Система логарифмических уравнений: решение по шагам

Система логарифмических уравнений на первый взгляд пугает: два уравнения, в каждом по логарифму, неизвестные сидят под знаком $\log$. Но почти всегда такая система сводится к обычной линейной или алгебраической системе одной короткой заменой - нужно лишь обозначить логарифмы новыми буквами. После этого решается привычная пара уравнений, а в конце логарифмы «снимаются» и проверяется область допустимых значений. Ниже разобран универсальный алгоритм, типовые приёмы (замена, свойства логарифма, переход к одному основанию) и калькулятор, который проводит систему через замену к линейному виду и сразу показывает корни и точку пересечения.

Что такое система логарифмических уравнений

Система логарифмических уравнений - это набор из двух (реже трёх) уравнений, где неизвестные входят под знаком логарифма или в его основание, и решение должно удовлетворять всем уравнениям одновременно. Простейший и самый частый школьный тип выглядит так:

$$\begin{cases} \log_a x + \log_a y = p, \\ \log_a x - \log_a y = q. \end{cases}$$

Здесь оба уравнения линейны относительно логарифмов $\log_a x$ и $\log_a y$. Это ключевое наблюдение: хотя $x$ и $y$ нелинейны, их логарифмы ведут себя как обычные неизвестные. Значит, систему можно решить тем же методом, что и линейную систему из школьного курса алгебры - сложением, подстановкой или по правилу Крамера.

Встречаются и смешанные системы, где одно уравнение логарифмическое, а второе - алгебраическое (например $x + y = 12$). Тогда логарифмическое уравнение свёртывают в одно условие на произведение или частное аргументов, после чего получают связь между $x$ и $y$, которую подставляют во второе уравнение.

Рассчитать для своей задачи

Главный приём: замена переменных

Решение системы логарифмических уравнений почти всегда начинается с замены. Обозначим

$$u = \log_a x, \qquad v = \log_a y.$$

Тогда система выше превращается в обычную линейную:

$$\begin{cases} u + v = p, \\ u - v = q. \end{cases}$$

Сложив уравнения, получаем $2u = p + q$, то есть $u = \dfrac{p+q}{2}$; вычтя - $v = \dfrac{p-q}{2}$. Остаётся вернуться к исходным переменным:

$$x = a^{u}, \qquad y = a^{v}.$$

Замена работает не только для суммы и разности. Если в уравнениях встречаются $\log_a x \cdot \log_a y$ или $\dfrac{\log_a x}{\log_a y}$, та же подстановка $u, v$ превращает систему в алгебраическую (например, в систему «сумма и произведение», решаемую через теорему Виета). Главное - увидеть, что под логарифмами одно и то же основание, и что логарифмы входят в уравнения как самостоятельные величины.

Алгоритм решения по шагам

Универсальная последовательность для системы из двух логарифмических уравнений:

Шаг 1. Записать ОДЗ. Для каждого логарифма аргумент должен быть строго положителен, а основание положительно и не равно единице. Для системы с $\log_a x$ и $\log_a y$ это $x > 0$ и $y > 0$. ОДЗ выписывают сразу - в конце через него «процеживают» корни.

Шаг 2. Привести к одному основанию. Если основания разные, перейти к общему по формуле перехода. Если под логарифмами стоят произведения или степени, развернуть их по свойствам: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a x^k = k\log_a x$.

Шаг 3. Сделать замену $u = \log_a x$, $v = \log_a y$. Система становится линейной или алгебраической относительно $u$ и $v$.

Шаг 4. Решить полученную систему любым удобным методом - сложением, подстановкой, Крамером.

Шаг 5. Вернуться к $x$ и $y$: $x = a^{u}$, $y = a^{v}$.

Шаг 6. Проверить ОДЗ и при необходимости подставить корни в исходную систему - посторонние решения отсеять.

Калькулятор выше выполняет шаги 3–5 автоматически: вы задаёте коэффициенты линейной системы относительно $u$ и $v$, а он находит $u, v$, восстанавливает $x = 10^{u}$, $y = 10^{v}$ и рисует две прямые с точкой пересечения. Тот же подход работает и для родственных тем - например, для логарифмических неравенств методом интервалов, где монотонность логарифма определяет знак.

