Ряд Фурье функции x на отрезке: формула и пример

Задача «разложить функцию $f(x) = x$ в ряд Фурье на отрезке» выглядит однотипно, но ответ у неё не один: он зависит от того, какой именно отрезок взят и как функцию продолжают за его пределы. На $(-\pi, \pi)$ получится чистый ряд из синусов, на $(0, 2\pi)$ к ним добавится постоянное слагаемое, а на $[0, \pi]$ с чётным продолжением останутся одни косинусы. Ниже разберём все три случая, выведем формулу коэффициентов через интеграл, доведём пример до числа и покажем, как из этого разложения получается знаменитая сумма $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$. Чтобы сразу увидеть, как выбор отрезка меняет картину, покрутите калькулятор: он строит частичную сумму поверх продолженной функции и пересчитывает коэффициенты на лету.

Почему у функции x несколько разных рядов

Ряд Фурье строится не для «функции вообще», а для функции, заданной на конкретном отрезке и периодически продолженной на всю ось. Поэтому, прежде чем считать коэффициенты, нужно ответить на два вопроса: какой период $T = 2l$ мы берём и как доопределяем $f$ там, где она исходно не задана. Для прямой $f(x) = x$ эти решения и порождают три разных ответа.

Общий ряд Фурье на интервале длины $2l$ имеет вид

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{\pi n x}{l} + b_n \sin\frac{\pi n x}{l} \right),$

а коэффициенты находятся как проекции функции на гармоники:

$a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{\pi n x}{l}\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{\pi n x}{l}\,dx.$

Дальше всё решает чётность. Если продолжить $x$ нечётно, то $f(x)\cos(\cdot)$ - нечётная функция, и её интеграл по симметричному отрезку равен нулю: все $a_n$ пропадают. Если продолжить чётно, наоборот, обнуляются все $b_n$. А если взять отрезок $(0, 2l)$, симметрии нет ни той, ни другой, и в дело идёт постоянное слагаемое $a_0/2$.

Рассчитать для своей задачи

Разложение x на (−π, π): чистый ряд из синусов

Самый частый вариант в задачнике - разложить $f(x) = x$ на $(-\pi, \pi)$, то есть взять $l = \pi$. Прямая $x$ нечётна сама по себе, поэтому её естественное продолжение тоже нечётное, и из ряда выпадают все косинусы: $a_n = 0$. Остаются синус-коэффициенты:

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.$

Интеграл берём по частям, полагая $u = x$, $dv = \sin(nx)\,dx$:

$\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.$

Поскольку $\cos(n\pi) = (-1)^n$, получаем компактную формулу коэффициентов:

$b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}, \qquad x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).$

Это и есть ряд Фурье функции $x$ на $(-\pi, \pi)$. Первые члены: $x \approx 2\sin x - \sin 2x + \tfrac{2}{3}\sin 3x - \dots$ Если подставить, например, $x = \pi/2$, ряд даёт $2 - \tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{5} - \dots = \pi/2$, то есть знакочередующийся ряд Лейбница для $\pi/4$, умноженный на 2. Заметьте: на краях $x = \pm\pi$ сумма ряда равна нулю, а не $\pm\pi$ - там у периодического продолжения скачок, и ряд сходится к среднему его значений.

Разложение x на (0, 2π): среднее плюс синусы

Если тот же отрезок сдвинуть и взять $f(x) = x$ на $(0, 2\pi)$, то есть считать период равным $2\pi$, но функцию заданной на $(0, 2\pi)$, симметрии больше нет. Среднее значение функции за период уже не нулевое:

$\frac{a_0}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} x\,dx = \pi.$

Косинус-коэффициенты по-прежнему обращаются в нуль ($a_n = 0$), а синус-коэффициенты считаются интегрированием по частям на $(0, 2\pi)$ и дают $b_n = -2/n$. Итоговый ряд:

$x = \pi - 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}.$

Это та же пила, что и в первом случае, только сдвинутая вверх на $\pi$: её среднее теперь $\pi$, а скачок продолжения переехал в точки $0$ и $2\pi$. Студенты часто путают эти два разложения и подставляют коэффициенты из одного в формулу для другого - отсюда лишняя или потерянная константа $\pi$.

