Иррациональные неравенства: метод решения

Иррациональные неравенства - это неравенства, в которых переменная стоит под знаком корня. Стандартный путь к решению - метод равносильных систем: мы избавляемся от корня, заменяя исходное неравенство на систему (или совокупность систем) без знака корня. Главная сложность состоит в том, что при разных знаках неравенства - больше, меньше, не больше, не меньше - схема преобразования разная, и перепутать их легко. Чтобы сразу увидеть, как кривая $y = \sqrt{ax+b}$ соотносится с прямой $y = cx+d$ при разных коэффициентах, воспользуйтесь калькулятором ниже - он покажет область решения мгновенно.

Область допустимых значений - первый обязательный шаг

Прежде чем сравнивать левую и правую части, нужно установить, при каких значениях $x$ выражение под корнем вообще определено. Для квадратного корня это требует неотрицательности подкоренного выражения:

$\sqrt{f(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) \geq 0.$

Это ограничение называют областью допустимых значений (ОДЗ). Любое решение неравенства обязано лежать внутри ОДЗ - точки вне её просто недопустимы, независимо от правой части. Например, для $\sqrt{2x - 4}$ ОДЗ - это $x \geq 2$; при $x < 2$ выражение не определено в вещественных числах.

Когда $f(x)$ - линейная функция $ax + b$ с $a > 0$, ОДЗ - луч $[{-b/a};\ +\infty)$. Если $a < 0$, луч направлен влево: $(-\infty;\ {-b/a}]$. Когда $f(x)$ - квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $> 0$, ОДЗ распадается на два луча: корни трёхчлена нужно найти, и оба они становятся граничными точками. Промежуток между ними - «запрещённая» зона.

Практически: выписывайте ОДЗ первой строкой, ещё до того, как смотреть на знак неравенства. Это страхует от ошибки, когда ответ «нечаянно» выходит за пределы допустимой области. Правило простое - если критическая точка не лежит в ОДЗ, она не может быть частью ответа.

Рассчитать для своей задачи

Метод равносильных систем для знаков <= и <

Рассмотрим $\sqrt{f(x)} \leq g(x)$. Потенциальная ошибка - немедленно возвести обе части в квадрат. Нельзя: если правая часть отрицательна, а левая всегда неотрицательна, то неравенство заведомо не выполняется, и возведение в квадрат даст ложные «решения».

Правильный переход:

$\sqrt{f(x)} \leq g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0, \\ g(x) \geq 0, \\ f(x) \leq g(x)^2. \end{cases}$

Все три условия одновременно. Первое - ОДЗ. Второе - корень неотрицателен, значит правая часть тоже должна быть неотрицательной, иначе неравенство нарушается. Третье - это уже квадратичное неравенство без корня, которое решается стандартными методами.

Для строгого знака $\sqrt{f(x)} < g(x)$ схема та же, только второе условие строгое ($g(x) > 0$) и третье тоже строгое ($f(x) < g^2(x)$).

Пример. Решим $\sqrt{x} \leq x - 2$.

Запишем систему:

$\begin{cases} x \geq 0, \\ x - 2 \geq 0, \\ x \leq (x-2)^2. \end{cases}$

Из второго условия $x \geq 2$, значит первое выполняется автоматически. Третье раскрываем: $x \leq x^2 - 4x + 4$, то есть $x^2 - 5x + 4 \geq 0$, откуда $x \leq 1$ или $x \geq 4$. Пересекаем с $x \geq 2$: получаем $x \geq 4$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

Метод равносильных систем для знаков >= и >

Для $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$ ситуация принципиально другая: если правая часть $g(x) < 0$, то неравенство выполняется для всей ОДЗ (корень всегда неотрицателен, а $g(x) < 0$ - значит левая часть точно не меньше). Поэтому переход разбивается на совокупность двух систем:

$\sqrt{f(x)} \geq g(x) \iff \left[\begin{aligned} &\begin{cases} f(x) \geq 0, \\ g(x) \leq 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \geq 0, \\ f(x) \geq g(x)^2. \end{cases} \end{aligned}\right.$

Первая система «накрывает» все точки ОДЗ, где прямая уже отрицательна. Вторая разбирает случай неотрицательной правой части и требует квадрирования.

