Как исследовать функцию и построить график: схема

Дано: $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 4}$. Найти: исследовать функцию по полной схеме и построить её график.

Схема одна для любой функции: шесть шагов в жёстком порядке, где каждый следующий опирается на результат предыдущего и сужает картину. Ответ: область определения $x \ne \pm 2$, функция нечётная, вертикальные асимптоты $x = -2$ и $x = 2$, наклонная $y = x$, максимум $f(-2\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} \approx -5{,}2$, минимум $f(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$, перегиб в точке $(0;\,0)$. Калькулятор сверху прогоняет всю схему для трёх типовых функций и сразу собирает итоговый график с асимптотами и характерными точками.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 4}$. Найти: все элементы исследования и график.

Шаг 1. Область определения. Дробь определена всюду, кроме нулей знаменателя: из $x^2 - 4 = 0$ получаем $x = -2$ и $x = 2$. Значит

$$D(f) = (-\infty;\,-2) \cup (-2;\,2) \cup (2;\,+\infty).$$

Обе выколотые точки станут кандидатами в вертикальные асимптоты на четвёртом шаге, и обе останутся вне всех промежутков монотонности и выпуклости. Если бы в формуле стоял корень или логарифм, здесь пришлось бы решать неравенство: этот случай разобран отдельно в задаче про область определения выражения с корнем, а классификация разрывов в точках $x = \pm 2$ показана в разборе точек разрыва функции.

Шаг 2. Чётность и периодичность. Подставляем $-x$:

$$f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -f(x).$$

Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Это самый выгодный шаг схемы: дальше можно считать всё только для $x > 0$, а левую половину получить поворотом на $180^\circ$. Периодичности нет, дробно-рациональные функции непериодичны; как проверяется период, показано в разборе периода функции, а сама проверка на симметрию подробно разобрана в задаче про чётность и нечётность.

Шаг 3. Нули функции и знак. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: $x^3 = 0$ даёт единственный нуль $x = 0$, и график проходит через начало координат. Знак дроби меняется в нуле числителя и в точках разрыва, поэтому ось разбивается на четыре промежутка: на $(-\infty;\,-2)$ функция отрицательна, на $(-2;\,0)$ положительна, на $(0;\,2)$ отрицательна, на $(2;\,+\infty)$ положительна. Эти четыре знака уже говорят, в каких четвертях искать ветви, и защищают от самой обидной ошибки построения, когда кривую рисуют не в той полуплоскости.

Шаг 4. Асимптоты. Вертикальные ищем только в граничных точках области определения. Числитель в точках $x = \pm 2$ в нуль не обращается, поэтому оба разрыва дают бесконечные пределы:

$$\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty.$$

Наклонную ищем по пределам: $k = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{x^2 - 4} = 1$ и $b = \lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4x}{x^2 - 4} = 0$. Значит наклонная асимптота одна и та же в обе стороны: $y = x$. Тот же результат даёт деление уголком, $f(x) = x + \dfrac{4x}{x^2 - 4}$, и остаток сразу показывает сторону подхода: при $x > 2$ он положителен, график идёт выше прямой, при $x < -2$ отрицателен и график идёт ниже. Техника вычисления $k$ и $b$ подробно расписана в задаче про асимптоты графика функции.

Шаг 5. Первая производная: монотонность и экстремумы. Дифференцируем по правилу частного:

$$f'(x) = \frac{3x^2 (x^2 - 4) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2 (x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^2}.$$

Знаменатель положителен всюду, кроме точек разрыва, поэтому знак производной задаёт только числитель. Нули: $x = 0$ и $x = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}46$. Множитель $x^2$ знак не меняет, так что $x = 0$ критическая точка без экстремума. Производная положительна при $x^2 > 12$ и отрицательна при $x^2 < 12$, значит функция возрастает на $(-\infty;\,-2\sqrt{3})$ и на $(2\sqrt{3};\,+\infty)$, убывает на каждом из промежутков $(-2\sqrt{3};\,-2)$, $(-2;\,2)$ и $(2;\,2\sqrt{3})$. Максимум $f(-2\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} \approx -5{,}2$, минимум $f(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$: у такой функции максимум лежит ниже минимума, и это нормально, ведь между ними разрыв. Достаточные условия и работа с отрезком разобраны в задаче про исследование функции на экстремум, а оформление промежутков монотонности через знак $f'$ показано в разборе промежутков возрастания и убывания.

