Уравнение касательной и нормали к графику функции

Уравнение касательной и нормали к графику функции - одна из первых задач, где производная из абстрактного предела превращается в наглядную геометрию. Касательная - это прямая, которая в точке касания идёт в ту же сторону, что и график, а нормаль - перпендикуляр к ней в той же точке. Чтобы составить их уравнения, нужно всего три числа: координата точки $x_0$, значение функции $f(x_0)$ и значение производной $f'(x_0)$, которое задаёт угловой коэффициент касательной. Ниже разберём обе формулы, выведем их из геометрического смысла производной и покажем типовой пример. Чтобы сразу увидеть, как касательная и нормаль ведут себя в разных точках, подвигай точку касания в калькуляторе ниже.

Геометрический смысл производной

Производная $f'(x_0)$ - это угловой коэффициент (наклон) касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Иными словами, $f'(x_0) = \tan\alpha$, где $\alpha$ - угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$. Это и есть мост между анализом и геометрией: вычислив производную в точке, мы сразу знаем, под каким углом график «уходит» в этой точке.

Рассчитать для своей задачи

Когда точка касания движется по графику, наклон касательной меняется ровно так, как меняется производная: на крутых участках касательная почти вертикальна, в точках экстремума она горизонтальна ($f'(x_0) = 0$). Нормаль при этом всегда остаётся перпендикулярной касательной, поэтому её наклон связан с наклоном касательной соотношением перпендикулярных прямых.

Формула уравнения касательной

Касательная проходит через точку касания $(x_0;\ f(x_0))$ и имеет угловой коэффициент $k = f'(x_0)$. Подставив это в уравнение прямой $y = y_0 + k(x - x_0)$, получаем формулу касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).$

Чтобы ей воспользоваться, нужно проделать три шага: найти значение функции в точке $f(x_0)$, вычислить производную $f'(x)$ и подставить в неё $x_0$, а затем собрать всё в формулу и упростить. Угловой коэффициент $f'(x_0)$ полностью задаёт направление прямой, а точка $(x_0;\ f(x_0))$ фиксирует её положение на плоскости.

Рассчитать для своей задачи

На рисунке касательная не пересекает параболу, а лишь прикасается к ней в одной точке, повторяя наклон графика. Именно поэтому её называют касательной: в малой окрестности точки касания прямая и график практически неразличимы.

Формула уравнения нормали

Нормаль - это прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через ту же точку касания. У перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно $-1$, поэтому наклон нормали равен $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$. Отсюда уравнение нормали:

$y = f(x_0) - \frac{1}{f'(x_0)}\,(x - x_0).$

Формула работает, пока $f'(x_0) \neq 0$. Если же производная в точке обращается в нуль, касательная горизонтальна, а нормаль становится вертикальной прямой $x = x_0$ - поделить на ноль здесь нельзя, и уравнение нормали записывают отдельно. Обратная ситуация - когда производная не существует (например, вертикальная касательная): тогда нормаль, наоборот, горизонтальна.

Пример: касательная и нормаль к параболе

Разберём базовую задачу. Дана функция $y = x^2$, нужно составить уравнения касательной и нормали в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Сначала находим значение функции в точке:

$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1.$

Затем берём производную и вычисляем её в той же точке:

$f'(x) = 2x, \qquad f'(1) = 2 \cdot 1 = 2.$

Подставляем в формулу касательной и упрощаем:

$y = 1 + 2\,(x - 1) = 2x - 1.$

Теперь нормаль. Её наклон равен $-\dfrac{1}{f'(1)} = -\dfrac{1}{2}$, поэтому:

$y = 1 - \frac{1}{2}\,(x - 1) = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}.$

Проверка: обе прямые проходят через точку касания $(1;\ 1)$, а произведение их угловых коэффициентов $2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$, как и положено перпендикулярным прямым.

Рассчитать для своей задачи

Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку для любой из заложенных функций: показывает $f(x_0)$, наклон $f'(x_0)$, наклон нормали и строит обе прямые на графике. Подвигав точку касания, видно, как при переходе через вершину параболы касательная сначала ложится горизонтально, а потом меняет знак наклона.

