Как исследовать функцию на экстремум: решение по шагам

Дано: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$. Найти: точки экстремума и наибольшее с наименьшим значения на отрезке $[0;\,3]$.

Алгоритм один для любой дифференцируемой функции: приравниваем первую производную к нулю, получаем критические точки, а затем проверяем каждую достаточным условием - по смене знака $f'(x)$ или по знаку $f''(x)$. Ответ: точка максимума $x = -1$ со значением $f(-1) = 12$, точка минимума $x = 2$ со значением $f(2) = -15$; на отрезке $[0;\,3]$ наибольшее значение равно $5$ при $x = 0$, наименьшее равно $-15$ при $x = 2$. Калькулятор сверху пересчитывает критические точки, их тип и оба крайних значения под любые коэффициенты и любой отрезок.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$, отрезок $[0;\,3]$. Найти: точки экстремума, значения в них, наибольшее и наименьшее значения на отрезке.

Шаг 1. Область определения. Многочлен определён при всех вещественных $x$, поэтому $D(f) = (-\infty;\,+\infty)$ и никаких дополнительных подозрительных точек, кроме нулей производной, не появится. У дробей, корней и логарифмов этот шаг пропускать нельзя: точки, где функция не определена, экстремумами быть не могут, даже если производная рядом ведёт себя красиво.

Шаг 2. Первая производная и критические точки. Дифференцируем почленно:

$$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6\,(x^2 - x - 2) = 6\,(x + 1)(x - 2).$$

Приравниваем к нулю: $6(x+1)(x-2) = 0$, откуда $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Обе точки критические - производная существует всюду, так что других кандидатов нет.

Шаг 3. Достаточное условие: смена знака производной. Критические точки делят ось на три промежутка. Берём по пробной точке в каждом: $f'(-2) = 24 + 12 - 12 = 24 > 0$, $f'(0) = -12 < 0$, $f'(3) = 54 - 18 - 12 = 24 > 0$.

Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через $x = -1$ - это точка максимума. При переходе через $x = 2$ знак меняется с минуса на плюс - точка минимума. Сами промежутки монотонности здесь не выписываем: это отдельная задача, она разобрана в материале про промежутки возрастания и убывания функции.

Шаг 4. Проверка по второй производной. Тот же вывод получается короче. Дифференцируем $f'(x)$ ещё раз:

$$f''(x) = 12x - 6.$$

Подставляем критические точки: $f''(-1) = -12 - 6 = -18 < 0$, значит в $x = -1$ максимум; $f''(2) = 24 - 6 = 18 > 0$, значит в $x = 2$ минимум. Два независимых признака дали одинаковый результат - это и есть проверка.

Шаг 5. Значения функции в точках экстремума. Подставляем в исходную формулу, а не в производную:

$$\begin{aligned} f(-1) &= 2\cdot(-1) - 3\cdot 1 + 12 + 5 = 12,\\ f(2) &= 2\cdot 8 - 3\cdot 4 - 24 + 5 = -15. \end{aligned}$$

Максимум функции равен $12$, минимум равен $-15$. Точка максимума - это $x = -1$, а максимум - это значение $12$; путать их нельзя, из-за этого чаще всего и теряют баллы.

Шаг 6. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[0;\,3]$. Здесь работает другой алгоритм: сравниваем значения на концах отрезка и в тех критических точках, которые внутрь попали. Точка $x = -1$ лежит вне отрезка и в сравнении не участвует, точка $x = 2$ внутри. Считаем три числа: $f(0) = 5$, $f(2) = -15$, $f(3) = 54 - 27 - 36 + 5 = -4$.

Наибольшее из них равно $5$ и достигается на левом конце отрезка, наименьшее равно $-15$ и достигается в точке минимума.

Ответ. Точка максимума $x = -1$, $f(-1) = 12$; точка минимума $x = 2$, $f(2) = -15$. На отрезке $[0;\,3]$: наибольшее значение $5$ при $x = 0$, наименьшее значение $-15$ при $x = 2$.

Критическая точка и экстремум: откуда берётся алгоритм

Экстремум - понятие локальное. Точка $x_0$ называется точкой максимума, если в некоторой её окрестности выполняется $f(x) \le f(x_0)$; для минимума неравенство переворачивается. Сравнение идёт только с ближайшими точками, поэтому значение в точке максимума вполне может быть меньше значения где-то далеко на графике - у нашей функции так и вышло: $f(-1) = 12$, а $f(10) = 1585$.

Первый шаг алгоритма опирается на теорему Ферма: если функция дифференцируема в точке экстремума, то её производная там равна нулю. Это необходимое условие, и работает оно только в одну сторону. Обратное неверно: у функции $f(x) = x^3$ производная в нуле обращается в нуль, но экстремума нет - знак $f'(x) = 3x^2$ по обе стороны одинаковый, функция всё время растёт.

Критическими считают не только нули производной. В список кандидатов входят и точки, где производная не существует, хотя сама функция определена. Классический пример - $f(x) = |x|$: в нуле излом, производной нет, а минимум есть. Поэтому у функций с модулем, корнем нечётной степени или дробной степенью проверять надо обе группы точек.

