Как найти предел функции в точке: решение по шагам

Дано: $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}$, предельная точка $x_0 = 3$. Найти: $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$.

Прямая подстановка тройки обнуляет и числитель, и знаменатель, то есть даёт неопределённость $\tfrac{0}{0}$: это ещё не ответ, а сигнал, что у дроби есть общий множитель. Раскладываем обе части на множители, сокращаем $(x - 3)$ и подставляем точку заново. Ответ: $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$. Калькулятор сверху проделывает тот же путь для любых корней числителя и знаменателя, а заодно умеет считать оба замечательных предела.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}$ и точка $x_0 = 3$. Найти: предел функции при $x \to 3$.

Шаг 1. Подставляем предельную точку. Первым делом всегда пробуют подстановку: для непрерывной функции предел равен значению в точке, и на этом решение заканчивается. Считаем отдельно верх и низ:

$$x^2 - 5x + 6 \big|_{x = 3} = 9 - 15 + 6 = 0, \qquad x^2 - 9 \big|_{x = 3} = 9 - 9 = 0.$$

Получили $\tfrac{0}{0}$. Такая запись не число и не ноль, а вид неопределённости: ответ может оказаться любым, поэтому дробь придётся преобразовать.

Шаг 2. Раскладываем числитель и знаменатель на множители. Раз оба многочлена обращаются в нуль при $x = 3$, по теореме Безу каждый из них делится на $(x - 3)$. Корни числителя находим по теореме Виета: сумма равна $5$, произведение равно $6$, значит это $2$ и $3$. Знаменатель разворачивается по формуле разности квадратов:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), \qquad x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).$$

Шаг 3. Сокращаем общий множитель. Дробь принимает вид

$$f(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}.$$

Сокращать на $(x - 3)$ здесь законно, и это ключевой момент всего решения. В пределе $x$ только стремится к тройке, но никогда ей не равен, поэтому скобка $(x - 3)$ отлична от нуля и делить на неё можно. Значения самой функции в точке $x_0$ предел не интересуют: там она вообще не определена.

Шаг 4. Подставляем точку в сокращённую дробь. После сокращения остаётся функция $\dfrac{x - 2}{x + 3}$, непрерывная в окрестности тройки, и подстановка наконец срабатывает:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{3 - 2}{3 + 3} = \frac{1}{6}.$$

Шаг 5. Проверяем односторонними пределами. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда левый и правый совпадают. Подставим значения по обе стороны от тройки:

Слева и справа значения сходятся к одному числу $0{,}1667$, расхождений нет. Сама по себе таблица ничего не доказывает: строгое обоснование уже дано сокращением, а численная прикидка нужна, чтобы поймать описку в знаке или в корнях трёхчлена. Если бы значения слева уходили в минус, а справа в плюс, это был бы верный признак, что сокращение прошло не до конца и в знаменателе осталась нулевая скобка. Ответ: $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$. Задача такого вида встречается в первой контрольной по матанализу и в типовом расчёте по теме «Предел и непрерывность».

Формула и откуда она берётся

Формально $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ означает вот что: для любого сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что из $0 < |x - x_0| < \delta$ следует $|f(x) - A| < \varepsilon$. Строгое неравенство $0 < |x - x_0|$ и есть та самая выколотая точка: поведение функции ровно в $x_0$ на предел не влияет.

Из этого определения растут все рабочие правила. Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения - произведению, а предел частного равен частному пределов при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Как раз это условие в исходной дроби нарушено, поэтому «поделить предел на предел» сразу нельзя, а сокращение общего множителя восстанавливает применимость теоремы.

Почему вообще работает подстановка? Все элементарные функции - многочлены, дроби, корни, синусы, экспоненты, логарифмы - непрерывны на своей области определения, а непрерывность по определению и означает $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Значит подстановка законна везде, кроме точек, где функция не определена. Такие точки для дроби перечислены в разборе области определения дроби, и именно они дают неопределённости.

Что показала подстановка: разбор случаев

Подстановка не просто даёт или не даёт ответ, она подсказывает дальнейший приём. Полезно держать в голове таблицу:

Отдельный случай - точка на краю области определения. Если функция задана только справа от неё, как логарифм около нуля или корень в точке $x = 0$, двусторонний предел обсуждать бессмысленно: слева функции просто нет. Тогда пишут односторонний предел с плюсом или минусом у точки, и ответ считается полным.

