Как найти градиент функции: пример с решением

Дано: $z = x^2y - 3xy^2 + 5y$, точка $M(2;\,1)$, направление задано вектором $\vec{a} = (3;\,-4)$. Найти: градиент в точке, производную по направлению и наибольшую скорость роста.

Градиент собирают из частных производных: считают $\partial z/\partial x$ и $\partial z/\partial y$, подставляют координаты точки и записывают результат вектором. Ответ: $\nabla z(M) = (1;\,-3)$, наибольшая скорость роста $|\nabla z(M)| = \sqrt{10} \approx 3{,}16$, производная по направлению $\vec{a}$ равна ровно $3$. Калькулятор сверху повторяет тот же расчёт для другой функции, точки и направления и показывает, как быстро падает скорость роста при повороте направления.

Решение по шагам

Дано. Функция $z = x^2y - 3xy^2 + 5y$, точка $M(2;\,1)$, вектор направления $\vec{a} = (3;\,-4)$. Найти: $\nabla z(M)$, модуль градиента и производную по направлению.

Шаг 1. Частная производная по $x$. Переменную $y$ на этом шаге считаем обычным числом. Слагаемое $5y$ от $x$ не зависит и даёт ноль, множители с $y$ просто переезжают в ответ:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy - 3y^2.$$

Шаг 2. Частная производная по $y$. Теперь замораживаем $x$ и дифференцируем по $y$. В слагаемом $-3xy^2$ выходит множитель $-6xy$, а $x^2y$ даёт просто $x^2$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - 6xy + 5.$$

Никаких новых приёмов дифференцирования здесь нет - работают те же правила, что и для функции одной переменной. Если внутри стоит композиция, применяется цепное правило в обычном виде.

Шаг 3. Градиент в точке. Подставляем координаты $x = 2$ и $y = 1$ в обе производные:

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_M &= 2 \cdot 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1^2 = 4 - 3 = 1, \\ \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_M &= 2^2 - 6 \cdot 2 \cdot 1 + 5 = 4 - 12 + 5 = -3. \end{aligned}$$

Полученную пару чисел записываем вектором: $\nabla z(M) = (1;\,-3)$, или в базисной форме $\nabla z(M) = \vec{i} - 3\vec{j}$.

Шаг 4. Модуль градиента. Длина этого вектора и есть наибольшая скорость роста функции в точке:

$$|\nabla z(M)| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}162.$$

Шаг 5. Орт направления. Вектор $\vec{a} = (3;\,-4)$ единичным не является, поэтому его нужно нормировать - иначе ответ вырастет во столько раз, во сколько длина вектора отличается от единицы:

$$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5, \qquad \vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{3}{5};\,-\frac{4}{5}\right) = (0{,}6;\,-0{,}8).$$

Шаг 6. Производная по направлению. Берём скалярное произведение градиента на орт:

$$\frac{\partial z}{\partial \vec{a}}\bigg|_M = \nabla z(M) \cdot \vec{e} = 1 \cdot 0{,}6 + (-3) \cdot (-0{,}8) = 0{,}6 + 2{,}4 = 3.$$

Шаг 7. Проверка через угол. Производная по направлению не может превышать модуль градиента, и это удобный способ поймать арифметическую ошибку:

$$\cos\varphi = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0{,}949, \qquad \varphi \approx 18{,}4^\circ.$$

Угол между $\vec{a}$ и градиентом мал, поэтому вдоль $\vec{a}$ функция растёт почти так же быстро, как в самом выгодном направлении: 3 против 3,162, то есть 94,9 % от максимума. Если бы получилось число больше 3,162, в решении была бы ошибка.

Ответ. $\nabla z(M) = (1;\,-3)$; наибольшая скорость роста равна $|\nabla z(M)| = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ и достигается вдоль самого градиента; производная по направлению $\vec{a} = (3;\,-4)$ равна $3$.

