Как определить чётность функции: пошаговый разбор

Дано: $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$, $g(x) = x^3 - 4x$, $h(x) = x^2 + x$. Найти: какая из функций чётная, какая нечётная, а какая ни та ни другая.

Схема для всех трёх одна: проверяем, симметрична ли область определения, подставляем $-x$ вместо $x$ и сравниваем результат с $f(x)$ и с $-f(x)$. Ответ: $f$ чётная, $g$ нечётная, $h$ общего вида. Калькулятор сверху показывает то же самое картинкой: зеркальная ветвь $f(-x)$ либо ложится на исходный график, либо переворачивается относительно нуля, либо не делает ни того ни другого.

Решение по шагам

Дано. Три функции: $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$, $g(x) = x^3 - 4x$, $h(x) = x^2 + x$. Найти: тип чётности каждой.

Шаг 1. Область определения. Все три функции многочлены, они определены при любом вещественном $x$, значит $D = (-\infty;\,+\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля: вместе с каждой точкой $x$ в него входит и точка $-x$. Шаг кажется формальным, но без него равенство $f(-x) = f(x)$ негде записать, и половина ошибок в этой задаче начинается именно здесь.

Шаг 2. Проверяем $f$. Подставляем $-x$, помня, что чётная степень минус поглощает:

$$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 2 = x^4 - 3x^2 + 2 = f(x).$$

Равенство выполняется тождественно, при любом $x$, поэтому функция $f$ чётная.

Шаг 3. Проверяем $g$. Здесь степени нечётные, и минус выносится за скобку:

$$g(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -g(x).$$

Получили $g(-x) = -g(x)$ при всех $x$, значит функция $g$ нечётная.

Шаг 4. Проверяем $h$. Подстановка даёт

$$h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x.$$

Выражение $x^2 - x$ не совпадает ни с $h(x) = x^2 + x$, ни с $-h(x) = -x^2 - x$. Чтобы вывод не выглядел как «видно на глаз», приводим контрпример: $h(1) = 2$, а $h(-1) = 0$. Ни равенство $0 = 2$, ни равенство $0 = -2$ не выполняется, поэтому $h$ не чётная и не нечётная.

Ответ. Функция $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$ чётная, функция $g(x) = x^3 - 4x$ нечётная, функция $h(x) = x^2 + x$ общего вида.

Определение: что именно проверяют

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для каждого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Нечётной она называется, если при том же условии на область выполняется $f(-x) = -f(x)$. Когда не выполняется ни одно из равенств, говорят о функции общего вида; никакого третьего типа симметрии в этой классификации нет.

Два условия определения неравноправны. Симметрия области определения идёт первой, потому что без неё равенство нельзя даже записать: если точка $x$ в область входит, а точка $-x$ нет, значения $f(-x)$ просто не существует. Поэтому $y = \sqrt{x}$ с областью $[0;\,+\infty)$ ни чётная, ни нечётная, хотя формула выглядит безобидно. Про то, как область определения меняет ответ в соседних задачах на исследование функции, написано в разборе про промежутки возрастания функции.

Геометрический смысл виден на графике. У чётной функции он симметричен относительно оси ординат: левая половина получается зеркальным отражением правой. У нечётной функции график симметричен относительно начала координат, то есть поворот на $180^\circ$ вокруг нуля переводит его в себя. Отсюда следствие, которое экономит время на проверке: если нечётная функция определена в нуле, то $f(0) = 0$, ведь из $f(0) = -f(0)$ следует $2f(0) = 0$.

Как определить чётность без подстановки

Для многочленов ответ читается прямо по степеням. Одночлен $x^n$ чётный при чётном показателе и нечётный при нечётном, а свободный член это $x^0$, то есть чётное слагаемое. Сумма функций одинаковой чётности свою чётность сохраняет, поэтому многочлен только с чётными степенями чётный, только с нечётными нечётный, а смесь степеней даёт функцию общего вида. Ровно на этом провалилась $h(x) = x^2 + x$: в ней встретились слагаемые обоих типов.

Для произведений и частных работает арифметика знаков. Произведение двух чётных чётное, произведение двух нечётных тоже чётное, а произведение чётной на нечётную нечётное; для деления правила те же. Композиция считается по внутренней функции: если внутри стоит чётная функция, вся композиция чётная при любой внешней, а если внутри нечётная, то результат повторяет чётность внешней.

Полезно держать в голове короткий список. Чётные: $x^2$, $x^4$, $|x|$, $\cos x$, $\operatorname{ch} x$. Нечётные: $x$, $x^3$, $\sin x$, $\operatorname{tg} x$, $\operatorname{arctg} x$, $\operatorname{sh} x$. Общего вида: $e^x$, $\ln x$, $x + 1$, $\sqrt{x}$. Комбинируя эти кирпичики по правилам произведения и композиции, чётность большинства школьных и вузовских примеров определяют устно, а подстановку оставляют для оформления.

