Иррациональные неравенства: равносильные переходы

Ключевая трудность иррациональных неравенств - не само решение, а правильная запись равносильного перехода. Многие ошибаются ещё на первом шаге: квадрируют обе части, не проверив знак правой, и получают более широкое множество, которое потом не знают, как сузить. Равносильные переходы решают эту проблему: они сразу расписывают все условия в виде системы или совокупности систем, гарантируя, что решение не потеряет и не прибавит лишних точек. Калькулятор ниже показывает три слоя системы одновременно - ОДЗ, знак правой части и квадрирование, - и как они пересекаются в итоговый ответ.

Почему квадрирование без условий даёт ошибку

Пусть нужно решить $\sqrt{x - 1} \leq x - 3$. Если сразу возвести обе части в квадрат, получим $x - 1 \leq (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, откуда $x^2 - 7x + 10 \geq 0$, то есть $x \leq 2$ или $x \geq 5$. Теперь пересечём с ОДЗ $x \geq 1$ - на первый взгляд $[1; 2] \cup [5; +\infty)$. Но проверим точку $x = 2$: $\sqrt{1} = 1$, а $x - 3 = -1 < 0$. Левая часть не может быть меньше или равна отрицательной - корень всегда неотрицателен! Значит, $[1; 2]$ лишнее.

Проблема в том, что операция возведения в квадрат не является равносильным переходом, когда правая часть может быть отрицательной: $a \leq b$ и $a^2 \leq b^2$ - не одно и то же при $b < 0$. Равносильный переход исправляет это, явно требуя $g(x) \geq 0$.

Рассчитать для своей задачи

Четыре канонических перехода

Для удобства сведём все четыре случая в таблицу. Здесь $f(x)$ - выражение под корнем, $g(x)$ - правая часть неравенства.

Случай 1. $\sqrt{f} \leq g$ - нестрогое неравенство "меньше":

$\sqrt{f(x)} \leq g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) \leq [g(x)]^2 \end{cases}$

Случай 2. $\sqrt{f} < g$ - строгое неравенство "меньше":

$\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < [g(x)]^2 \end{cases}$

Случай 3. $\sqrt{f} \geq g$ - нестрогое неравенство "больше":

$\sqrt{f(x)} \geq g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \leq 0 \end{cases} \cup \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq [g(x)]^2 \end{cases}$

Случай 4. $\sqrt{f} > g$ - строгое неравенство "больше":

$\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \cup \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases}$

Логика симметрична: для знаков $\leq$ и $<$ достаточно одной системы (обе части неотрицательны - квадрируем безопасно), для знаков $\geq$ и $>$ правая часть может быть отрицательной, и тогда корень автоматически больше - это первая система. Вторая система - случай, когда обе части неотрицательны.

Рассчитать для своей задачи

Шаг за шагом: пример для sqrt(f) <= g

Разберём $\sqrt{2x - 3} \leq x - 2$ по шагам.

Шаг 1 - запишем равносильную систему (случай 1):

$\begin{cases} 2x - 3 \geq 0 \\ x - 2 \geq 0 \\ 2x - 3 \leq (x - 2)^2 \end{cases}$

Шаг 2 - решим каждое условие отдельно:

• $2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \tfrac{3}{2}$
• $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$
• $2x - 3 \leq x^2 - 4x + 4 \Rightarrow x^2 - 6x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 - \sqrt{2}$ или $x \geq 3 + \sqrt{2}$

Шаг 3 - пересечём три множества:

Из первых двух условий $x \geq 2$. Третье условие при $x \geq 2$ выполняется для $x \geq 3 + \sqrt{2} \approx 4{,}41$. Значит, ответ $x \in [3 + \sqrt{2}; +\infty)$.

Проверка граничной точки: $x = 3 + \sqrt{2}$: $\sqrt{2(3+\sqrt{2})-3} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$, а $g = 3+\sqrt{2}-2 = 1+\sqrt{2}$. Левое равно правому - граничная точка включается, что совпадает с нестрогим знаком $\leq$.

Пример для sqrt(f) >= g - совокупность

Рассмотрим $\sqrt{x + 5} \geq 2x - 1$.

По случаю 3 записываем совокупность двух систем:

$\begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ 2x - 1 \leq 0 \end{cases} \cup \begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ 2x - 1 \geq 0 \\ x + 5 \geq (2x-1)^2 \end{cases}$

Первая система: $x \geq -5$ и $x \leq \tfrac{1}{2}$, то есть $x \in [-5; \tfrac{1}{2}]$.