Для строгого $\sqrt{f(x)} > g(x)$ первая система заменяется на $g(x) < 0$, третье условие во второй системе - строгое.

Рассчитать для своей задачи

Пример. Решим $\sqrt{2x+3} \geq x$.

Совокупность систем:

$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2x + 3 \geq 0, \\ x \leq 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} 2x + 3 \geq 0, \\ x \geq 0, \\ 2x + 3 \geq x^2. \end{cases} \end{aligned}\right.$

Первая система: $x \geq -3/2$ и $x \leq 0$, то есть $x \in [-3/2; 0]$.

Вторая система: $x \geq 0$ и $x^2 - 2x - 3 \leq 0$. Корни трёхчлена $x = -1$ и $x = 3$, парабола открыта вверх, значит $x^2 - 2x - 3 \leq 0$ при $x \in [-1; 3]$. Пересекаем с $x \geq 0$: $x \in [0; 3]$.

Объединяем обе части: $x \in [-3/2; 3]$.

Квадрирование и его ограничения

Возведение обеих частей в квадрат - «сердце» метода, но оно законно только когда обе части неотрицательны одновременно. Именно поэтому в системе для $\leq$ / $<$ появляется условие $g(x) \geq 0$ (или $> 0$): без него после квадрирования мы можем получить «лишние» решения, которые не удовлетворяют исходному неравенству.

Если не выполнено это условие - квадрирование создаёт расширение области, а не равносильный переход. Это приводит к ответам, которые при подстановке в исходное неравенство его не выполняют.

$f(x) \leq g^2(x) \quad \text{(законно только при } g(x) \geq 0\text{)}.$

При работе с совокупностью систем для $\geq$ / $>$ первая система как раз «отрезает» область, где прямая отрицательна, - и тогда во второй системе квадрирование всегда корректно, потому что $g(x) \geq 0$ уже включено в условия.

Важный нюанс: если $g(x)$ - не линейная функция, а, например, многочлен второй степени, его знак нужно исследовать отдельно методом интервалов. Только после этого условие $g(x) \geq 0$ превращается в конкретный числовой промежуток, который можно пересечь с ОДЗ и результатом квадрирования.

Как решать неравенство с f(x) под корнем - не линейным

Когда $f(x)$ под корнем - не линейная функция, а, например, квадратный трёхчлен $x^2 - 5x$, ОДЗ сама по себе становится объединением двух лучей. Действовать нужно так же: сначала ОДЗ, потом равносильный переход.

Пример. $\sqrt{x^2 - 5x} < x - 1$.

ОДЗ: $x^2 - 5x \geq 0 \Rightarrow x(x - 5) \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$ или $x \geq 5$.

Система для строгого $<$:

$\begin{cases} x^2 - 5x \geq 0, \\ x - 1 > 0, \\ x^2 - 5x < (x-1)^2. \end{cases}$

Третье условие: $x^2 - 5x < x^2 - 2x + 1 \Rightarrow -3x < 1 \Rightarrow x > -1/3$.

Из первого условия $x \leq 0$ или $x \geq 5$. Из второго $x > 1$. Пересечение: $x \geq 5$.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

Особый случай: корень с обеих сторон

Иногда встречаются неравенства, у которых корень стоит и слева, и справа, например $\sqrt{f(x)} \leq \sqrt{h(x)}$. Здесь обе части неотрицательны по определению, поэтому переход при $\leq$ упрощается:

$\sqrt{f(x)} \leq \sqrt{h(x)} \iff \begin{cases} f(x) \geq 0, \\ h(x) \geq 0, \\ f(x) \leq h(x). \end{cases}$

Условие неотрицательности правой части больше не нужно выписывать отдельно - оно вытекает из самого существования $\sqrt{h(x)}$. Квадрирование корректно, потому что обе части заведомо неотрицательны. После квадрирования получаем рациональное (часто линейное или квадратичное) неравенство, которое решается стандартно.