Два достаточных условия: какое выбирать

Первое условие - смена знака первой производной. Второе - знак второй производной в самой критической точке. Оба дают один ответ, но применимы не всегда одинаково удобно.

Второй признак быстрее, но у него есть слепая зона. Если $f''(x_0) = 0$, вывода нет никакого: у $f(x) = x^4$ в нуле минимум, у $f(x) = -x^4$ максимум, у $f(x) = x^3$ экстремума нет, и во всех трёх случаях вторая производная в нуле равна нулю. В такой ситуации возвращаются к смене знака первой производной либо смотрят производные высших порядков: если первой ненулевой в точке оказывается производная чётного порядка, экстремум есть, а её знак задаёт тип.

Признак по смене знака универсальнее: он не требует существования второй производной и годится для точек излома, где второй производной попросту не существует.

Наибольшее значение на отрезке: почему это другая задача

Локальный экстремум и наибольшее значение - разные вещи, и алгоритмы у них разные. По теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция обязательно достигает и наибольшего, и наименьшего значения, но достигать их она может либо во внутренней точке экстремума, либо на конце отрезка. Отсюда правило: считаем значения во всех критических точках, попавших внутрь отрезка, добавляем значения на обоих концах и выбираем из полученного набора чисел максимальное и минимальное.

Разбирать тип критических точек при этом не обязательно. В нашей задаче достаточно было сравнить $f(0) = 5$, $f(2) = -15$ и $f(3) = -4$, а знать, что $x = 2$ именно минимум, для ответа не требовалось.

Для открытого интервала или бесконечного промежутка гарантий Вейерштрасса нет: наибольшего значения может просто не существовать. У нашего многочлена на всей оси значения неограниченно растут при $x \to +\infty$ и неограниченно убывают при $x \to -\infty$, поэтому глобального максимума и минимума у него нет - есть только локальные. Для функций нескольких переменных с дополнительным ограничением схема меняется сильнее, там работает метод множителей Лагранжа.

Частые ошибки

• Путают точку экстремума и экстремум. Точка максимума - это $x = -1$, максимум - это значение $f(-1) = 12$. В ответ «точка максимума равна 12» проверяющий засчитает ошибку.
• Подставляют критическую точку в производную. Значение $f'(-1)$ равно нулю по построению; значения экстремумов ищут подстановкой в исходную функцию.
• Считают экстремумом любой нуль производной. Достаточное условие обязательно: у $f(x) = x^3$ критическая точка есть, а экстремума нет.
• Забывают точки, где производная не существует. У функций с модулем и корнями экстремум часто сидит именно там, и по нулям производной он не находится.
• Ищут наибольшее значение на отрезке через тип экстремумов. Нужно сравнить числа: значения в критических точках внутри отрезка и на его концах. Внешние критические точки, как $x = -1$ в нашей задаче, отбрасываются.
• Теряют область определения. Для $f(x) = x^2 - 8\ln x$ критическая точка $x = -2$ формально решает уравнение, но лежит вне области определения и в ответ не идёт.

FAQ

Сколько экстремумов может быть у кубического многочлена? Ровно два или ни одного. Производная - квадратный трёхчлен: при положительном дискриминанте у неё два корня, и получаются максимум и минимум; при нулевом или отрицательном дискриминанте знак производной не меняется, функция монотонна и экстремумов нет.

Что делать, если вторая производная в критической точке равна нулю? Признак по второй производной ответа не даёт, и вывод делать нельзя. Возвращайтесь к смене знака первой производной: подставьте пробные точки слева и справа. Если знак одинаковый, экстремума нет, это точка перегиба с горизонтальной касательной.

Обязательно ли проверять оба достаточных условия? Нет, достаточно одного. В разборе показаны оба, чтобы результат перепроверить: смена знака и знак второй производной должны давать один и тот же тип точки. В контрольной обычно выбирают тот признак, который короче считается.

Как понять, что наибольшее значение достигается на конце отрезка? Только сравнением чисел. В нашей задаче на $[0;\,3]$ наибольшим оказалось $f(0) = 5$, хотя внутри отрезка нет ни одной точки максимума: единственная внутренняя критическая точка $x = 2$ была минимумом.

Коротко

1. Найдите область определения и вычислите $f'(x)$; для $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ получаем $f'(x) = 6(x+1)(x-2)$.
2. Решите уравнение $f'(x) = 0$ и добавьте точки, где производная не существует: это критические точки, здесь $x = -1$ и $x = 2$.
3. Проверьте каждую достаточным условием: смена знака $f'(x)$ или знак $f''(x) = 12x - 6$; получаем максимум в $x = -1$ и минимум в $x = 2$.
4. Подставьте точки экстремума в исходную функцию: $f(-1) = 12$, $f(2) = -15$.
5. Для наибольшего и наименьшего значений на отрезке сравните значения на концах и в критических точках внутри: на $[0;\,3]$ это $5$ при $x = 0$ и $-15$ при $x = 2$.