Как найти экстремум функции двух переменных: по шагам

Дано: $z = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y$. Найти: все стационарные точки, тип каждой из них и значения функции в точках экстремума.

Схема решения не длиннее, чем для одной переменной: вместо одной производной берём пару частных, а вместо знака второй производной смотрим на определитель $AC - B^2$. Ответ: минимум $z(2;\,1) = -28$ и максимум $z(-2;\,-1) = 28$, а точки $(1;\,2)$ и $(-1;\,-2)$ стационарны, но экстремума не дают, это сёдла. Калькулятор сверху пересчитывает всю четвёрку точек под любые коэффициенты и рисует сечения поверхности через выбранную точку.

Решение по шагам

Дано. Функция $z = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y$ определена на всей плоскости, разрывов и точек излома у многочлена нет. Найти: точки экстремума и значения функции в них.

Шаг 1. Частные производные первого порядка. Дифференцируем по $x$, считая $y$ числом, а затем наоборот:

$$z'_x = 3x^2 + 3y^2 - 15, \qquad z'_y = 6xy - 12.$$

Если техника дифференцирования при фиксированной второй переменной пока не доведена до автоматизма, её подробный разбор лежит в задаче про частные производные. Здесь она нужна только как инструмент, поэтому идём дальше.

Шаг 2. Стационарные точки. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума обе первые производные обращаются в нуль, то есть градиент равен нулевому вектору. Приравниваем и сокращаем на общие множители:

$$\begin{cases} 3x^2 + 3y^2 - 15 = 0, \\ 6xy - 12 = 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2. \end{cases}$$

Такую систему быстрее решать не подстановкой, а через сумму и разность неизвестных: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 5 + 4 = 9$, а $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 5 - 4 = 1$. Значит, $x + y = \pm 3$ и $x - y = \pm 1$, и четыре комбинации знаков дают четыре стационарные точки:

$$M_1(2;\,1), \qquad M_2(1;\,2), \qquad M_3(-1;\,-2), \qquad M_4(-2;\,-1).$$

Все четыре обязаны попасть в ответ: система нелинейная, и терять корни, оставляя только положительные, здесь нельзя.

Шаг 3. Вторые производные. Дифференцируем первые производные ещё раз и обозначаем результаты буквами, которые входят в достаточное условие:

$$A = z''_{xx} = 6x, \qquad B = z''_{xy} = 6y, \qquad C = z''_{yy} = 6x.$$

Обрати внимание: $B$ берётся один раз, хотя смешанных производных формально две. По теореме Шварца они совпадают, поэтому в признаке фигурирует одно число.

Шаг 4. Определитель в каждой точке. Считаем $D = AC - B^2 = 36x^2 - 36y^2$ и смотрим на знак $A$. Правило простое: при $D > 0$ экстремум есть, и его тип задаёт знак $A$; при $D < 0$ экстремума нет.

Шаг 5. Значения функции. Подставляем координаты в исходную формулу. Для минимума получаем $z(2;\,1) = 8 + 6 - 30 - 12 = -28$, для максимума $z(-2;\,-1) = -8 - 6 + 30 + 12 = 28$. Симметрия ответа не случайна: функция нечётна относительно замены $(x;\,y)$ на $(-x;\,-y)$, поэтому точки идут парами с противоположными значениями.

Ответ: минимум $z_{\min} = z(2;\,1) = -28$, максимум $z_{\max} = z(-2;\,-1) = 28$; в точках $(1;\,2)$ и $(-1;\,-2)$ экстремума нет, это седловые точки.

Достаточное условие: откуда берётся определитель

Признак вырастает из второго дифференциала. Около стационарной точки приращение функции с точностью до малых высшего порядка равно половине квадратичной формы от смещений $dx$ и $dy$:

$$\Delta z \approx \tfrac{1}{2}\left(A\,dx^2 + 2B\,dx\,dy + C\,dy^2\right).$$

Первые производные из разложения выпали именно потому, что точка стационарная. Значит, вопрос об экстремуме сводится к вопросу о знаке квадратичной формы: если она положительна при любых ненулевых смещениях, точка даёт минимум, если отрицательна, то максимум, а если принимает оба знака, экстремума нет.

Знакоопределённость формы двух переменных решается критерием Сильвестра для матрицы вторых производных, то есть для матрицы Гессе. Её угловые миноры равны $A$ и $AC - B^2$: форма положительно определена ровно тогда, когда оба положительны, и отрицательно определена, когда они чередуют знак. Отсюда и берётся рабочее правило, где определитель отвечает за факт экстремума, а знак $A$ только уточняет его тип.

Отрицательный определитель означает, что форма знакопеременна: в одном направлении поверхность поднимается, в другом опускается. Именно такую картину и называют седлом, и по смыслу это прямой аналог точки перегиба с горизонтальной касательной у функции одной переменной, где производная обнулилась, а экстремума не вышло.

