Преобразование Лапласа производной: формула и вывод

Преобразование Лапласа производной - это правило, которое превращает операцию дифференцирования над функцией времени в умножение её образа на параметр $s$ с поправкой на начальные условия. Именно благодаря ему дифференциальное уравнение становится алгебраическим: вместо того чтобы искать решение в виде функции, вы решаете обычное уравнение относительно образа $F(s)$, а потом возвращаетесь к оригиналу. Ниже разберём формулу для первой и второй производной, аккуратно её выведем и покажем, где в ней «прячутся» начальные условия.

Если вам нужно применить теорему к конкретной функции или уравнению - впишите условие в форму ниже, и разбор по шагам соберётся под вашу задачу.

Основная формула

Пусть функция $f(t)$ определена при $t \ge 0$, непрерывна и имеет преобразование Лапласа $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$. Тогда для её производной справедливо

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s\,F(s) - f(0).$$

Это центральное соотношение всего операционного исчисления. Читать его нужно так: дифференцирование оригинала отвечает умножению образа на $s$, но из результата вычитается значение функции в нуле. Множитель $s$ и есть «алгебраический эквивалент» операции $\frac{d}{dt}$, а слагаемое $f(0)$ - память о том, откуда стартовал процесс.

Рассчитать для своей задачи

Сравните это с обычной таблицей образов: там умножение оригинала на $t$ давало дифференцирование образа, а здесь наоборот - дифференцирование оригинала даёт умножение образа. Подробнее про весь набор подобных правил можно посмотреть в разборе свойств преобразования Лапласа.

Вывод через интегрирование по частям

Формула не постулируется, а строго выводится из определения. По определению образ производной равен

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_0^\infty f'(t)\,e^{-st}\,dt.$$

Применим интегрирование по частям, взяв $u = e^{-st}$ и $dv = f'(t)\,dt$, откуда $du = -s\,e^{-st}\,dt$ и $v = f(t)$:

$$\int_0^\infty f'(t)\,e^{-st}\,dt = \Big[\,f(t)\,e^{-st}\,\Big]_0^\infty + s\int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt.$$

Первое слагаемое - подстановка пределов. На верхнем пределе при $\operatorname{Re}\,s > \sigma_0$ множитель $e^{-st}$ гасит рост функции, поэтому $f(t)\,e^{-st} \to 0$ при $t \to \infty$. На нижнем пределе $t = 0$ даёт просто $f(0)$. Значит, граничный член равен $0 - f(0) = -f(0)$. Второй интеграл - это в точности $s\,F(s)$. Собираем:

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s\,F(s) - f(0).$$

Вся «магия» теоремы - в граничном члене интегрирования по частям. Именно он приносит начальное условие, и именно поэтому оператор Лапласа учитывает предысторию автоматически, в отличие от формального преобразования Фурье.

Производная второго и высшего порядка

Теорему легко итерировать. Применяя формулу для первой производной к функции $f'(t)$ (её начальное значение - $f'(0)$), получаем

$$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s\,\mathcal{L}\{f'(t)\} - f'(0) = s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0).$$

После раскрытия скобок

$$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0).$$

По индукции для производной порядка $n$ возникает аккуратная закономерность:

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{\,n-1-k}\,f^{(k)}(0).$$

Рассчитать для своей задачи

Запомнить структуру несложно: старшая степень $s^n$ умножается на образ, а дальше идёт «лесенка» начальных условий $f(0), f'(0), \dots, f^{(n-1)}(0)$, каждое со своей убывающей степенью $s$. Сумма содержит ровно $n$ начальных значений - столько же, сколько произвольных постоянных в общем решении дифференциального уравнения $n$-го порядка.

Зачем нужны начальные условия

Слагаемые с $f(0)$, $f'(0)$ и так далее - не техническая помеха, а смысловое ядро метода. Они кодируют состояние системы в момент запуска: начальное положение, начальную скорость, начальный заряд. Без них образ описывал бы только «вынужденную» часть процесса, а реальное поведение зависит ещё и от того, в каком состоянии система находилась в нуле.

Именно поэтому метод Лапласа удобнее классического: начальные условия подставляются сразу, на этапе перехода к образу, а не подгоняются в конце через систему на произвольные постоянные. Это особенно ценно для разрывных правых частей и кусочно-заданных воздействий.

