Как найти область определения функции двух переменных

Дано: $z = \sqrt{9 - x^2 - y^2} + \ln(x + y - 1)$. Найти: область определения $D(z)$ и её изображение на плоскости $Oxy$.

В записи два опасных места: корень чётной степени и логарифм. Каждое даёт своё неравенство с двумя переменными, а область определения - пересечение их решений. Ответ: $D(z) = \{(x;\,y) : x^2 + y^2 \le 9,\ x + y > 1\}$, то есть круговой сегмент, который прямая $x + y = 1$ отрезает от круга радиуса $3$. Калькулятор сверху строит эту область для любого радиуса и любой границы логарифма, показывает штриховой линией выколотую часть границы и считает площадь: для чисел задачи $S \approx 9{,}93$.

Решение по шагам

Дано. $z = \sqrt{9 - x^2 - y^2} + \ln(x + y - 1)$. Найти: $D(z)$.

Шаг 1. Выписываем систему неравенств. Область определения функции двух переменных - это множество точек плоскости, в которых все операции формулы выполнимы. Читаем запись слева направо и с каждой операции снимаем своё ограничение: квадратный корень требует неотрицательного подкоренного выражения, натуральный логарифм требует строго положительного аргумента.

$$\begin{cases} 9 - x^2 - y^2 \ge 0, \\ x + y - 1 > 0. \end{cases}$$

Строки системы соединены союзом «и»: точка попадает в область определения, только если удовлетворяет обоим условиям сразу. Именно поэтому решения пересекают, а не объединяют.

Шаг 2. Первое неравенство задаёт круг. Переносим квадраты вправо:

$$9 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 + y^2 \le 9 = 3^2 .$$

Слева стоит квадрат расстояния от точки $(x;\,y)$ до начала координат. Условие означает, что это расстояние не превосходит $3$, а значит решение - замкнутый круг с центром $O(0;\,0)$ и радиусом $3$. Неравенство нестрогое, поэтому сама окружность в решение входит: под корнем оказывается нуль, а $\sqrt{0} = 0$ - законное значение.

Шаг 3. Второе неравенство задаёт полуплоскость. Выражаем $y$:

$$x + y - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y > 1 - x .$$

Прямая $y = 1 - x$ делит плоскость на две полуплоскости, и нужна та, где ордината больше. Проверять удобно пробной точкой: подставим $(2;\,2)$, получим $2 + 2 - 1 = 3 > 0$ - значит нужная полуплоскость та, в которой лежит эта точка. Неравенство строгое, поэтому сама прямая выкалывается: логарифма нуля не существует.

Шаг 4. Пересекаем круг и полуплоскость. Сначала проверим, режет ли прямая круг. Расстояние от центра до прямой $x + y - 1 = 0$:

$$d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71 < 3 .$$

Расстояние меньше радиуса, значит прямая пересекает окружность по двум точкам и отрезает от круга сегмент. Найдём эти точки, подставив $y = 1 - x$ в уравнение окружности:

$$x^2 + (1 - x)^2 = 9, \qquad 2x^2 - 2x - 8 = 0, \qquad x^2 - x - 4 = 0,$$

откуда $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$, то есть $x \approx 2{,}56$ и $x \approx -1{,}56$. Концы хорды: $A(2{,}56;\,-1{,}56)$ и $B(-1{,}56;\,2{,}56)$.

Ответ: $D(z) = \{(x;\,y) : x^2 + y^2 \le 9,\ x + y > 1\}$ - круговой сегмент, отсечённый прямой $x + y = 1$ от круга радиуса $3$. Дуга окружности между точками $A$ и $B$ в область входит, хорда - нет.

Откуда берётся система неравенств

У функции одной переменной область определения - подмножество числовой прямой, и ответ записывают промежутками. У функции двух переменных аргументом служит пара чисел, поэтому $D(z)$ - подмножество плоскости, и ответом оказывается фигура: круг, полоса, угол, внешность параболы. Записывать её принято либо системой неравенств, либо фразой с описанием фигуры, и на проверке обычно требуют и то, и другое.

Сам список ограничений от числа переменных не зависит. Корень чётной степени даёт нестрогое неравенство $g(x;\,y) \ge 0$, знаменатель - условие $g(x;\,y) \ne 0$, логарифм - строгое $g(x;\,y) > 0$, причём у логарифма с переменным основанием добавляются ещё два условия на основание. Разница только в том, что решением каждого неравенства становится не промежуток, а часть плоскости.

Отсюда и техника: каждое неравенство решается геометрически, то есть переводится в знакомую линию и выбор стороны от неё. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задаёт окружность, линейное уравнение - прямую, $y = ax^2 + bx + c$ - параболу. Сама линия разбивает плоскость на части, внутри каждой знак выражения постоянен, и определить его достаточно одной пробной точкой. Подробный разбор одномерного случая с методом интервалов лежит в разборах области определения корня и области определения логарифма.

Как изобразить область на плоскости

Чертёж здесь не украшение, а часть ответа: по нему проверяют, что пересечение взято правильно. Порядок построения такой. Сначала рисуем границы всех условий как линии: окружность радиуса $3$ и прямую $x + y = 1$. Затем для каждого условия отмечаем нужную сторону пробной точкой. Потом закрашиваем то, что попало внутрь всех условий сразу, - это и есть область.

