Разложение в ряд Фурье по синусам: формула и пример

Разложение в ряд Фурье по синусам нужно, когда функция задана не на всей оси, а только на отрезке $[0, \pi]$ (или $[0, l]$), и мы хотим представить её суммой одних только синусов: $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$. Такое разложение возникает само собой, если функцию продолжить с отрезка на симметричный интервал нечётным образом. Ниже разберём, почему при этом из ряда Фурье пропадают все косинусы, как вывести формулу коэффициентов $b_n$, доведём до числа классический пример $f(x) = x$ и покажем, где студенты чаще всего ошибаются. А чтобы сразу почувствовать, как сумма синусов набирает форму функции, покрутите калькулятор ниже: он строит частичную сумму поверх целевой кривой и пересчитывает коэффициенты на лету.

Почему именно по синусам

Обычный ряд Фурье на интервале $(-\pi, \pi)$ содержит и синусы, и косинусы:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right).$

Если функция задана только на половине интервала, на $[0, \pi]$, у нас есть свобода: её можно доопределить на $(-\pi, 0)$ как угодно, и любое продолжение даст свой ряд. Разложение по синусам отвечает нечётному продолжению $f(-x) = -f(x)$. У нечётной функции произведение $f(x)\cos(nx)$ нечётно, и его интеграл по симметричному интервалу равен нулю, поэтому все коэффициенты $a_n$ (включая $a_0$) обращаются в нуль. Остаются только синусы, ведь $\sin(nx)$ сам нечётен, и произведение $f(x)\sin(nx)$ оказывается чётным.

Рассчитать для своей задачи

Геометрически это видно сразу: заданный кусок и его нечётное продолжение симметричны относительно начала координат. Именно эта центральная симметрия гасит косинусную часть. Поэтому, выбирая разложение по синусам, мы фактически выбираем, как доопределить функцию за пределами отрезка, и нечётное продолжение тут единственное, дающее чистый синус-ряд.

Формула коэффициентов ряда по синусам

Коэффициенты находятся по той же схеме, что и в полном ряду Фурье, но интеграл берётся только по заданному отрезку и удваивается, так как нечётное продолжение симметрично:

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$

Множитель $2/\pi$ берётся из условия ортогональности синусов: $\int_0^{\pi} \sin^2(nx)\, dx = \pi/2$. Подставив найденные $b_n$, получаем искомое разложение функции в ряд по синусам:

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx).$

Для отрезка произвольной длины $[0, l]$ формула чуть общее: гармоники становятся $\sin\!\left(\dfrac{\pi n x}{l}\right)$, а коэффициент равен $b_n = \dfrac{2}{l} \int_0^{l} f(x) \sin\!\left(\dfrac{\pi n x}{l}\right) dx$. Случай $l = \pi$ как раз даёт записанную выше формулу, поэтому в учебных задачах удобно сначала разобрать его, а затем переносить на любой отрезок заменой переменной.

Как сумма синусов набирает форму функции

Каждое слагаемое $b_n \sin(nx)$ это отдельная синусоида со своей частотой и амплитудой. По отдельности ни одна из них не похожа на исходную функцию, но их сумма постепенно воспроизводит её форму на отрезке.

Рассчитать для своей задачи

На анимации видно главное свойство сходимости: внутри отрезка частичная сумма быстро прижимается к функции, но у границы $x = \pi$ она ведёт себя иначе. Для $f(x) = x$ нечётное продолжение в точке $\pi$ имеет скачок (слева функция стремится к $\pi$, а справа продолжение прыгает к $-\pi$), поэтому у края появляется характерный выброс. Он не исчезает с ростом числа синусов, а лишь сужается, прижимаясь к границе. Это проявление явления Гиббса для ряда Фурье, которое всегда сопровождает разрывы.