Возьмём ту же функцию, но другую точку. При $x_0 = 1$ подстановка даёт $\dfrac{1 - 5 + 6}{1 - 9} = -\dfrac{1}{4}$, то есть готовый ответ $-0{,}25$. При $x_0 = -3$ числитель равен $30$, знаменатель нулю, и дробь уходит на бесконечность. Этот случай разобран подробнее в задаче про точки разрыва функции, а поведение графика вдали от особых точек - в разборе асимптот графика.

Приёмы для неопределённости 0 на 0

Разложение на множители - самый частый, но не единственный приём.

Домножение на сопряжённое спасает, когда в числителе стоит разность корней. Для $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$ домножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{1 + x} + 1$, разность квадратов превращает верх в $x$, дробь сокращается и остаётся $\dfrac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \to \dfrac{1}{2}$.

Первый замечательный предел $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1$ работает для тригонометрии. Например, $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{5x} = \dfrac{3}{5} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{3x} = 0{,}6$: аргумент синуса и знаменатель нужно привести к одному виду, а лишний множитель вынести. Переключи калькулятор сверху на этот режим, чтобы увидеть, как меняется ответ при других коэффициентах.

Второй замечательный предел $\lim\limits_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e$ закрывает неопределённость $1^{\infty}$. Для $\lim\limits_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x}$ показатель домножают и делят на двойку, получая $e^{2} \approx 7{,}389$.

Эквивалентные бесконечно малые сокращают выкладки: при $x \to 0$ можно заменять $\sin x \sim x$, $\operatorname{tg} x \sim x$, $\ln(1 + x) \sim x$, $e^{x} - 1 \sim x$, $1 - \cos x \sim \tfrac{x^2}{2}$. Замена допустима только для множителей, а не для слагаемых в сумме. Наконец, есть правило Лопиталя: производная числителя, делённая на производную знаменателя. Для нашей дроби оно даёт $\dfrac{2x - 5}{2x}\big|_{x = 3} = \dfrac{1}{6}$ - тот же ответ, что и сокращение, и это хорошая быстрая проверка.

Частые ошибки

• Записывают $\tfrac{0}{0}$ как ноль или как единицу. Это не число, а тип неопределённости: у нашей дроби ответ вообще $\tfrac{1}{6}$.
• Боятся сокращать на $(x - 3)$, считая это делением на нуль. Под знаком предела $x \neq x_0$, поэтому сокращение законно, хотя в самой точке функция не определена.
• После сокращения забывают подставить точку и записывают в ответ саму функцию $\dfrac{x - 2}{x + 3}$ вместо числа.
• Путают предел и значение функции. В точке $x_0 = 3$ функция не существует, а предел существует и равен $\tfrac{1}{6}$: это устранимый разрыв.
• Применяют правило Лопиталя к дроби, где неопределённости нет. При $x_0 = 1$ подстановка сразу даёт $-0{,}25$, а дифференцирование в этом случае приведёт к неверному числу.
• Ограничиваются односторонним пределом. Если слева получилось $+\infty$, а справа $-\infty$ (как при $x_0 = -3$), двустороннего предела нет, и написать «бесконечность» без уточнения знака нельзя.

FAQ

Чем предел в точке отличается от значения функции в ней? Предел описывает, к какому числу приближаются значения функции около точки, а значение - это то, что стоит в самой точке. Они могут не совпадать или существовать поодиночке: в нашем примере значения нет, а предел равен $\tfrac{1}{6}$.

Когда предела в точке не существует? Когда односторонние пределы различны (скачок или разные бесконечности) или когда функция колеблется без приближения к числу, как $\sin\tfrac{1}{x}$ при $x \to 0$. Если оба односторонних равны $+\infty$, предел тоже не конечен, но поведение функции описывают записью $+\infty$.

Можно ли сразу применять Лопиталя вместо разложения? Можно, если честно проверена неопределённость $\tfrac{0}{0}$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$ и обе функции дифференцируемы. Но на контрольной за разложение на множители баллы снимают реже: правило Лопиталя часто требуют обосновывать, а иногда и вовсе запрещают до соответствующей темы.

Зачем нужна подстановка близких значений вроде 2,999? Это не доказательство, а проверка. Таблица приближений показывает, что вычисления не разошлись с ответом, и помогает поймать потерянный знак или арифметическую ошибку.

Коротко

1. Подставь предельную точку: получилось число - это и есть ответ.
2. Получил $\tfrac{0}{0}$ - разложи числитель и знаменатель на множители и сократи общую скобку $(x - x_0)$.
3. Подставь точку в сокращённое выражение: для нашей дроби $\dfrac{3 - 2}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$.
4. Если сокращать нечего, используй сопряжённое, замечательные пределы, эквивалентные бесконечно малые или правило Лопиталя.
5. Проверь односторонние пределы: они совпали, значит ответ $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$.