Для строгого $\sqrt{f} < \sqrt{h}$ нужно дополнительно исключить точки равенства: $f(x) < h(x)$ при условии $f(x) \geq 0$ и $h(x) \geq 0$.

Частые ошибки

• Квадрирование без проверки знака правой части. Если $g(x)$ отрицательна в какой-то части области, квадрирование добавляет лишние «решения». Всегда нужно условие $g(x) \geq 0$ в системе.
• Забытая ОДЗ при объединении. В совокупности систем для $\geq$ / $>$ первая система уже содержит $f(x) \geq 0$, но её легко упустить при финальном объединении с промежутком второй системы.
• Нарушение направления при возведении в нечётную степень. Квадратный корень и квадрат - чётные операции, знак неравенства при возведении в квадрат (при обеих неотрицательных сторонах) не меняется.
• Знак строгий vs нестрогий. При $\leq$ граничные точки пересечения кривых входят в ответ; при $<$ - не входят. Аналогично для $\geq$ и $>$. Проверить по числовой оси: закрашенный кружок - включена, пустой - нет.
• Нелинейная ОДЗ трактуется как луч. Если под корнем $x^2 - a$, ОДЗ - объединение $(-\infty; -\sqrt{a}] \cup [\sqrt{a}; +\infty)$, а не один луч.

FAQ

Всегда ли нужно разбивать на два случая при >= ? Да, потому что при $g(x) < 0$ неравенство $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$ выполняется автоматически (неотрицательное число всегда больше отрицательного). Поэтому первая система - это «бесплатное» решение для той части ОДЗ, где прямая отрицательна. При $\leq$ такого не бывает, поэтому достаточно одной системы. Самая частая ошибка при $\geq$ - пропустить первую систему и работать только со второй: тогда часть решения теряется.

Можно ли использовать метод возведения в квадрат сразу, без систем? Формально можно, но тогда нужно отдельно исследовать знак правой части и в конце проверять каждый «кандидат» подстановкой. Метод равносильных систем предпочтительнее: он структурирован, не требует дополнительной проверки и не даёт «лишних» решений, если всё записано правильно. Кроме того, при системном подходе решение читается как логическая цепочка, которую легко воспроизвести на экзамене под давлением времени.

Как решать дробно-иррациональные неравенства вида sqrt(f) / g < h ? Сначала указываем область: $f(x) \geq 0$ и $g(x) \neq 0$. Затем умножаем обе части на $g(x)$, учитывая знак $g$: если $g > 0$ - знак сохраняется, если $g < 0$ - меняется. Получаем стандартное иррациональное неравенство и применяем уже описанный метод. Если $g(x)$ меняет знак, задача разбивается на два случая, как совокупность систем.

Коротко

Иррациональное неравенство решается методом равносильных систем. Для знаков $\leq$ и $<$ записывается одна система из трёх условий: ОДЗ, неотрицательность правой части и квадратичное неравенство после возведения в квадрат. Для знаков $\geq$ и $>$ - совокупность двух систем: первая «забирает» ОДЗ там, где прямая отрицательна, вторая квадрирует при неотрицательной правой части. Если корень стоит по обе стороны, обе части заведомо неотрицательны и квадрирование сразу корректно. Ключевые правила: выписывать ОДЗ первой, не квадрировать без проверки знака, различать строгие и нестрогие знаки при записи ответа. Калькулятор выше помогает мгновенно визуализировать любой частный случай: задайте коэффициенты и выберите знак - числовая ось покажет ответ, а поле «Показать ответ» откроет пошаговый разбор в чате.