Шаг 6. Вторая производная: выпуклость и перегиб. Дифференцируем ещё раз и приводим к произведению:

$$f''(x) = \frac{8x\,(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}.$$

Скобка $x^2 + 12$ положительна всегда, поэтому знак определяют множитель $x$ и куб знаменателя. Единственный нуль $x = 0$, при переходе через него вторая производная меняет знак, значит $(0;\,0)$ точка перегиба, причём касательная в ней горизонтальна, ведь $f'(0) = 0$. График выпуклый вниз на $(-2;\,0)$ и на $(2;\,+\infty)$, выпуклый вверх на $(-\infty;\,-2)$ и на $(0;\,2)$; выпуклость меняется и в точках разрыва, но перегибами они не являются, потому что не входят в область определения. Полная техника этого шага дана в задаче про точки перегиба функции.

Шаг 7. Сводная таблица. Собираем знаки обеих производных на всех промежутках между особыми точками $-2\sqrt{3}$, $-2$, $0$, $2$, $2\sqrt{3}$:

Ответ: $D(f) = (-\infty;\,-2) \cup (-2;\,2) \cup (2;\,+\infty)$, функция нечётная, нуль один в $x = 0$; вертикальные асимптоты $x = -2$ и $x = 2$, наклонная $y = x$; максимум $-3\sqrt{3} \approx -5{,}2$ при $x = -2\sqrt{3}$, минимум $3\sqrt{3} \approx 5{,}2$ при $x = 2\sqrt{3}$; перегиб $(0;\,0)$.

Сборка графика по таблице

Чертёж строится не по точкам, а по таблице, и порядок действий такой же жёсткий, как в самом исследовании. Сначала на осях проводят пунктиром все асимптоты: две вертикальные прямые $x = \pm 2$ и наклонную $y = x$ через начало координат. Эти три линии делят плоскость на области, и каждая ветвь графика оказывается запертой в своей области, что почти исключает грубую ошибку в форме кривой.

Затем наносят характерные точки: нуль и перегиб $(0;\,0)$, максимум $(-3{,}46;\,-5{,}2)$ и минимум $(3{,}46;\,5{,}2)$. Полезно добавить одну-две контрольные точки на дальних кусках, например $f(-5) \approx -5{,}95$ и $f(5) \approx 5{,}95$: они показывают, что ветви уже почти легли на наклонную асимптоту, но подходят к ней снаружи.

Дальше идёт последний столбец таблицы. На $(2;\,3{,}46)$ функция убывает и выпукла вниз, значит ветвь падает из плюс бесконечности к минимуму, изгибаясь как чаша. На $(3{,}46;\,+\infty)$ она растёт и остаётся выпуклой вниз, поднимаясь к наклонной асимптоте сверху. Средняя ветвь на $(-2;\,2)$ монотонно убывает, проходит через начало координат и меняет там выпуклость с нижней на верхнюю. Левая часть графика не считается заново: по нечётности она получается поворотом правой на $180^\circ$ вокруг начала координат.

Порядок шагов: почему именно такой

Каждый шаг схемы работает на следующий, поэтому переставлять их нельзя. Область определения идёт первой, потому что все дальнейшие ответы обязаны лежать внутри неё: критическая точка вне области существования просто не считается. Чётность стоит второй, потому что она вдвое сокращает объём всех оставшихся вычислений, и узнать об этом лучше до, а не после того, как половина работы сделана дважды.

Асимптоты идут раньше производных не случайно. Они задают каркас чертежа и границы поведения. Первая производная затем расставляет экстремумы, а вторая уточняет форму дуги между ними, и только после этого таблица знаков превращается в кривую.

