Как найти производную неявной функции: решение по шагам

Дано: уравнение $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$, точка $M(4;\,2)$. Найти: производную $y'$ и вторую производную $y''$ в этой точке, а также уравнение касательной.

Уравнение связывает $x$ и $y$, но не разрешено относительно $y$: готовой формулы вида $y = f(x)$ здесь нет. Такие зависимости дифференцируют, не разрешая: обе части равенства дифференцируют по $x$, считая $y$ функцией от $x$, а потом выражают $y'$ из полученного линейного относительно $y'$ уравнения. Ответ: $y'(M) = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75$, $y''(M) = -\dfrac{25}{64} \approx -0{,}391$, касательная $y = -0{,}75x + 5$. Калькулятор сверху делает тот же расчёт для четырёх кривых и рисует касательную прямо на графике.

Решение по шагам

Дано. $F(x, y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$, точка $M(4;\,2)$. Найти: $y'(M)$, $y''(M)$ и уравнение касательной.

Шаг 1. Проверяем, что точка лежит на кривой. Без этой проверки решать нельзя: производная неявной функции ищется не вообще, а в конкретной точке кривой. Подставляем координаты:

$$4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 + 4 \cdot 2 - 20 = 16 + 4 - 8 + 8 - 20 = 0.$$

Равенство обратилось в тождество, значит, точка $M$ лежит на кривой и разговор о касательной в ней имеет смысл.

Шаг 2. Дифференцируем обе части по $x$. Вот здесь и заключён весь приём: $y$ считается не независимой переменной, а функцией $y(x)$. Поэтому слагаемое $y^2$ дифференцируется как композиция и даёт $2y \cdot y'$, а не просто $2y$; множитель $y'$ появляется по цепному правилу. Слагаемое $4y$ по той же причине даёт $4y'$, а число $-20$ обращается в нуль:

$$2x + 2y\,y' - 2 + 4y' = 0.$$

Шаг 3. Выражаем $y'$. Полученное равенство линейно относительно $y'$, так что достаточно собрать слагаемые с производной в одной части, а всё остальное перенести в другую:

$$y'\,(2y + 4) = 2 - 2x \quad \Longrightarrow \quad y' = \frac{2 - 2x}{2y + 4} = \frac{1 - x}{y + 2}.$$

Обрати внимание: в ответ вошли обе переменные, и $x$, и $y$. Для неявной функции это норма, а не признак ошибки, ведь сама зависимость задана уравнением, а не формулой.

Шаг 4. Подставляем координаты точки. Теперь, когда общее выражение получено, координаты $x_0 = 4$ и $y_0 = 2$ идут в дело:

$$y'(M) = \frac{1 - 4}{2 + 2} = -\frac{3}{4} = -0{,}75.$$

Шаг 5. Находим вторую производную. Дифференцируем по $x$ равенство из шага 2, предварительно сократив его на 2, чтобы не тащить лишние множители: $x + y\,y' - 1 + 2y' = 0$. Произведение $y \cdot y'$ дифференцируется по правилу произведения и даёт $y' \cdot y' + y \cdot y''$, то есть $(y')^2 + y\,y''$. Само $y'$ тоже функция от $x$, поэтому оно превращается в $y''$:

$$1 + (y')^2 + y\,y'' + 2y'' = 0 \quad \Longrightarrow \quad y'' = -\frac{1 + (y')^2}{y + 2}.$$

Подставляем уже найденное $y' = -\dfrac{3}{4}$ и координату $y_0 = 2$:

$$y''(M) = -\frac{1 + \dfrac{9}{16}}{2 + 2} = -\frac{\dfrac{25}{16}}{4} = -\frac{25}{64} \approx -0{,}391.$$

Шаг 6. Составляем уравнение касательной. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке, дальше работает обычное уравнение прямой через точку:

$$y - 2 = -\frac{3}{4}\,(x - 4) \quad \Longrightarrow \quad y = -0{,}75x + 5.$$

Ответ: $y'(M) = -0{,}75$, $y''(M) = -\dfrac{25}{64} \approx -0{,}391$, касательная $y = -0{,}75x + 5$.