Применение к дифференциальным уравнениям

Покажем работу формулы на простом примере. Решим уравнение $y' + 2y = 0$ с начальным условием $y(0) = 3$. Применяем преобразование Лапласа к обеим частям. По теореме о производной $\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0)$, а $\mathcal{L}\{2y\} = 2Y(s)$:

$$sY(s) - 3 + 2Y(s) = 0.$$

Это уже алгебраическое уравнение относительно $Y(s)$. Решаем его:

$$Y(s) = \frac{3}{s + 2}.$$

По таблице образ $\dfrac{1}{s+a}$ отвечает оригиналу $e^{-at}$, поэтому

$$y(t) = 3\,e^{-2t}.$$

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: начальное условие $y(0) = 3$ вошло в решение естественно, как свободный член алгебраического уравнения, и никаких произвольных постоянных подбирать не пришлось. Тот же приём масштабируется на уравнения второго порядка и системы - там просто появляется $s^2 Y(s) - s\,y(0) - y'(0)$. Развёрнутый разбор схемы «уравнение через образ» есть в материале про преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения.

Условия применимости

Формула верна не для любой функции. Чтобы интегрирование по частям и затухание граничного члена были корректны, нужно несколько требований. Функция $f(t)$ должна быть непрерывной, а её производная - кусочно-непрерывной на каждом конечном отрезке. Кроме того, функция должна иметь экспоненциальный порядок роста: существуют постоянные $M$ и $\sigma_0$ такие, что $|f(t)| \le M\,e^{\sigma_0 t}$. Тогда образ существует в полуплоскости $\operatorname{Re}\,s > \sigma_0$, и именно там граничный член на бесконечности обнуляется.

Если функция имеет скачок в нуле, под $f(0)$ понимают правосторонний предел $f(0^+)$ - это важно для импульсных и ступенчатых сигналов. Игнорирование этой оговорки - частый источник ошибки на коэффициент.

На практике почти все функции, встречающиеся в учебных задачах - степени, экспоненты, синусы и косинусы, их произведения - экспоненциального порядка, поэтому условие роста выполняется автоматически и проверять его руками обычно не нужно. Отдельного внимания требуют только функции вида $e^{t^2}$ или $\tan t$ с особенностями на конечном расстоянии: для них образа нет, и теорема о производной к ним неприменима в обычном смысле.

Частые ошибки

• Забывают вычесть начальное условие. Запись $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s)$ без слагаемого $-f(0)$ верна только в покое. В общем случае это приводит к неправильному частному решению.
• Путают знак в граничном члене. Подстановка пределов даёт $-f(0)$, а не $+f(0)$ - нижний предел вычитается.
• Неправильная лесенка для высших производных. Для $f''$ нужно $s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$; часто теряют либо множитель $s$ при $f(0)$, либо вовсе слагаемое $f'(0)$.
• Берут $f(0)$ вместо $f(0^+)$. Для разрывных в нуле сигналов нужно правостороннее значение.
• Применяют формулу без проверки роста. Для функций быстрее экспоненциального роста (например $e^{t^2}$) образа не существует, и теорема неприменима.

FAQ

Почему в формуле появляется именно $f(0)$, а не $f$ на верхнем пределе? Граничный член интегрирования по частям - это разность $f(t)e^{-st}$ на верхнем и нижнем пределах. На верхнем пределе при $\operatorname{Re}\,s > \sigma_0$ выражение стремится к нулю, поэтому остаётся только вклад нижнего предела со знаком минус, то есть $-f(0)$.

Чем теорема о производной оригинала отличается от дифференцирования образа? Это два разных свойства. Дифференцирование оригинала $f'(t)$ даёт умножение образа на $s$ (с поправкой на $f(0)$). А умножение оригинала на $t$ даёт дифференцирование образа: $\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$. Не путайте, какая операция куда переходит.

Можно ли применять формулу, если $f(t)$ имеет разрыв не в нуле? Сама формула $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ предполагает непрерывность $f$ при $t > 0$. Если внутри есть скачок, производная содержит дельта-функцию, и нужно либо работать с обобщёнными производными, либо разбивать функцию на участки и использовать теорему запаздывания.

Коротко

Преобразование Лапласа производной даёт $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$, для второй производной $s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$, а в общем виде старшая степень $s^n$ умножается на образ плюс убывающая лесенка начальных условий. Формула выводится интегрированием по частям, где граничный член и приносит $f(0)$. Благодаря ей дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое с уже учтёнными начальными условиями - в этом и состоит весь смысл операционного метода.