Пример: разложение f(x) = x по синусам

Разберём самый частый учебный пример. Пусть $f(x) = x$ на отрезке $[0, \pi]$. Считаем коэффициент по формуле, интегрируя по частям:

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \sin(nx)\, dx.$

Берём $u = x$, $dv = \sin(nx)\,dx$, тогда $du = dx$, $v = -\dfrac{\cos(nx)}{n}$. Подставляя в формулу интегрирования по частям, получаем:

$\int_0^{\pi} x \sin(nx)\, dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} + \frac{1}{n} \int_0^{\pi} \cos(nx)\, dx.$

Второй интеграл равен нулю (синус обращается в нуль в обоих концах), а первое слагаемое даёт $-\dfrac{\pi \cos(n\pi)}{n}$. Поскольку $\cos(n\pi) = (-1)^n$, итоговый коэффициент равен:

$b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.$

Значит, разложение функции $x$ в ряд по синусам на $[0, \pi]$ выглядит так:

$x = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) = 2\left( \sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \ldots \right).$

Этот же ответ выдаёт калькулятор выше, если выбрать функцию $f(x) = x$: первый коэффициент равен $b_1 = 2$, дальше амплитуды убывают как $2/n$. Подставив в формулу конкретную точку, например $x = \pi/2$, можно получить красивое числовое следствие: $\dfrac{\pi}{2} = 2\left(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \ldots\right)$, то есть знаменитый ряд Лейбница.

Когда синус-ряд сходится к самой функции

Внутри открытого интервала $(0, \pi)$, где функция непрерывна и имеет ограниченную производную, ряд по синусам сходится к $f(x)$ поточечно. В концах отрезка сумма ряда равна нулю при любых $b_n$, ведь все слагаемые содержат $\sin(nx)$, который обращается в нуль и в $x = 0$, и в $x = \pi$. Поэтому, если $f(0) \ne 0$ или $f(\pi) \ne 0$, ряд в этих точках сходится не к значению функции, а к нулю или к полусумме скачка нечётного продолжения.

Это важная особенность: для $f(x) = 1$ на $[0, \pi]$ синус-ряд даёт прямоугольный сигнал, и у обоих концов он не дотягивает до единицы. Для $f(x) = x(\pi - x)$ ситуация мягче: функция обращается в нуль на концах, продолжение получается гладким, выброса у краёв нет, и ряд сходится особенно быстро. Поэтому при выборе разложения по синусам стоит заранее смотреть на значения функции в концах отрезка: они подсказывают, будет ли у границы выброс.

Частые ошибки

• Забывают множитель 2 в формуле. Коэффициент синус-ряда равен $b_n = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f\sin(nx)\,dx$, а не $\dfrac{1}{\pi}$. Двойка появляется из-за нечётного продолжения на симметричный интервал.
• Считают, что ряд сходится к функции на концах. В точках $x = 0$ и $x = \pi$ сумма синус-ряда всегда равна нулю. Если $f$ там не нуль, в концах сходимости к функции нет.
• Путают разложение по синусам и по косинусам. По синусам это нечётное продолжение, по косинусам чётное. От выбора продолжения зависят и формула коэффициента, и поведение у краёв.
• Ошибаются в знаке при интегрировании по частям. В примере $f(x) = x$ легко потерять минус у $v = -\cos(nx)/n$ и получить $b_n$ с неверным знаком. Полезно проверить первый коэффициент: $b_1$ должен быть положительным и равным $2$.
• Берут $\cos(n\pi)$ как единицу. Здесь $\cos(n\pi) = (-1)^n$, а не $1$. Из-за этого и появляется чередование знаков в ряде.

FAQ

Чем разложение по синусам отличается от полного ряда Фурье? Полный ряд на $(-\pi, \pi)$ содержит и синусы, и косинусы. Разложение по синусам строится для функции на половине интервала $[0, \pi]$ через нечётное продолжение, при котором все косинусные коэффициенты обнуляются и остаются только синусы.

Почему в ряд по синусам не входит свободный член? Свободный член $a_0/2$ это среднее значение функции, а у нечётного продолжения среднее равно нулю по симметрии. Поэтому в синус-ряде постоянного слагаемого нет.

Как разложить функцию по синусам на отрезке $[0, l]$, а не $[0, \pi]$? Гармоники берут в виде $\sin(\pi n x / l)$, а коэффициент считают по формуле $b_n = \dfrac{2}{l}\int_0^{l} f(x)\sin(\pi n x / l)\,dx$. При $l = \pi$ она совпадает с базовой.

Коротко

Разложение в ряд Фурье по синусам представляет функцию на $[0, \pi]$ суммой $f(x) = \sum b_n \sin(nx)$ и отвечает её нечётному продолжению, при котором все косинусы пропадают. Коэффициенты находят по формуле $b_n = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$; для $f(x) = x$ они равны $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$. Внутри отрезка ряд сходится к функции, а в концах сумма всегда равна нулю, и если функция там не обращается в нуль, у границы появляется выброс Гиббса, который с ростом числа синусов лишь сужается.