Разбор примера с числами

Решим систему

$$\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5, \\ \log_2 x - \log_2 y = 1. \end{cases}$$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$. Замена $u = \log_2 x$, $v = \log_2 y$ даёт

$$\begin{cases} u + v = 5, \\ u - v = 1. \end{cases}$$

Сложив: $2u = 6 \Rightarrow u = 3$. Тогда $v = 5 - 3 = 2$. Возвращаемся:

$$x = 2^{3} = 8, \qquad y = 2^{2} = 4.$$

Оба значения положительны - ОДЗ выполнено. Проверка: $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$ и $3 - 2 = 1$. Ответ: $(x, y) = (8, 4)$.

Рассчитать для своей задачи

Если бы первое уравнение содержало произведение, $\log_2(xy) = 5$, его сначала развернули бы в $\log_2 x + \log_2 y = 5$ - это та же система. А уравнение $\log_2 \dfrac{x}{y} = 1$ превращается в $\log_2 x - \log_2 y = 1$. Свойства логарифма - это «упаковка» и «распаковка» одних и тех же равенств.

Смешанные системы: логарифм плюс алгебра

Отдельный распространённый тип - когда одно уравнение логарифмическое, а второе обычное:

$$\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2, \\ x + y = 12. \end{cases}$$

Здесь замена $u, v$ не упрощает, потому что второе уравнение линейно по самим $x, y$. Поэтому первое уравнение сворачивают: $\log_3(xy) = 2 \Rightarrow xy = 9$. Получается классическая система «сумма и произведение»:

$$\begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 9. \end{cases}$$

По теореме Виета $x$ и $y$ - корни квадратного уравнения $t^2 - 12t + 9 = 0$. Дискриминант $144 - 36 = 108$, корни $t = 6 \pm 3\sqrt{3}$. Оба положительны, ОДЗ выполнено - оба корня годятся, причём пара $(x, y)$ симметрична.

Частые ошибки

• Забыть ОДЗ. Логарифм определён только для положительного аргумента. Корень, дающий $x \le 0$ или $y \le 0$, - посторонний и отбрасывается, даже если он формально удовлетворяет преобразованной системе.
• Перепутать свойства. $\log_a(x + y)$ - это НЕ $\log_a x + \log_a y$. Сумма логарифмов равна логарифму произведения, а не суммы: разворачивается только $\log_a(xy)$.
• Не привести основания. При разных основаниях замена $u, v$ бессмысленна, пока не сделан переход к общему основанию; иначе $u$ из первого уравнения и $u$ из второго - разные величины.
• Потерять второй корень в симметричной системе. В системах «сумма и произведение» решений обычно два, и пары $(x, y)$ и $(y, x)$ - оба ответа, если порядок не зафиксирован условием.
• Делить на логарифм, который может быть нулём. Если в системе есть $\dfrac{\log_a x}{\log_a y}$, случай $\log_a y = 0$ (то есть $y = 1$) надо рассмотреть отдельно.

FAQ

Всегда ли систему логарифмических уравнений можно свести к линейной? Нет, только когда логарифмы входят линейно (сумма, разность с числовыми коэффициентами). Если есть произведение логарифмов, степень логарифма или дробь, после замены получится нелинейная алгебраическая система - её решают подстановкой или через Виета, но замена $u = \log_a x$ всё равно остаётся первым шагом.

Что делать, если основания логарифмов разные? Привести всё к одному основанию по формуле перехода $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ (или к любому удобному основанию). Часто берут десятичный или натуральный логарифм. После этого коэффициенты при $u$ и $v$ станут числами и систему можно решать как линейную.

Как проверить, что найденные корни верны? Подставить пару $(x, y)$ в ИСХОДНУЮ систему, а не в преобразованную, и убедиться, что оба равенства выполняются и оба аргумента положительны. Преобразования (потенцирование, возведение в степень) могут добавлять посторонние корни, поэтому финальная проверка по ОДЗ обязательна.

Коротко

Система логарифмических уравнений решается заменой $u = \log_a x$, $v = \log_a y$: она превращает логарифмы в обычные неизвестные, и система становится линейной или алгебраической. Дальше - решить её привычным методом, вернуться к $x = a^{u}$, $y = a^{v}$ и обязательно проверить ОДЗ ($x > 0$, $y > 0$), отсеяв посторонние корни. При разных основаниях сначала переходят к общему, при произведениях и степенях - разворачивают логарифмы по свойствам.