Если функция другого вида

Схема не меняется, меняется наполнение шагов. У многочлена вроде $f(x) = x^3 - 12x$ первый и четвёртый шаги вырождаются: область определения вся ось, асимптот нет, зато остаются нечётность, экстремумы при $x = \pm 2$ и перегиб в начале координат. Переключатель в калькуляторе сверху показывает именно этот случай: точки на месте, пунктирных прямых нет.

У дроби $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 3}$ пропадает симметрия: функция ни чётная, ни нечётная, поэтому обе половины считаются честно, а вторая производная нигде не обнуляется, и точек перегиба нет вовсе. У функций с логарифмом или корнем самым тяжёлым становится первый шаг, а вместо односторонних пределов в полюсах считают пределы на границах области определения. У периодических функций всё исследование проводят на одном периоде и потом размножают картинку сдвигом.

Первый шаг схемы - область определения, и для функций с логарифмом он даёт систему неравенств: как её решают, разобрано в задаче про область определения логарифма.

Частые ошибки

• Точку $x = 0$ объявляют экстремумом только потому, что $f'(0) = 0$. Смены знака нет, множитель $x^2$ знак не меняет, и вместо экстремума здесь перегиб с горизонтальной касательной.
• Промежутки монотонности объединяют знаком объединения: пишут, что функция убывает на $(-2\sqrt{3};\,2\sqrt{3})$. На объединении она не убывает, между кусками лежат разрывы, и промежутки перечисляют через запятую.
• Точки разрыва вносят в ответ как точки экстремума или перегиба. Они не принадлежат области определения, значений функции в них нет, поэтому в ответ идут только как асимптоты.
• Наклонную асимптоту ищут только на $+\infty$. Пределы $k$ и $b$ нужно считать в обе стороны: у функций с корнем или модулем прямые слева и справа разные.
• Путают названия: выпуклость вниз отвечает условию $f'' > 0$ и виду чаши, выпуклость вверх условию $f'' < 0$ и виду купола.

FAQ

Можно ли построить график только по точкам, без производных? Для контрольной нет. По точкам не видно ни разрывов, ни поведения на бесконечности, ни того, где кривая выпукла: между двумя соседними точками функция может уйти в бесконечность. Точки нужны как контрольные, а форму задают асимптоты и знаки производных.

Нужно ли считать пределы на бесконечности, если наклонная уже найдена? Отдельно нет: наклонная асимптота и есть ответ на вопрос о поведении на бесконечности. Полезно лишь определить знак разности $f(x) - (kx + b)$, чтобы понять, с какой стороны кривая подходит к прямой.

Что делать, если производная нигде не обращается в нуль? Значит экстремумов нет, и функция монотонна на каждом промежутке области определения. Шаг не пропускают: знак $f'$ всё равно выписывают, он нужен для таблицы и для направления ветвей.

Обязательно ли считать вторую производную? В полной схеме да. Без неё неизвестна выпуклость, и график можно провести с правильными точками, но неверными дугами. Если по условию требуется только эскиз, ограничиваются первой производной и асимптотами.

Коротко

1. Область определения: $x^2 - 4 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 2$; обе точки выколоты и станут асимптотами.
2. Чётность: $f(-x) = -f(x)$, функция нечётная, считаем правую половину и отражаем через начало координат.
3. Асимптоты: вертикальные $x = -2$ и $x = 2$ по бесконечным односторонним пределам, наклонная $y = x$ по $k = 1$ и $b = 0$.
4. Производные: $f'(x) = \dfrac{x^2(x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^2}$ даёт максимум $-3\sqrt{3}$ при $x = -2\sqrt{3}$ и минимум $3\sqrt{3}$ при $x = 2\sqrt{3}$; $f''(x) = \dfrac{8x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}$ даёт перегиб $(0;\,0)$.
5. График: пунктиром асимптоты, затем характерные точки, затем дуги по таблице знаков $f'$ и $f''$, левая половина получается поворотом правой.