Как найти область определения логарифма: по шагам

Дано: $f(x) = \log_{x - 3}\left(\dfrac{6 - x}{x - 2}\right)$. Найти: область определения $D(f)$, ответ записать промежутками.

Логарифм с переменным основанием даёт не одно условие, а сразу три: аргумент строго положителен, основание строго положительно и основание не равно единице. Решаем систему и пересекаем ответы. Итог: $D(f) = (3;\,4) \cup (4;\,6)$. Калькулятор сверху собирает ту же линейку условий для любых нулей аргумента и любой границы основания и показывает, какое из неравенств обрезало промежуток.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = \log_{x - 3}\left(\dfrac{6 - x}{x - 2}\right)$. Найти: $D(f)$.

Шаг 1. Выписываем систему условий. Смотрим на запись и снимаем ограничение с каждой части логарифма. Под знаком логарифма стоит дробь, значит она обязана быть строго положительной. В основании стоит выражение с переменной, значит для него работают оба требования из определения логарифма: положительность и неравенство единице.

$$\begin{cases} \dfrac{6 - x}{x - 2} > 0, \\ x - 3 > 0, \\ x - 3 \ne 1. \end{cases}$$

Все три строки соединены союзом «и»: точка попадает в область определения, только если удовлетворяет им одновременно. Про знаменатель дроби отдельного условия писать не нужно, оно уже сидит внутри первого неравенства: там, где $x = 2$, дробь не существует, а значит и положительной быть не может.

Шаг 2. Решаем неравенство на аргумент методом интервалов. Нули числителя и знаменателя равны $6$ и $2$, они разбивают прямую на три промежутка. Проверяем знак дроби на каждом:

$$\frac{6 - x}{x - 2}:\quad x < 2 \Rightarrow \frac{+}{-} < 0, \qquad 2 < x < 6 \Rightarrow \frac{+}{+} > 0, \qquad x > 6 \Rightarrow \frac{-}{+} < 0 .$$

Положительна дробь только между своими нулями, поэтому первое условие даёт $x \in (2;\,6)$. Оба конца выколоты, но по разным причинам: в точке $x = 2$ дроби нет вовсе, а в точке $x = 6$ аргумент обращается в нуль, а логарифма нуля не существует.

Шаг 3. Разбираемся с основанием. Условие $x - 3 > 0$ отсекает луч $x > 3$. Условие $x - 3 \ne 1$ даёт $x \ne 4$: именно в этой точке основание становится единицей, а логарифм по основанию единица не определён. Это самая незаметная строка системы, и теряют её чаще всего.

Шаг 4. Пересекаем решения на числовой прямой. Сначала накладываем луч основания на промежуток аргумента:

$$(2;\,6) \cap (3;\,+\infty) = (3;\,6).$$

Теперь выкалываем точку $x = 4$. Она лежит строго внутри промежутка, поэтому он распадается на два, и в новых концах скобки тоже круглые:

$$D(f) = (3;\,4) \cup (4;\,6).$$

Проверка. Берём по пробной точке из каждой зоны. При $x = 3{,}5$ основание равно $0{,}5$, аргумент равен $\dfrac{2{,}5}{1{,}5} \approx 1{,}67$, логарифм существует. При $x = 2{,}5$ основание равно $-0{,}5$, то есть отрицательно, и функции нет. При $x = 4$ основание равно единице. При $x = 7$ аргумент равен $-0{,}2$. Все четыре проверки согласуются с ответом.

Ответ. $D(f) = (3;\,4) \cup (4;\,6)$.

Откуда берутся три условия

Все ограничения читаются прямо из определения. Запись $\log_a b = c$ означает, что $a^c = b$, и каждое из требований к $a$ и $b$ обеспечивает существование и единственность такого показателя $c$.

Аргумент положителен, потому что степень положительного основания положительна при любом действительном показателе: $a^c > 0$ всегда. Значит, уравнение $a^c = b$ при $b \le 0$ решений не имеет, и логарифма нуля или отрицательного числа не существует.

Основание положительно, потому что при отрицательном $a$ степень с произвольным действительным показателем не определена: выражение $(-4)^{1/2}$ действительного значения не имеет, и показательная функция с таким основанием рвётся на каждом шаге.

Основание не равно единице, потому что $1^c = 1$ при любом $c$. Тогда уравнение $1^c = b$ либо не имеет решений совсем, либо имеет их бесконечно много, и однозначного значения логарифма не получается.

Отсюда главное отличие от соседней задачи про область определения корня: там неравенство нестрогое, потому что $\sqrt{0} = 0$ существует и границы входят в ответ. У логарифма все неравенства строгие, поэтому в нашем примере ни один конец не закрашен и все скобки круглые. Привычка ставить $\ge$ после корня переносится на логарифм автоматически, и это самая частая потеря балла в теме.

Таблица собирает типовые записи с логарифмом и условия, которые они дают.

Логарифм от дроби: почему нужен метод интервалов

Соблазн велик: умножить неравенство $\dfrac{6 - x}{x - 2} > 0$ на знаменатель и получить простое $6 - x > 0$. Так делать нельзя. Знак знаменателя неизвестен, а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому один из промежутков потеряется, а лишний добавится. Правильный ход один: приравнять к нулю числитель и знаменатель, отметить обе точки на прямой и расставить знаки, как в любом дробно-рациональном неравенстве.

