Как найти область определения корня: решение по шагам

Дано: $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{x - 4} + \lg(x + 1)$. Найти: область определения $D(f)$, ответ записать промежутками.

В этой записи три опасных места: корень чётной степени, знаменатель и логарифм. Каждое даёт своё ограничение, а область определения - пересечение всех трёх. Ответ: $D(f) = (-1;\,2] \cup [3;\,4) \cup (4;\,+\infty)$. Калькулятор сверху решает ту же систему для любых коэффициентов подкоренного многочлена и показывает на графике, какие концы промежутков закрашены, а какие выколоты.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{x - 4} + \lg(x + 1)$. Найти: $D(f)$.

Шаг 1. Выписываем систему условий. Область определения - множество тех $x$, при которых выполнимы все операции в записи функции. Читаем формулу слева направо и с каждой операции снимаем своё ограничение: квадратный корень требует неотрицательного подкоренного выражения, дробь запрещает нулевой знаменатель, десятичный логарифм требует строго положительного аргумента.

$$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0, \\ x - 4 \ne 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}$$

Строки системы соединены союзом «и», а не «или»: точка попадает в область определения только тогда, когда удовлетворяет сразу всем трём условиям.

Шаг 2. Решаем неравенство с корнем. Находим нули квадратного трёхчлена:

$$x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad D = 25 - 24 = 1, \qquad x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2},$$

то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Старший коэффициент положителен, ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен вне отрезка между корнями:

$$x^2 - 5x + 6 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \in (-\infty;\,2] \cup [3;\,+\infty).$$

Неравенство нестрогое, и сами корни в решение входят: под корнем оказывается нуль, а $\sqrt{0} = 0$ - совершенно законное значение функции.

Шаг 3. Разбираемся с двумя оставшимися условиями. Знаменатель обращается в нуль при $x = 4$, значит эту точку надо выколоть: $x \ne 4$. Аргумент логарифма положителен при $x + 1 > 0$, то есть на луче $x \in (-1;\,+\infty)$. Здесь неравенство строгое: логарифма нуля не существует, поэтому сама точка $-1$ в ответ не попадёт.

Шаг 4. Пересекаем решения на числовой прямой. Сначала накладываем луч логарифма на решение первого неравенства. Он отсекает всю левую часть, и от промежутка $(-\infty;\,2]$ остаётся только $(-1;\,2]$:

$$\big((-\infty;\,2] \cup [3;\,+\infty)\big) \cap (-1;\,+\infty) = (-1;\,2] \cup [3;\,+\infty).$$

Теперь выкалываем точку $x = 4$. Она лежит строго внутри промежутка $[3;\,+\infty)$, поэтому промежуток распадается на два, и в обоих новых концах скобки круглые:

$$D(f) = (-1;\,2] \cup [3;\,4) \cup (4;\,+\infty).$$

Проверка. Достаточно взять по одной пробной точке. При $x = 0$ под корнем стоит $6 > 0$, знаменатель равен $-4$, аргумент логарифма равен $1$ - точка входит в область определения. При $x = 2{,}5$ подкоренное выражение равно $6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 < 0$, и промежуток $(2;\,3)$ действительно вырезан. При $x = -1$ логарифм не определён, при $x = 4$ происходит деление на нуль. Все четыре проверки согласуются с полученным ответом.

Ответ. $D(f) = (-1;\,2] \cup [3;\,4) \cup (4;\,+\infty)$.

Откуда берётся условие на подкоренное выражение

Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел, и причина чисто арифметическая. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому уравнение $t^2 = a$ при $a < 0$ действительных решений не имеет: извлекать корень попросту не из чего. То же рассуждение переносится на четвёртую, шестую и любую чётную степень.

С нечётной степенью такой беды нет: куб отрицательного числа отрицателен, поэтому $\sqrt[3]{-8} = -2$ существует и никаких ограничений корень третьей степени не накладывает. Отсюда главный практический вывод: перед тем как писать неравенство, посмотри на показатель корня.

Таблица ниже собирает все операции, которые вообще способны сузить область определения. Больше ничего проверять не нужно: многочлены, синус, косинус и показательная функция определены на всей числовой прямой.

Дальше работает один и тот же приём: каждое условие превращается в неравенство, неравенство решается методом интервалов, а решения пересекаются. Если под корнем стоит дробь, а не многочлен, то первое условие само по себе оказывается дробно-рациональным неравенством и решается той же расстановкой знаков по промежуткам.

Корень в знаменателе и другие вариации условия

Самая частая вариация - корень стоит в знаменателе, как в функции $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}$. Тут на одно и то же выражение накладываются сразу два требования: корень хочет $g(x) \ge 0$, знаменатель хочет $g(x) \ne 0$. Вместе они дают строгое неравенство $g(x) > 0$, и концы промежутков выкалываются:

$$D(f) = (-\infty;\,2) \cup (3;\,+\infty).$$

В калькуляторе сверху для этого случая есть режим «Корень в знаменателе»: после переключения точки 2 и 3 на графике из закрашенных становятся полыми, а квадратные скобки в ответе меняются на круглые. Это самый наглядный способ запомнить разницу между $\ge$ и $>$.

