, выражение в каноническом виде.

Зачем вообще избавляться от иррациональности в знаменателе? Это исторически сложившаяся форма ответа: с радикалом в числителе проще приводить дроби к общему знаменателю, сравнивать и подставлять в дальнейшие вычисления. На результат это не влияет, но запись становится стандартной и удобной для проверки.

Можно ли всегда вынести множитель из под корня? Только если у подкоренного числа есть делитель-полный квадрат больше единицы. Например, $\sqrt{30}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 5}$ упростить нельзя - все простые множители в первой степени, выносить нечего.

Коротко

Преобразование выражений с корнями квадратными сводится к четырём приёмам: вынести из под корня полный квадрат, внести множитель под корень, избавиться от иррациональности в знаменателе (домножением на корень или на сопряжённое) и сложить подобные радикалы. Все они опираются на свойства $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ и $\sqrt{a^2}=|a|$. Главные ловушки - снятый без модуля корень, «разбитый» корень от суммы и внесённый под корень отрицательный множитель. Упрощённым выражение считается, когда под корнем нет квадратов, в знаменателе нет радикала, а подобные корни сведены вместе.