Формула градиента и откуда она берётся

Градиентом функции $z = f(x;\,y)$ в точке называют вектор, составленный из её частных производных, вычисленных в этой точке:

$$\nabla f = \operatorname{grad} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x};\, \frac{\partial f}{\partial y}\right).$$

Обозначения $\nabla f$ и $\operatorname{grad} f$ равноправны, значок $\nabla$ читается «набла». Важно, что градиент - именно вектор: у него есть и длина, и направление, и оба несут смысл. Длина отвечает на вопрос «насколько быстро», направление - на вопрос «куда».

Формула производной по направлению выводится из полного дифференциала. Приращение дифференцируемой функции раскладывается на линейную часть и добавку, малую по сравнению с расстоянием $\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$:

$$\Delta f = \frac{\partial f}{\partial x}\,\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\,\Delta y + o(\rho).$$

Сдвинемся из точки на расстояние $t$ вдоль единичного вектора $\vec{e} = (\cos\alpha;\,\sin\alpha)$. Тогда $\Delta x = t\cos\alpha$ и $\Delta y = t\sin\alpha$; поделим приращение на $t$ и устремим $t$ к нулю:

$$\frac{\partial f}{\partial \vec{e}} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\alpha = \nabla f \cdot \vec{e}.$$

Отсюда и главный факт: производная по направлению есть скалярное произведение градиента на орт направления. Сама линейная часть приращения - это дифференциал функции, разобранный отдельно; здесь он понадобился только как отправная точка вывода.

Производная по направлению и наибольшая скорость роста

Распишем то же скалярное произведение через угол $\varphi$ между градиентом и направлением. Орт имеет единичную длину, поэтому она из формулы исчезает:

$$\frac{\partial f}{\partial \vec{e}} = |\nabla f| \cdot |\vec{e}| \cdot \cos\varphi = |\nabla f|\cos\varphi.$$

Дальше всё решает косинус. Он меняется от $-1$ до $1$, значит, производная по направлению зажата между $-|\nabla f|$ и $+|\nabla f|$, а её максимум достигается при $\varphi = 0$, то есть ровно вдоль градиента. Это и есть ответ на вопрос о наибольшей скорости роста: она равна модулю градиента, и никакое направление обогнать градиент не может.

Для нашей задачи с $|\nabla z(M)| = \sqrt{10} \approx 3{,}162$ картина по углам выглядит так.

Ровно эту зависимость и рисует калькулятор сверху: график производной по направлению от угла - чистая косинусоида с амплитудой $|\nabla f|$. Строка $\varphi = 90^\circ$ содержит важное геометрическое следствие: в направлениях, перпендикулярных градиенту, функция мгновенно не меняется. А это и есть касательная к линии уровня $f(x;\,y) = \text{const}$, проходящей через точку. Значит, градиент всегда перпендикулярен линии уровня и указывает в сторону соседней линии с большим значением.

Из формулы видно и то, что случается в точках, где градиент нулевой. Там производная по любому направлению равна нулю, выделенного направления роста нет - это стационарная точка, кандидат в максимум, минимум или седло. Проверка таких точек по второму дифференциалу разобрана в задаче про исследование функции на экстремум, а если на переменные наложена связь, работают множители Лагранжа, где условие экстремума - коллинеарность двух градиентов.

Градиент функции трёх переменных

Определение переносится дословно, просто координат становится три:

$$\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x};\, \frac{\partial u}{\partial y};\, \frac{\partial u}{\partial z}\right).$$

Возьмём $u = 2xz + 2yz - xy$ в точке $M(1;\,2;\,2)$. Каждую производную берём, замораживая две оставшиеся переменные:

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= 2z - y = 4 - 2 = 2, \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= 2z - x = 4 - 1 = 3, \\ \frac{\partial u}{\partial z} &= 2x + 2y = 2 + 4 = 6. \end{aligned}$$

Градиент равен $\nabla u(M) = (2;\,3;\,6)$, а наибольшая скорость роста - его модуль: $|\nabla u(M)| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$. Производная по направлению считается той же формулой. Для вектора $\vec{a} = (1;\,2;\,2)$ длиной 3 орт равен $\left(\tfrac{1}{3};\,\tfrac{2}{3};\,\tfrac{2}{3}\right)$, поэтому

$$\frac{\partial u}{\partial \vec{a}}\bigg|_M = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 2}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}667.$$

Геометрия тоже переносится: у функции трёх переменных градиент перпендикулярен поверхности уровня $u = \text{const}$, поэтому его удобно брать как вектор нормали к этой поверхности. Физика пользуется этим постоянно - например, напряжённость электрического поля равна взятому со знаком минус градиенту потенциала, то есть поле направлено туда, куда потенциал падает быстрее всего. На том же свойстве держится оптимизация: шаг делают против градиента, как в стохастическом градиентном спуске.

