Вынесение множителя из под корня: правило и примеры

Вынесение множителя из под корня - это упрощение радикала, при котором из подкоренного выражения вытаскивают наружу всё, что является полным квадратом. Запись становится короче и удобнее: $\sqrt{72}$ превращается в $6\sqrt{2}$, а громоздкое $\sqrt{48a^3}$ - в $4a\sqrt{3a}$. Приём базовый, но именно на нём чаще всего теряют модуль и нарушают ОДЗ. Ниже - рабочий алгоритм, примеры с числами и переменными и разбор ловушек. Чтобы сразу проверить своё выражение, опишите его в форме под статьёй.

На каком свойстве держится вынесение

Всё преобразование опирается на одно тождество для неотрицательных множителей:

$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad a\ge 0,\ b\ge 0.$$

Идея вынесения проста: раскладываем число под корнем на два множителя так, чтобы один из них был полным квадратом. Тогда корень из квадрата извлекается нацело и уходит из под радикала, а второй множитель остаётся внутри. Например, $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$, потому что $36=6^2$ - точный квадрат.

Здесь же прячется ключевая тонкость, которую мы подробно разберём ниже: $\sqrt{a^2}=|a|$, а не просто $a$. Квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому при выносе переменной наружу появляется модуль - если только знак переменной не задан условием.

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм вынесения множителя из под корня

Чтобы не угадывать разложение, действуйте по шагам.

1. Разложите подкоренное число на простые множители. Для $72$ это $72=2^3\cdot 3^2$.
2. Сгруппируйте множители в пары. Каждая пара одинаковых множителей - это полный квадрат. В $2^3\cdot 3^2$ есть пара двоек, пара троек и одна лишняя двойка.
3. Каждую пару вынесите за корень по одному экземпляру. Пара троек даёт $3$ наружу, пара двоек даёт $2$ наружу, оставшаяся двойка остаётся внутри: $\sqrt{72}=2\cdot 3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
4. Перемножьте вынесенные множители. Получаем коэффициент перед корнем.

Альтернатива первому шагу - сразу искать наибольший квадрат-делитель числа: для $72$ это $36$. Если глаз ещё не намётан, разложение на простые множители надёжнее: оно никогда не оставит «спрятанный» квадрат внутри корня.

Полезно держать в голове первые точные квадраты: $4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100$. Перебирая их сверху вниз, легко проверить, делится ли подкоренное число на какой-то из них нацело. Например, $\sqrt{200}$: число делится на $100$, значит $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$. А вот $\sqrt{75}$ на $100$, $81$, $64$, $49$ не делится, зато делится на $25$: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$. Если ни один квадрат, кроме единицы, не делит число (как у $\sqrt{30}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 5}$), выносить нечего - выражение уже в простейшем виде.

Вынесение из под корня с переменными

С буквенными множителями работает то же правило, но добавляется внимание к чётности степени и к знаку.

Для чётной степени всё прямо: $\sqrt{a^4}=a^2$ (показатель делим на 2). Для нечётной - выделяем максимальную чётную часть: $\sqrt{a^5}=\sqrt{a^4\cdot a}=a^2\sqrt{a}$. Разберём типовой пример полностью:

$$\sqrt{48a^3}=\sqrt{16\cdot 3\cdot a^2\cdot a}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{3a}=4|a|\sqrt{3a}.$$

Но здесь есть тонкость с ОДЗ: чтобы корень $\sqrt{48a^3}$ вообще существовал, нужно $a^3\ge 0$, то есть $a\ge 0$. А раз $a\ge 0$, модуль снимается, и ответ упрощается до $4a\sqrt{3a}$. Это типичная связка: ограничение области определения часто само снимает модуль.

Рассчитать для своей задачи

Модуль: где он обязателен, а где снимается

Это главная развилка темы. Правило $\sqrt{a^2}=|a|$ нельзя игнорировать.

• Если знак переменной неизвестен, модуль обязателен: $\sqrt{x^2 y}=|x|\sqrt{y}$ при $y\ge 0$. Проверка очевидна: $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$, а не $-5$.
• Если по условию $x\ge 0$, модуль снимается: $\sqrt{x^2 y}=x\sqrt{y}$.
• Если по условию $x\le 0$, модуль раскрывается со знаком минус: $|x|=-x$, поэтому $\sqrt{x^2 y}=-x\sqrt{y}$ (и здесь $-x$ как раз неотрицательно).