Тип линии несёт смысл. Границу, которая входит в область, рисуют сплошной, выколотую - штриховой. В нашей задаче дуга окружности сплошная, хорда штриховая, и в подписи к ответу это обязательно оговаривают. Ошибка в типе линии равносильна ошибке в знаке неравенства.

Площадь области считать не требуется, но она хорошо работает проверкой: если фигура опознана верно, площадь получается по школьной формуле сегмента. При расстоянии $d$ от центра до хорды

$$S = R^2 \arccos\frac{d}{R} - d\sqrt{R^2 - d^2} = 9\arccos\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{8{,}5} \approx 9{,}93 .$$

Площадь всего круга равна $9\pi \approx 28{,}27$, то есть в ответ попало около $35\,\%$ круга - прямая прошла недалеко от центра, и это согласуется с картинкой. Ту же величину показывает калькулятор сверху, когда двигаешь радиус и границу логарифма.

Другие ограничения: дробь, арксинус, три переменные

Набор опасных операций небольшой, и каждая переводится в свою фигуру. Таблица отвечает на вопрос «что писать в систему», а последний столбец - на вопрос «как это выглядит».

Отдельного внимания стоит дробь. Условие $g \ne 0$ выкалывает из области целую линию, а не точку: например, знаменатель $x - y$ убирает из ответа всю прямую $y = x$. На площадь это не влияет, но в записи ответа пропустить такое условие нельзя, и в калькуляторе сверху есть отдельный режим с этим случаем.

Для трёх переменных меняется только размерность картинки. Условие $x^2 + y^2 + z^2 \le 4$ задаёт шар, линейное неравенство - полупространство, а их пересечение - шаровой сегмент. Логика та же: выписать систему, решить каждое неравенство геометрически, пересечь. Найденная область дальше нужна для всего остального: частные производные и экстремумы функции двух переменных ищут только внутри неё.

Частые ошибки

• Берут объединение вместо пересечения. Условия системы должны выполняться одновременно, поэтому закрашивается только общая часть. Объединение даёт заведомо более широкую и неверную фигуру.
• Пишут строгое неравенство под корнем. Для $\sqrt{g}$ верно $g \ge 0$, окружность входит в ответ. Строгим неравенство становится, только если корень попал в знаменатель: тогда та же окружность выкалывается.
• Рисуют границу логарифма сплошной линией. Прямая $x + y = 1$ в область не входит ни одной точкой: например, $(0;\,1)$ лежит в круге, но даёт $\ln 0$.
• Записывают ответ промежутком. Запись вида $x \in [-3;\,3]$ описывает не область, а её проекцию на ось, и теряет связь между $x$ и $y$. Ответ обязан быть множеством пар или описанием фигуры.
• Проверяют сторону полуплоскости по точке на самой прямой. Пробная точка должна лежать строго вне границы, иначе неравенство даст нуль и знак определить не удастся.
• Теряют условие от знаменателя. Дробь легко не заметить внутри длинной формулы, а она выкалывает целую линию, и без неё ответ формально неверен.

FAQ

Чем область определения функции двух переменных отличается от одномерной? Только видом ответа. Логика та же - система условий и пересечение решений, - но решением каждого неравенства служит часть плоскости, а не промежуток. Поэтому ответ записывают множеством пар $\{(x;\,y) : \dots\}$ и сопровождают чертежом.

Как понять, какую сторону от линии закрашивать? Подставить в неравенство любую точку, не лежащую на границе. Если неравенство выполнилось, закрашивается та половина, где точка лежит, если нет - противоположная. Для условий с центром симметрии удобнее всего брать начало координат: в нашей задаче $(0;\,0)$ даёт $-1 > 0$ - неверно, значит нужная полуплоскость лежит по другую сторону прямой.

Обязательно ли искать точки пересечения границ? Для записи ответа системой - нет, система уже полная. Но для чертежа и для последующих задач вроде двойного интеграла они нужны: именно из них получаются пределы интегрирования. Находят их, решая уравнения границ совместно.

Может ли область определения оказаться пустой? Да, если условия несовместны. Если в нашей задаче отодвинуть прямую от центра дальше радиуса, общих точек у круга и полуплоскости не останется, и $D(z) = \varnothing$. Калькулятор сверху такой случай показывает: заливка исчезает, а площадь обращается в нуль.

Коротко

1. Выпиши опасные операции: корень чётной степени, знаменатель, логарифм, арксинус, тангенс. Каждая даёт одно условие, вместе они образуют систему.
2. Реши каждое неравенство геометрически: приведи его к известной линии, определи сторону пробной точкой. Здесь $x^2 + y^2 \le 9$ - замкнутый круг радиуса $3$, а $x + y > 1$ - открытая полуплоскость.
3. Пересеки решения. Расстояние от центра до прямой $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$ меньше радиуса, поэтому прямая режет круг и остаётся сегмент.
4. Нарисуй область: сплошная линия там, где граница входит в ответ, штриховая - там, где выколота. Здесь дуга сплошная, хорда штриховая.
5. Ответ примера: $D(z) = \{(x;\,y) : x^2 + y^2 \le 9,\ x + y > 1\}$, круговой сегмент с концами хорды $A(2{,}56;\,-1{,}56)$ и $B(-1{,}56;\,2{,}56)$ и площадью $S \approx 9{,}93$.