Как найти точку касания по условию

Часто в задаче точка не дана напрямую, а задано условие на касательную: например, она параллельна некоторой прямой $y = kx + b$ или образует с осью $Ox$ заданный угол. Тогда сначала из условия находят нужный наклон $k$, приравнивают к нему производную $f'(x_0) = k$ и решают это уравнение относительно $x_0$. Найдя абсциссу точки касания, подставляют её в исходную функцию, получают $f(x_0)$ и дальше действуют по обычной формуле касательной. Этот приём превращает геометрическое условие в алгебраическое уравнение на $x_0$.

Например, если касательная должна быть параллельна прямой $y = 2x + 5$, то её наклон равен $2$, и для функции $y = x^2$ уравнение $2x_0 = 2$ сразу даёт $x_0 = 1$. Если же касательная образует с осью $Ox$ угол $45^\circ$, то $f'(x_0) = \tan 45^\circ = 1$, и из $2x_0 = 1$ получаем $x_0 = 0{,}5$. Главное - не путать само условие на угол с условием на точку: угол задаёт наклон, а наклон уже определяет, где именно касательная коснётся графика.

Геометрический смысл нормали

Нормаль к графику - это не просто вспомогательная прямая из учебника, у неё есть наглядный смысл. Если касательная показывает направление, в котором кривая идёт в данной точке, то нормаль указывает направление «поперёк» кривой - туда, куда смотрел бы перпендикуляр к поверхности, будь график профилем склона. Поэтому нормаль важна в физике и геометрии: вдоль неё направлена сила реакции опоры на гладкой поверхности, по ней же отсчитывают радиус кривизны кривой. Чем меньше по модулю производная (чем положе график), тем круче поднимается нормаль, и наоборот: в точке с горизонтальной касательной нормаль строго вертикальна. Эта взаимная перпендикулярность и делает пару касательная-нормаль удобным локальным «компасом» для любой гладкой кривой.

Частые ошибки

• Забывают вычислить $f(x_0)$. В формулу подставляют сам $x_0$ вместо значения функции в этой точке. Касательная проходит через точку $(x_0;\ f(x_0))$, а не $(x_0;\ x_0)$.
• Путают наклон касательной и нормали. Наклон касательной равен $f'(x_0)$, а нормали - $-1/f'(x_0)$. Знак минус и переворот дроби теряются чаще всего.
• Делят на ноль в формуле нормали. Если $f'(x_0) = 0$, нормаль вертикальна ($x = x_0$), а не наклонена. Формулу с $-1/f'(x_0)$ применять нельзя.
• Берут производную в общем виде, но не подставляют $x_0$. Угловой коэффициент - это число $f'(x_0)$, а не функция $f'(x)$. В уравнение прямой идёт именно число.
• Считают, что касательная не может пересекать график. В точке касания она лишь касается, но в других местах вполне может пересечь график ещё раз.

FAQ

Чем касательная отличается от секущей? Секущая пересекает график в двух точках, а касательная - это предельное положение секущей, когда вторая точка стремится к первой. В точке касания касательная имеет тот же наклон, что и график, то есть наклон, равный производной.

Как найти угол между касательной и осью Ox? Угол $\alpha$ находят из соотношения $\tan\alpha = f'(x_0)$, то есть $\alpha = \arctan f'(x_0)$. Если производная положительна, касательная наклонена вверх, если отрицательна - вниз, а при нулевой производной касательная горизонтальна.

Можно ли составить уравнение нормали без производной? Нет. Наклон нормали выражается через наклон касательной как $-1/f'(x_0)$, а наклон касательной - это и есть производная. Без вычисления $f'(x_0)$ направление обеих прямых определить нельзя.

Коротко

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, а уравнение нормали - $y = f(x_0) - \dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$. Ключ к обеим формулам - производная: $f'(x_0)$ задаёт наклон касательной, а нормаль перпендикулярна ей. Алгоритм всегда один: найти $f(x_0)$, вычислить $f'(x_0)$, подставить в формулы и упростить, не забывая про особый случай $f'(x_0) = 0$, когда нормаль вертикальна.