Формула через частные производные

Тот же результат получается без ручного дифференцирования равенства, по готовой формуле. Если кривая задана уравнением $F(x, y) = 0$, то

$$y' = -\frac{F'_x}{F'_y},$$

где $F'_x$ и $F'_y$ - частные производные функции двух переменных: при вычислении $F'_x$ переменная $y$ считается константой, при вычислении $F'_y$ константой считается $x$. Никакого $y'$ внутри них уже нет, поэтому формула работает механически.

Откуда берётся минус, видно из шага 2. Слева стоит сложная функция одной переменной $F\big(x, y(x)\big)$, и её полная производная равна $F'_x + F'_y \cdot y'$. Раз $F$ тождественно равна нулю вдоль кривой, эта сумма тоже равна нулю, а из равенства $F'_x + F'_y\,y' = 0$ и выражается $y'$. Минус - просто след переноса слагаемого через знак равенства.

Проверим формулу на нашей задаче. Здесь $F'_x = 2x - 2$ и $F'_y = 2y + 4$, в точке $M$ они равны $6$ и $8$, откуда $y' = -\dfrac{6}{8} = -\dfrac{3}{4}$ - ровно то же число, что и в шаге 4.

Отдельного внимания требует знаменатель. Формула работает, только пока $F'_y \neq 0$: именно это неравенство гарантирует, что вблизи точки уравнение действительно задаёт функцию $y(x)$, а не что-то более сложное. Строгая формулировка и доказательство теоремы о неявной функции разобраны отдельно. В нашем примере $F'_y = 2y + 4$ обращается в нуль при $y = -2$, то есть в точках $(6;\,-2)$ и $(-4;\,-2)$: там касательная вертикальна, производная бесконечна, и ни одну из формул применять нельзя.

Вторая производная: два способа

Первый способ уже показан в шаге 5: продифференцировать равенство ещё раз и подставить найденное $y'$. Он короче, если первая производная уже получена, и почти не требует запоминания.

Второй способ - готовая формула через частные производные второго порядка:

$$y'' = -\frac{F''_{xx}\,(F'_y)^2 - 2F''_{xy}\,F'_x\,F'_y + F''_{yy}\,(F'_x)^2}{(F'_y)^3}.$$

Для нашей кривой все нужные величины считаются в одну строку:

Числитель равен $2 \cdot 8^2 - 2 \cdot 0 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 6^2 = 128 + 72 = 200$, знаменатель равен $8^3 = 512$, и вторая производная снова оказывается равной $-\dfrac{200}{512} = -\dfrac{25}{64}$. Совпадение двух независимых способов - хорошая проверка арифметики.

Знак второй производной читается так же, как у обычной функции: $y'' < 0$ означает, что кривая вблизи точки выпукла вверх и лежит под касательной. На графике калькулятора это видно по точечной параболе: она отличается от касательной как раз слагаемым с $y''$ и потому повторяет изгиб кривой, а не только её наклон. Точки, где $y''$ меняет знак, - это точки перегиба; у окружности их нет, а у кривых посложнее они появляются.

Проверка: разрешаем уравнение явно

Наше уравнение достаточно простое, чтобы решить задачу в лоб и сверить ответы. Выделим полные квадраты: $x^2 - 2x + y^2 + 4y - 20 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 25$. Значит, кривая - окружность радиуса $5$ с центром $(1;\,-2)$, а точка $M(4;\,2)$ лежит на её верхней половине.

Верхняя половина уже выражается явно: $y = -2 + \sqrt{25 - (x - 1)^2}$. Дифференцируем как обычную функцию одной переменной и подставляем $x = 4$:

$$y' = \frac{-(x - 1)}{\sqrt{25 - (x - 1)^2}}, \qquad y'(4) = \frac{-3}{\sqrt{16}} = -\frac{3}{4}.$$

Ответ сошёлся, и вторая производная тоже: $y'' = -\dfrac{25}{\big(25 - (x-1)^2\big)^{3/2}}$ даёт в точке $-\dfrac{25}{64}$. Заодно стало видно, что метод неявного дифференцирования нашёл производную сразу для обеих половин окружности, тогда как явная формула описывает только одну из них.