Вторая система: $x \geq -5$, $x \geq \tfrac{1}{2}$, и $x + 5 \geq 4x^2 - 4x + 1$, то есть $4x^2 - 5x - 4 \leq 0$. Дискриминант $25 + 64 = 89$, корни $x = \tfrac{5 \pm \sqrt{89}}{8}$. Приблизительно $x_1 \approx -0{,}55$, $x_2 \approx 1{,}80$. При $x \geq \tfrac{1}{2}$ из второй системы: $x \in [\tfrac{1}{2}; \tfrac{5+\sqrt{89}}{8}]$.

Объединяем: $x \in [-5; \tfrac{1}{2}] \cup [\tfrac{1}{2}; \tfrac{5+\sqrt{89}}{8}] = [-5; \tfrac{5+\sqrt{89}}{8}]$.

Заметим: первая система уже покрыла $[\tfrac{1}{2}]$, поэтому объединение даёт один сплошной промежуток.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл трёх слоёв

Три условия системы для случая $\sqrt{f} \leq g$ - это три полосы на числовой оси:

• ОДЗ ($f \geq 0$): полуось вправо от нуля $f(x)$.
• Знак $g$ ($g \geq 0$): полуось вправо от нуля $g(x)$.
• Квадрирование ($f \leq g^2$): множество $x$, где кривая $\sqrt{f}$ не выше прямой $g$.

Итоговое решение - пересечение всех трёх полос. Калькулятор выше рисует именно это: четыре числовые полосы, последняя - итог. Покрутите коэффициент $d$ из отрицательного в положительное - увидите, как второй слой перескакивает, меняя характер решения.

Частые ошибки

• Квадрирование без проверки знака. Самая распространённая ошибка: сразу возводят обе части в квадрат, не требуя $g \geq 0$. Результат - лишний промежуток в ответе (обычно там, где $g < 0$).
• Путаница системы и совокупности. Для $\leq$ и $<$ - одна система (AND). Для $\geq$ и $>$ - совокупность (OR). Писать одну систему вместо совокупности - значит терять часть решения.
• Потеря ОДЗ при объединении. При совокупности первая система уже включает $f \geq 0$, но студенты иногда забывают его записать, и тогда в ответ попадают точки, где корень не определён.
• Неверная граничная точка при строгом знаке. При $<$ и $>$ граничные точки (пересечения кривых) в решение не входят. При нестрогих $\leq$, $\geq$ - входят.
• Проверка только одной стороны. Нужно убедиться, что найденные точки удовлетворяют исходному (не квадрированному) неравенству - иначе легко пропустить постороннее решение, введённое квадрированием.

FAQ

Почему для sqrt(f) >= g нужна совокупность, а не система? Потому что $\sqrt{f} \geq g$ выполняется при двух разных обстоятельствах: либо $g < 0$ (тогда корень заведомо больше), либо $g \geq 0$ (тогда можно квадрировать). Это "или-или", то есть совокупность. Объединить в одну систему нельзя - условия взаимоисключающие.

Что делать, если справа от знака стоит не линейная функция, а, например, $x^2 - 1$? Схема та же: записать систему (или совокупность) по тому же принципу, заменив $g(x) = x^2 - 1$. ОДЗ берётся из $f(x) \geq 0$, условие знака - из $g(x) \geq 0$ (или $\leq 0$), квадрирование - из $f(x)$ vs $g(x)^2$. Сложность возрастает, но равносильность гарантируется теми же правилами.

Можно ли применять равносильные переходы к неравенствам с двумя корнями, например $\sqrt{f_1} \leq \sqrt{f_2}$? Да. В этом случае ОДЗ требует $f_1 \geq 0$ и $f_2 \geq 0$, знаки обеих частей - неотрицательны автоматически (корень неотрицателен), поэтому квадрирование равносильно без дополнительных условий: $f_1 \leq f_2$.

Коротко

Равносильный переход для иррационального неравенства - это явная запись всех условий, при которых квадрирование законно: ОДЗ, знак правой части, само квадрированное неравенство. Для $\leq$ и $<$ - одна система из трёх условий; для $\geq$ и $>$ - совокупность двух систем, покрывающая случай отрицательной правой части. Строгое следование этому алгоритму исключает постороннее решение и потерю точек.