Полезно помнить эквивалентность: дробь положительна тогда же, когда положительно произведение числителя и знаменателя. Условие $\dfrac{6 - x}{x - 2} > 0$ равносильно $(6 - x)(x - 2) > 0$, а это уже привычная парабола ветвями вниз с нулями $2$ и $6$. Ответ тот же промежуток $(2;\,6)$, но проверять знаки удобнее.

В калькуляторе сверху переключатель «Что стоит под логарифмом» показывает разницу наглядно. У дроби решение всегда лежит между нулями, у произведения $(x - a)(x - b)$ наоборот, снаружи, и ответ распадается на два луча. Двучлен $x - a$ даёт один луч и вообще не требует расстановки знаков.

Отдельно стоит запомнить: область определения не заменяет решения неравенства. Если логарифм стоит не в функции, а в логарифмическом неравенстве, система условий будет только первым шагом, а дальше придётся разбирать случаи по величине основания.

Составная функция: логарифм под корнем и логарифм от логарифма

Когда логарифм оказывается внутри другой операции, условия набираются послойно, снаружи внутрь. Возьмём $f(x) = \sqrt{\lg(x - 1)}$. Внешний корень требует неотрицательности подкоренного выражения, внутренний логарифм требует положительности своего аргумента:

$$\begin{cases} \lg(x - 1) \ge 0, \\ x - 1 > 0 . \end{cases}$$

Первое неравенство решается по смыслу десятичного логарифма: он неотрицателен, когда аргумент не меньше единицы, то есть $x - 1 \ge 1$, откуда $x \ge 2$. Второе условие при этом выполняется автоматически, и ответ $D(f) = [2;\,+\infty)$. Скобка здесь квадратная, потому что внешняя операция корень, и нуль под ним допустим.

Второй типовой случай, логарифм от логарифма: $f(x) = \ln(\ln x)$. Внешний логарифм хочет $\ln x > 0$, то есть $x > 1$. Внутренний хочет $x > 0$, и это условие поглощается первым. Ответ $D(f) = (1;\,+\infty)$. Схема одна и та же: каждый слой даёт своё неравенство, лишние условия не мешают, а нехватка одного слоя сразу расширяет ответ.

Найденные граничные точки потом идут в работу дальше. Именно в них считают односторонние пределы, когда ищут точки разрыва функции, так что аккуратная запись области определения экономит время на следующем пункте исследования.

Область определения - только первый пункт полного исследования: дальше идут асимптоты, монотонность и выпуклость. Весь маршрут собран в задаче исследовать функцию и построить график.

Частые ошибки

• Ставят нестрогое неравенство на аргумент. Условие всегда $u(x) > 0$: логарифма нуля не существует, в отличие от корня, где нуль под знаком допустим.
• Забывают условия на основание. Если в основании стоит выражение с $x$, одного неравенства на аргумент мало: система обязана содержать три строки.
• Теряют точку, где основание равно единице. В примере это $x = 4$: с виду мелочь, но ответ без выколотой точки считается неверным целиком.
• Умножают неравенство на знаменатель. Знак знаменателя неизвестен, поэтому переход $\dfrac{6 - x}{x - 2} > 0 \Rightarrow 6 - x > 0$ неравносилен и меняет ответ.
• Берут объединение вместо пересечения. Условия должны выполняться одновременно, поэтому промежутки пересекают, а объединение даёт заведомо более широкое множество.
• Сначала упрощают по свойствам логарифмов, потом ищут область. Преобразование $\log_a x^2 = 2\log_a x$ верно лишь при $x > 0$ и само сужает область, так что систему пишут до преобразований.

FAQ

Нужно ли писать отдельное условие для знаменателя дроби под логарифмом? Нет, оно уже входит в требование положительности. В точке, где знаменатель обращается в нуль, дробь не определена, поэтому строгое неравенство автоматически выкалывает эту точку. Отдельная строка $x - 2 \ne 0$ ответ не изменит, но и ошибкой не будет.

Чем область определения отличается от ОДЗ? На практике почти ничем: областью допустимых значений называют множество, где имеет смысл выражение, областью определения то же множество для функции. В задачах на логарифм оба термина означают одну и ту же систему неравенств.

Что делать, если основание постоянное, например десятичный логарифм? Тогда условий на основание нет вовсе, и система сводится к одному неравенству на аргумент. В калькуляторе сверху для этого есть переключатель основания: строки «основание больше нуля» и «основание не равно единице» просто исчезают с линейки.

Можно ли сначала преобразовать выражение по свойствам логарифмов? Лучше не надо. Разность логарифмов сворачивается в логарифм частного, но область при этом расширяется, и в ответ попадают лишние точки. Систему условий выписывают по исходной записи функции, а преобразования делают уже внутри найденной области.

Коротко

1. Логарифм с переменным основанием даёт три условия: аргумент строго больше нуля, основание строго больше нуля и основание не равно единице.
2. Все неравенства строгие, поэтому концы промежутков всегда выколоты и скобки в ответе круглые. Это главное отличие от области определения корня.
3. Аргумент-дробь решается методом интервалов: нули числителя и знаменателя на прямую, знаки по промежуткам. Умножать на знаменатель нельзя.
4. Решения условий пересекают, а не объединяют. Точку, где основание равно единице, выкалывают в последнюю очередь, и промежуток распадается на два.
5. Ответ примера: $D(f) = (3;\,4) \cup (4;\,6)$ для функции $f(x) = \log_{x - 3}\left(\dfrac{6 - x}{x - 2}\right)$.