Разложение x на [0, l] по косинусам

Третий случай - функция задана только на половине, на $[0, l]$, и её продолжают чётно, $f(-x) = f(x)$. Тогда на $[-l, 0]$ получается $-x$, и вместе выходит «треугольник» $|x|$ - чётная функция. Все $b_n = 0$, остаются косинусы:

$\frac{a_0}{2} = \frac{l}{2}, \qquad a_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} x\cos\frac{\pi n x}{l}\,dx = \frac{2l\left((-1)^n - 1\right)}{\pi^2 n^2}.$

Множитель $(-1)^n - 1$ обнуляет все чётные номера и равен $-2$ для нечётных, поэтому в ряде остаются только нечётные косинусы. Для $l = \pi$:

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos\big((2k+1)x\big)}{(2k+1)^2}.$

У этого ряда есть приятная особенность: его коэффициенты убывают как $1/n^2$, а не как $1/n$, потому что чётное продолжение непрерывно - у него нет скачка, только излом. Поэтому косинус-ряд сходится заметно быстрее синусного и не даёт ряби Гиббса у границ.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно, что золотой кусок $x$ на $[0, \pi]$ один и тот же, а серое продолжение влево разное - именно оно определяет, какой получится ряд. Это центральный момент темы: выбирая продолжение, мы выбираем разложение.

Сумма ряда 1/n² из разложения x

Разложение $f(x) = x$ на $(-\pi, \pi)$ - самый короткий путь к знаменитой сумме $\sum 1/n^2$. Применим равенство Парсеваля, которое связывает интеграл от квадрата функции с суммой квадратов коэффициентов:

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2.$

Левая часть равна $\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$. Справа подставляем $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$, так что $b_n^2 = 4/n^2$:

$\frac{2\pi^2}{3} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$

Это та самая базельская сумма, которую Эйлер впервые получил другим способом. Ряд Фурье функции $x$ выводит её буквально в две строки - и это хороший способ проверить, что коэффициенты найдены верно.

Частые ошибки

• Считают ряд функции, а не её продолжения. Сумма ряда на границе отрезка равна не значению $f$, а среднему скачка продолжения. Для $x$ на $(-\pi, \pi)$ в точках $\pm\pi$ ряд даёт $0$, а не $\pm\pi$.
• Путают три случая. Отрезки $(-\pi, \pi)$ и $(0, 2\pi)$ дают разные ряды: во втором появляется постоянное слагаемое $\pi$. Сверяйте формулу с выбранным отрезком, а не берите готовый ответ наугад.
• Забывают, что у нечётной функции косинусы нулевые. Если функция нечётна, не надо считать интегралы для $a_n$ - они заведомо равны нулю. То же с $b_n$ для чётного продолжения.
• Теряют множитель $1/l$ или $2/l$ в коэффициентах. На полуинтервале $[0, l]$ при чётном или нечётном продолжении коэффициент удваивается: $\frac{2}{l}\int_0^l$, а не $\frac{1}{l}\int_{-l}^l$.
• Берут конечную сумму за точное равенство. Частичная сумма у скачка перелетает на $\approx 9\,\%$ (явление Гиббса) - это не ошибка вычислений, а свойство сходимости.

FAQ

Чему равны коэффициенты ряда Фурье для f(x) = x на (−π, π)? Косинус-коэффициенты $a_n = 0$ (функция нечётна), а синус-коэффициенты $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$. Полный ряд: $x = 2\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$.

Как разложить x в ряд по синусам на отрезке [0, π]? Нужно продолжить $f(x) = x$ нечётно на $(-\pi, 0)$ и считать $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$. Ответ совпадает с разложением на $(-\pi, \pi)$, потому что нечётное продолжение прямой это сама прямая. Подробнее - в разборе разложения в ряд Фурье по синусам.

Почему ряд на краю отрезка не совпадает со значением функции? В точке разрыва периодического продолжения ряд Фурье сходится к полусумме левого и правого пределов. Для пилы $x$ это $\frac{(-\pi) + \pi}{2} = 0$, поэтому на $\pm\pi$ сумма равна нулю, хотя сама функция там равна $\pm\pi$.

Коротко

У задачи «разложить $f(x) = x$ в ряд Фурье на отрезке» три стандартных ответа, и выбирает между ними не функция, а отрезок с продолжением. На $(-\pi, \pi)$ получаем чистый синус-ряд с $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$; на $(0, 2\pi)$ к нему добавляется среднее $\pi$; на $[0, \pi]$ с чётным продолжением остаются косинусы с коэффициентами порядка $1/n^2$, и сходимость заметно быстрее. Из синусного разложения через равенство Парсеваля сразу выводится $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$. Главное - помнить, что ряд Фурье разлагает не функцию саму по себе, а её периодическое продолжение, и на границах отрезка сходится к среднему скачка.