Такая проверка возможна только потому, что уравнение простое. Для кривой $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ выражение для $y$ уже громоздкое, а для $y^3 + 3xy - 14 = 0$ его практически не выписать - обе кривые есть в калькуляторе сверху, и на них неявное дифференцирование остаётся единственным разумным способом. В этом и смысл метода: производная находится там, где самой функции в явном виде нет.

Формула y' = −F'x/F'y собрана из частных производных, и те же производные первого порядка нужны, когда ищут экстремум функции двух переменных - только там их приравнивают к нулю, а не делят одну на другую.

Частые ошибки

• Забыли, что $y$ зависит от $x$. Самая частая ошибка: $y^2$ дифференцируют как $2y$ вместо $2y\,y'$. Тогда производная просто исчезает из уравнения и выразить её становится нечего.
• Потеряли $y'$ в произведении. Слагаемое вида $xy$ дифференцируется как произведение и даёт $y + x\,y'$, а не $y$ или $x\,y'$ по отдельности.
• Подставили координаты точки до дифференцирования. Если сразу заменить $x$ и $y$ числами, уравнение превратится в тождество $0 = 0$, и дифференцировать будет нечего. Числа подставляются только в готовое выражение для производной.
• Перепутали знак в формуле. В записи $y' = -F'_x / F'_y$ минус стоит перед всей дробью; внизу производная по $y$, а не по $x$. Перестановка местами даёт обратную по величине и неверную по знаку производную.
• Не проверили условие $F'_y \neq 0$. В точках с вертикальной касательной формула не работает, и ответ вида «производная равна бесконечности» надо получать не подстановкой, а отдельным разбором.
• При второй производной забыли, что $y'$ тоже функция. Дифференцируя $(y')$, получают $y''$, а дифференцируя произведение $y\,y'$ - сумму $(y')^2 + y\,y''$. Пропуск любого из этих слагаемых сразу ломает ответ.

FAQ

Чем неявное дифференцирование отличается от обычного? Техника та же самая, добавлено лишь одно соглашение: $y$ - функция от $x$, поэтому каждый раз, когда дифференцируется выражение с $y$, появляется множитель $y'$. Всё остальное - привычные правила суммы, произведения и композиции.

Почему в ответе осталась переменная $y$? Потому что неявная функция и не задана формулой через $x$. Выражение $y' = \dfrac{1 - x}{y + 2}$ вполне рабочее: чтобы получить число, в него подставляют обе координаты точки кривой. Если очень нужно, $y$ можно исключить, разрешив исходное уравнение, но обычно это лишняя работа.

Что делать, если $F'_y = 0$ в точке? Это означает вертикальную касательную: $y$ как функция от $x$ там не определена. Выход - поменять роли переменных и искать $x'(y) = -F'_y / F'_x$; для окружности в точке $(6;\,-2)$ такая производная существует и равна нулю.

Нужно ли проверять, что точка лежит на кривой? Обязательно. Если координаты не обращают уравнение в тождество, точка не принадлежит кривой, и вычисленное по формуле число не будет производной ни в каком осмысленном смысле. Проверка занимает одну строку и сразу отсекает опечатки в условии.

Коротко

1. Убедиться, что точка лежит на кривой: подставить её координаты в уравнение и получить тождество.
2. Продифференцировать обе части по $x$, считая $y$ функцией от $x$: каждое слагаемое с $y$ даёт множитель $y'$.
3. Выразить $y'$ из линейного относительно него уравнения либо сразу применить формулу $y' = -F'_x / F'_y$, проверив, что $F'_y \neq 0$.
4. Для второй производной продифференцировать полученное равенство ещё раз, помня, что $y'$ тоже функция, и подставить уже найденное значение $y'$.
5. В задаче про кривую $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ в точке $M(4;\,2)$ получается $y' = -0{,}75$, $y'' = -\dfrac{25}{64} \approx -0{,}391$ и касательная $y = -0{,}75x + 5$.