Вторая вариация - корень под корнем, например $\sqrt{\sqrt{x - 1} - 2}$. Условий снова два: внутренний корень требует $x \ge 1$, внешний требует $\sqrt{x - 1} - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 5$. Пересечение даёт $[5;\,+\infty)$: внутреннее условие поглощается внешним, но выписывать надо оба, иначе легко получить лишний промежуток.

Третья вариация - корень стоит в неравенстве, а не в области определения: тогда задача превращается в иррациональное неравенство, где область определения служит первым шагом, а не ответом.

Как записать ответ промежутками

Форма записи в этой задаче оценивается наравне с самими вычислениями. Квадратная скобка означает, что конец включён в множество, круглая - что он выколот. У бесконечности скобка всегда круглая: $+\infty$ не число и элементом множества быть не может. Промежутки перечисляются слева направо и соединяются знаком объединения $\cup$; внутри промежутка концы разделяются точкой с запятой, чтобы запятая не путалась с десятичной.

Проверить запись легко по числу выколотых точек. У нас их три: $-1$ от логарифма, $4$ от знаменателя и весь интервал $(2;\,3)$ от корня. В ответе ровно три промежутка, и это не совпадение: каждая выколотая точка внутри области разрезает промежуток надвое.

Область определения - первый пункт полного исследования функции, и дальше найденные граничные точки идут в работу. В них проверяют односторонние пределы, когда ищут точки разрыва функции, и там же чаще всего обнаруживаются вертикальные асимптоты графика. Так что аккуратный ответ здесь экономит время на следующих пунктах.

Частые ошибки

• Пишут строгое неравенство под корнем. Для $\sqrt{g(x)}$ верно $g(x) \ge 0$: нуль под корнем допустим. Строгим неравенство становится только тогда, когда корень попал в знаменатель.
• Забывают про нечётную степень. Кубический корень определён везде, и писать для него $g(x) \ge 0$ значит выбросить из ответа половину числовой прямой.
• Решают неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ как уравнение и записывают в ответ отрезок $[2;\,3]$ вместо его дополнения. Ветви параболы направлены вверх, значит неотрицательна она вне корней, а не между ними.
• Берут объединение вместо пересечения. Условия системы должны выполняться одновременно, поэтому решения пересекают. Объединение даёт заведомо более широкое и неверное множество.
• Теряют выколотую точку внутри промежутка. Точка $x = 4$ лежит внутри $[3;\,+\infty)$, и промежуток обязан распасться на два. Ответ вида $[3;\,+\infty)$ с припиской «кроме 4» на проверке считается неполным.
• Ставят квадратную скобку у бесконечности. Запись $[3;\,+\infty]$ ошибочна всегда, независимо от вида функции.

FAQ

Нужно ли включать корни подкоренного трёхчлена в ответ? Да, если корень чётной степени стоит в числителе: подкоренное выражение обращается в нуль, а нуль извлекается без проблем. Исключение одно - корень в знаменателе, там неравенство становится строгим и его нули выкалываются.

Что делать, если у подкоренного трёхчлена отрицательный дискриминант? Тогда парабола с положительным старшим коэффициентом целиком лежит выше оси, неравенство $g(x) \ge 0$ выполняется при всех $x$, и корень никаких ограничений не даёт. В калькуляторе сверху это видно сразу: заливка растягивается на всю ширину графика.

Чем область определения отличается от области значений? Область определения - множество допустимых аргументов, то есть значений $x$ по горизонтальной оси. Область значений - множество получающихся $y$ по вертикальной оси. У функции $\sqrt{x}$ область определения $[0;\,+\infty)$, и область значений совпадает с ней случайно, а не по правилу.

Обязательно ли рисовать числовую прямую? Формально нет, но пересечение трёх и более условий в уме почти всегда даёт ошибку в скобках. Отметки на прямой занимают полминуты и сразу показывают, какие концы закрашены, а какие выколоты.

Коротко

1. Выпиши все опасные операции: корень чётной степени, знаменатель, логарифм, арксинус, тангенс. Каждая даёт одно условие.
2. Собери условия в систему: они должны выполняться одновременно, поэтому решения пересекаются, а не объединяются.
3. Реши каждое неравенство методом интервалов. Для $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ нули равны 2 и 3, ветви вверх, решение $(-\infty;\,2] \cup [3;\,+\infty)$.
4. Наложи остальные условия: луч $x > -1$ от логарифма и выколотая точка $x = 4$ от знаменателя.
5. Ответ примера: $D(f) = (-1;\,2] \cup [3;\,4) \cup (4;\,+\infty)$; квадратная скобка означает включённый конец, круглая - выколотый, у бесконечности всегда круглая.