Когда признак не работает

Случай $D = 0$ ничего не решает: достаточное условие в нём просто молчит. Пример на минимум и пример без экстремума выглядят в этой ситуации одинаково. У функции $z = x^4 + y^4$ в начале координат все вторые производные равны нулю, но минимум очевиден, ведь любое смещение увеличивает значение. У функции $z = x^3 + y^3$ в той же точке определитель тоже нулевой, а экстремума нет: вдоль прямой $y = x$ значение меняет знак вместе с $x$.

Разбираются такие точки вручную, без готовой формулы: оценивают знак приращения напрямую, переходят к полярным координатам или ищут два направления с разным поведением. Найденное направление, вдоль которого функция ведёт себя не так, как в остальных, сразу закрывает вопрос об экстремуме отрицательно.

Вторая ситуация, где признак неприменим, это точки, в которых частных производных не существует. Классический пример, конус $z = \sqrt{x^2 + y^2}$: минимум в вершине есть и виден невооружённым глазом, а производные там не определены, и никакая система приравниваний вершину не найдёт. Такие точки ищут отдельно, по области определения.

Проверка ответа сечениями

Самая честная проверка занимает минуту: зафиксируй одну переменную и посмотри на обычную функцию одной переменной. Через минимум $M_1(2;\,1)$ проходят две параболообразные кривые, обе с минимумом в нуле смещения, что подтверждает ответ.

А вот через седло $M_2(1;\,2)$ проходят кривые, которые сбивают с толку. Вдоль оси $x$ вторая производная равна $A = 6 > 0$, вдоль оси $y$ она равна $C = 6 > 0$, то есть оба осевых сечения показывают минимум. При этом точка седловая: убывание прячется в диагональном направлении. Смести точку по вектору $(1;\,-1)$ на половину шага и получишь $z(1{,}5;\,1{,}5) = -27$ против $z(1;\,2) = -26$, а сдвиг в противоположную сторону даёт $z(0{,}5;\,2{,}5) = -28$. Значение падает в обе стороны, значит, минимума в точке нет.

Именно эту картину и рисует калькулятор сверху: синяя и оранжевая кривые отвечают за осевые сечения, пунктирная зелёная за главное направление матрицы Гессе. Проверять по двум осевым сечениям недостаточно, и определитель $AC - B^2$ как раз учитывает все направления сразу за счёт слагаемого с $B$.

Если связь между переменными задана не явной формулой, а уравнением F(x, y) = 0, сначала находят производную неявной функции, и только потом переходят к условию экстремума.

Частые ошибки

• Смотрят только на знак $A$. Без определителя знак второй производной по $x$ не значит ничего: в точке $M_2$ он положителен, а экстремума нет.
• Считают точку экстремумом, потому что по $x$ и по $y$ получился минимум. Осевые сечения проверяют лишь два направления из бесконечности, седло между ними легко проскакивает.
• Теряют корни системы. Из $(x - y)^2 = 1$ следует два значения разности, а не одно; отбросив знак минус, вы лишитесь половины ответа.
• Путают $B = z''_{xy}$ с произведением первых производных. Смешанная производная получается повторным дифференцированием, а не перемножением $z'_x$ и $z'_y$.
• Применяют признак в нестационарной точке. Определитель считается где угодно, но вывод об экстремуме верен только там, где обе первые производные равны нулю.
• При $D = 0$ пишут, что экстремума нет. Нулевой определитель не отрицает экстремум, а лишь означает, что этот признак его не различает.

FAQ

Чем стационарная точка отличается от критической? Стационарная точка это точка, где обе частные производные существуют и равны нулю. Критическими называют все подозрительные точки, включая те, где производных нет вовсе, как вершина конуса. Признак с определителем работает только со стационарными.

Как найти наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области? Это другая задача. Нужно сравнить значения во внутренних стационарных точках со значениями на границе, а границу параметризовать и исследовать как функцию одной переменной. Локальный максимум внутри может оказаться меньше значения в углу области.

А если переменных три и больше? Схема сохраняется, только вместо двух чисел проверяют цепочку угловых миноров матрицы Гессе по критерию Сильвестра: все миноры положительны это минимум, знаки чередуются начиная с минуса это максимум.

Что делать, если на переменные наложено уравнение связи? Тогда речь про условный экстремум, и обнулять частные производные исходной функции бессмысленно. Работает метод множителей Лагранжа с окаймлённым определителем вместо обычного.

Коротко

1. Найди частные производные первого порядка и реши систему $z'_x = 0$, $z'_y = 0$: её решения и есть стационарные точки, кандидаты в экстремумы.
2. Посчитай вторые производные $A = z''_{xx}$, $B = z''_{xy}$, $C = z''_{yy}$ и подставь в них координаты каждой точки по отдельности.
3. Вычисли $D = AC - B^2$. При $D > 0$ экстремум есть, и его тип задаёт знак $A$: плюс это минимум, минус это максимум. При $D < 0$ точка седловая, при $D = 0$ признак не работает.
4. Подставь координаты точек экстремума в исходную функцию, чтобы получить сами экстремальные значения.
5. В разобранном примере $z = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y$ четыре стационарные точки, из них минимум $z(2;\,1) = -28$ и максимум $z(-2;\,-1) = 28$, а $(1;\,2)$ и $(-1;\,-2)$ седловые.