Если функция дробная, с корнем или логарифмом

Схема не меняется, растёт только объём алгебры. Возьмём $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 4}$. Область определения это вся ось без точек $x = \pm 2$, и она симметрична: выколотые точки идут парой. Числитель при замене знака аргумента меняет знак, знаменатель нет, поэтому $f(-x) = \dfrac{-x^3}{x^2 - 4} = -f(x)$, и функция нечётная.

Корень чаще всего ломает не равенство, а область определения. У $y = \sqrt{x}$ она несимметрична, и ответ известен до всяких выкладок. Зато $y = \sqrt{x^2 + 1}$ определена всюду и чётна: под корнем стоит чётное выражение, а внешняя функция чётность внутренней сохраняет.

Логарифм требует аккуратности. Проверим $f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$: подкоренное выражение всегда больше $x^2$, поэтому аргумент логарифма положителен при любом $x$ и область определения вся ось. Подставляем $-x$ и домножаем на сопряжённое выражение:

$$f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) = \ln\frac{\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \ln\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = -f(x).$$

Функция нечётная. Такой приём с сопряжённым выражением стоит запомнить: он же работает для разностей корней и для обратных гиперболических функций.

Разложение на чётную и нечётную части

Любую функцию с симметричной областью определения можно единственным образом записать как сумму чётной и нечётной:

$$f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}.$$

Первая дробь при замене $x$ на $-x$ не меняется, вторая меняет знак, так что это действительно чётная и нечётная части. Для $h(x) = x^2 + x$ разложение даёт $x^2$ и $x$, то есть ровно те слагаемые, которые мешали друг другу в шаге 4. Для показательной функции получается пара гиперболических: $e^x = \operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x$. В калькуляторе сверху этот режим включается вторым переключателем, и по доле чётной части сразу видно, насколько функция близка к симметричной.

Практическая польза от чётности начинается там, где она сокращает вычисления. Интеграл нечётной функции по симметричному отрезку равен нулю, а у чётной сводится к удвоенному интегралу по половине отрезка, и этот приём разобран в задаче про вычисление определённого интеграла. В рядах Фурье чётность решает, какие коэффициенты обнулятся: у нечётной функции остаются только синусы, и на этом построено разложение в ряд Фурье по синусам.

Частые ошибки

• Пропускают проверку области определения. У $y = \sqrt{x}$ и $y = \ln x$ область несимметрична, поэтому они не чётные и не нечётные независимо от вида формулы.
• Вместо подстановки меняют знак всей формулы. Запись $f(-x)$ означает замену аргумента, а не умножение на минус единицу: знак меняют только слагаемые с нечётной степенью $x$.
• Проверяют равенство в одной точке. Совпадение $f(-2) = f(2)$ ничего не доказывает, равенство обязано выполняться тождественно. Для опровержения, наоборот, одной точки достаточно.
• Забывают про свободный член. Константа это чётное слагаемое, поэтому $x^3 - 4x + 1$ уже не нечётная, хотя все степени с иксом нечётные.
• Считают, что функция обязана быть чётной или нечётной. Функций общего вида большинство, и такой ответ полноценный, а не признак ошибки в выкладках.
• Путают чётность функции с чётностью числа. Речь идёт о симметрии графика, а степени это лишь удобный признак для многочленов: у $\cos x$ и $|x|$ никаких степеней нет, но обе функции чётные.

FAQ

Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной? Да, и такая функция ровно одна: тождественный нуль на симметричной области определения. Из $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ следует $f(x) = -f(x)$, то есть $2f(x) = 0$ и $f(x) = 0$ во всех точках области.

Зачем определять чётность, если задача решается и без этого? Чётность вдвое сокращает работу: график достаточно построить при $x \ge 0$ и отразить, интеграл по симметричному отрезку часто обращается в нуль, в ряде Фурье пропадает половина коэффициентов. Заодно это быстрая проверка: если у чётной функции получилась несимметричная картинка, ошибка где-то в вычислениях.

Что писать в ответе, если функция ни чётная, ни нечётная? Стандартная формулировка это «функция общего вида». Желательно подкрепить её контрпримером, то есть указать конкретное значение $x$, при котором $f(-x)$ не совпало ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$: для $h(x) = x^2 + x$ таким числом было $x = 1$.

Можно ли определить чётность по графику? По графику видна гипотеза: симметрия относительно оси $Oy$ говорит о чётности, симметрия относительно начала координат о нечётности. Но график строится по конечному набору точек, поэтому служит проверкой, а доказательством остаётся подстановка $-x$ в формулу.

Коротко

1. Проверьте, симметрична ли область определения относительно нуля: если нет, функция сразу общего вида.
2. Подставьте $-x$ вместо $x$ и упростите полученное выражение.
3. Сравните результат с $f(x)$ и с $-f(x)$: совпало с первым это чётная функция, со вторым нечётная, ни с чем общего вида.
4. Для многочленов хватает взгляда на степени: только чётные дают чётную функцию, только нечётные без свободного члена нечётную, смесь общего вида.
5. Ответ примера: $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$ чётная, $g(x) = x^3 - 4x$ нечётная, $h(x) = x^2 + x$ общего вида.