Частые ошибки

• Забывают нормировать вектор направления. Самая частая ошибка в этой задаче: считают $\nabla z \cdot \vec{a} = 1 \cdot 3 + (-3) \cdot (-4) = 15$ вместо 3. Ответ завышен ровно в $|\vec{a}| = 5$ раз. Делить на длину обязательно.
• Записывают градиент числом. Градиент - вектор, ответ вида «градиент равен $\sqrt{10}$» подменяет его модулем. Модуль отвечает на вопрос о скорости роста, но не о направлении.
• Подставляют координаты точки до дифференцирования. Если сначала вычислить $z(2;\,1) = 3$, дифференцировать станет нечего. Сначала производные как функции, затем подстановка $M$.
• При производной по $y$ продолжают дифференцировать и по $x$. В слагаемом $x^2y$ по $y$ получается $x^2$, а не $2xy$: множитель $x^2$ на этом шаге - константа.
• Путают наибольшую скорость роста с производной по заданному направлению. В задаче это разные числа: 3,162 и 3. Модуль градиента - максимум по всем направлениям сразу.
• Теряют знак. Производная по направлению бывает отрицательной: если угол с градиентом тупой, функция вдоль этого направления убывает, и минус в ответе не ошибка.

FAQ

Чем градиент отличается от производной по направлению? Градиент - вектор, он один на точку и не зависит от того, куда вы собрались двигаться. Производная по направлению - число, своё для каждого направления, и получается проецированием градиента на это направление. Связь между ними: $\partial f/\partial \vec{e} = |\nabla f|\cos\varphi$.

Почему градиент указывает направление наибольшего роста? Потому что производная по направлению равна $|\nabla f|\cos\varphi$, а косинус достигает максимума при $\varphi = 0$. Никакой другой геометрии для этого вывода не нужно: направление, совпадающее с градиентом, обнуляет угол и обращает косинус в единицу.

Обязательно ли приводить вектор направления к единичной длине? Да. Производная по направлению описывает скорость изменения на единицу пройденного пути, поэтому в формуле стоит именно орт. Если направление задано углом $\alpha$ с осью $Ox$, орт получается сразу: $\vec{e} = (\cos\alpha;\,\sin\alpha)$, нормировать уже нечего.

Что означает нулевой градиент в точке? Что обе частные производные обратились в нуль и функция в первом приближении не меняется ни в одну сторону. Такая точка называется стационарной и может оказаться максимумом, минимумом или седлом - для ответа нужен анализ второго порядка.

Коротко

1. Градиент - вектор из частных производных: $\nabla f = (\partial f/\partial x;\, \partial f/\partial y)$; сначала производные в общем виде, потом подстановка точки.
2. Для $z = x^2y - 3xy^2 + 5y$ производные равны $2xy - 3y^2$ и $x^2 - 6xy + 5$, поэтому $\nabla z(2;\,1) = (1;\,-3)$.
3. Наибольшая скорость роста равна модулю градиента: $|\nabla z(M)| = \sqrt{10} \approx 3{,}16$, и достигается она вдоль самого градиента.
4. Производная по направлению - скалярное произведение градиента на орт: вектор $\vec{a} = (3;\,-4)$ длиной 5 даёт орт $(0{,}6;\,-0{,}8)$ и ответ $\partial z/\partial \vec{a} = 3$.
5. Проверка ответа: производная по любому направлению не превышает модуль градиента по абсолютной величине, а перпендикулярно градиенту она равна нулю, потому что там проходит линия уровня.