Разберём смешанный пример с несколькими буквами: $\sqrt{50x^4 y^3}$. Раскладываем подкоренное: $50=25\cdot 2$, $x^4=(x^2)^2$, $y^3=y^2\cdot y$. Полные квадраты - это $25$, $x^4$ и $y^2$. Выносим их корни: $5$, $x^2$ и $|y|$. Но из условия существования корня $y^3\ge 0$, значит $y\ge 0$ и $|y|=y$. На $x^4$ знак не влияет вовсе - чётная степень всегда неотрицательна, так что $\sqrt{x^4}=x^2$ без модуля. Итог: $\sqrt{50x^4 y^3}=5x^2 y\sqrt{2y}$.

Эта же логика встречается при упрощении выражений с радикалами - смежные приёмы (внесение множителя, избавление от иррациональности в знаменателе) собраны в разборе преобразования выражений с квадратными корнями.

Вынесение для корней высших степеней

Тот же принцип переносится на кубический корень и корни степени $n$, только «пары» становятся «тройками» и группами по $n$. Для кубического корня наружу выходит то, что является полным кубом:

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2},\qquad \sqrt[3]{a^7}=\sqrt[3]{a^6\cdot a}=a^2\sqrt[3]{a}.$$

Общее правило: при корне степени $n$ показатель степени множителя делят на $n$ - целая часть выходит наружу, остаток остаётся под корнем. Для нечётного $n$ модуль не нужен (нечётный корень определён и для отрицательных чисел), а для чётного $n$ действует та же осторожность со знаком, что и для квадратного.

Удобно записать это формулой через деление с остатком. Если степень множителя $k=qn+r$, где $0\le r<n$, то наружу выходит $a^{q}$, а под корнем остаётся $a^{r}$:

$$\sqrt[n]{a^{k}}=a^{q}\sqrt[n]{a^{r}},\qquad k=qn+r.$$

Например, для $\sqrt[3]{a^{7}}$ имеем $7=2\cdot 3+1$, поэтому $q=2$, $r=1$ и ответ $a^{2}\sqrt[3]{a}$ - ровно то, что получилось выше перебором.

Зачем вообще выносить множитель

Вынесение почти никогда не самоцель - это шаг к следующему действию.

• Сложение подобных радикалов. Сложить $\sqrt{72}$ и $\sqrt{50}$ напрямую нельзя, но после вынесения $6\sqrt{2}+5\sqrt{2}=11\sqrt{2}$ - корни стали подобными.
• Сокращение дробей. В дроби $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$ после вынесения $\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$.
• Приведение к каноническому виду. В стандартной записи ответа под корнем не должно оставаться множителей-квадратов - иначе выражение считается неупрощённым, и за это снижают балл.

Частые ошибки

• Потеря модуля. $\sqrt{a^2}$ записывают как $a$ вместо $|a|$, когда знак не задан. Это меняет ответ при отрицательных значениях.
• Разбиение суммы под корнем. $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Вынесение работает только для множителей, не для слагаемых: $\sqrt{9+16}=5$, а не $3+4=7$.
• Неполное вынесение. Берут не наибольший квадрат: $\sqrt{72}=2\sqrt{18}$ вместо $6\sqrt{2}$ - внутри остался квадрат $9$. Ответ формально неверен как «упрощённый».
• Игнор ОДЗ. Выносят множитель, не проверив, что подкоренное выражение неотрицательно, и теряют ограничение на переменную.
• Минус под чётным корнем. Пытаются вынести из $\sqrt{-4}$ - в действительных числах такого корня нет.

FAQ

Чем вынесение отличается от внесения множителя? Это обратные операции. Вынесение убирает множитель из под корня наружу ($\sqrt{72}=6\sqrt{2}$), внесение - заносит коэффициент под корень ($3\sqrt{5}=\sqrt{45}$). Вынесение упрощает запись, внесение удобно при сравнении радикалов.

Почему при выносе переменной появляется модуль? Потому что $\sqrt{a^2}=|a|$: квадратный корень всегда неотрицателен, а $a$ может быть отрицательным. Модуль снимается только если знак переменной известен из условия или из ОДЗ самого корня.

Как быстро найти наибольший квадрат-делитель? Разложите число на простые множители и соберите все пары одинаковых: их произведение в квадрате и есть наибольший квадрат-делитель. Для $72=2^3\cdot 3^2$ пары дают $2^2\cdot 3^2=36$.

Коротко

Вынесение множителя из под корня - это выделение полного квадрата (или куба для корней высших степеней) и извлечение его наружу по тождеству $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$. Алгоритм: разложить на простые множители, сгруппировать в пары, вынести по одному из каждой пары. С переменными помните про модуль $\sqrt{a^2}=|a|$ и про ОДЗ, которое часто этот модуль и снимает. Под корнем в итоге не должно остаться ни одного множителя-квадрата.