Как найти частные производные функции: решение по шагам

Дано: $z = x^3y^2 - 5x^2y + 4y^3$, точка $M(2;\,1)$, приращения $dx = 0{,}1$ и $dy = 0{,}2$. Найти: частные производные первого и второго порядка в точке, проверить равенство смешанных, вычислить полный дифференциал.

Приём здесь ровно один: вторую переменную временно считают числом и дифференцируют по первой как функцию одной переменной. Ответ: $z'_x(M) = -8$, $z'_y(M) = 8$, $z''_{xx}(M) = 2$, $z''_{yy}(M) = 40$, обе смешанные равны $4$, а полный дифференциал $dz = 0{,}8$. Калькулятор сверху пересчитывает всё это для другой функции и точки и заодно рисует два сечения поверхности: наклон каждой кривой и есть соответствующая частная производная.

Решение по шагам

Дано. Функция $z = x^3y^2 - 5x^2y + 4y^3$, точка $M(2;\,1)$, приращения $dx = 0{,}1$, $dy = 0{,}2$. Найти: $z'_x$, $z'_y$, все производные второго порядка и $dz$.

Шаг 1. Производная по $x$. Считаем $y$ обычным числом. В слагаемом $x^3y^2$ множитель $y^2$ переезжает в ответ без изменений, а $x^3$ даёт $3x^2$; в $-5x^2y$ работает только $x^2$; слагаемое $4y^3$ от $x$ не зависит и обращается в нуль:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2 - 10xy.$$

Шаг 2. Производная по $y$. Теперь замораживаем $x$. Из $x^3y^2$ выходит $2x^3y$, из $-5x^2y$ остаётся $-5x^2$ (множитель $x^2$ на этом шаге константа, но она не обнуляется, потому что стоит при $y$), из $4y^3$ получается $12y^2$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3y - 5x^2 + 12y^2.$$

Шаг 3. Значения в точке $M$. Подставляем $x = 2$ и $y = 1$ в обе формулы:

$$z'_x(M) = 3 \cdot 4 \cdot 1 - 10 \cdot 2 \cdot 1 = -8, \qquad z'_y(M) = 2 \cdot 8 \cdot 1 - 5 \cdot 4 + 12 \cdot 1 = 8.$$

Пара этих чисел, записанная вектором, называется градиентом; как её использовать для поиска скорости роста в заданном направлении, разобрано в задаче о градиенте функции. Здесь мы идём дальше и берём производные ещё раз.

Шаг 4. Чистые производные второго порядка. Дифференцируем $z'_x$ снова по $x$, а $z'_y$ снова по $y$:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6xy^2 - 10y = 2, \qquad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2x^3 + 24y = 40.$$

Шаг 5. Смешанные производные двумя путями. Первый путь: берём $z'_x = 3x^2y^2 - 10xy$ и дифференцируем по $y$. Второй: берём $z'_y = 2x^3y - 5x^2 + 12y^2$ и дифференцируем по $x$:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 6x^2y - 10x, \qquad \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 6x^2y - 10x.$$

Выражения совпали, в точке обе дают $6 \cdot 4 \cdot 1 - 10 \cdot 2 = 4$. Это не совпадение, а теорема Шварца, о ней ниже.

Шаг 6. Полный дифференциал. Складываем произведения первых производных на приращения аргументов:

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = -8 \cdot 0{,}1 + 8 \cdot 0{,}2 = 0{,}8.$$

Ответ: $z'_x = 3x^2y^2 - 10xy$ и $z'_y = 2x^3y - 5x^2 + 12y^2$; в точке $M(2;\,1)$ они равны $-8$ и $8$. Производные второго порядка: $z''_{xx} = 2$, $z''_{yy} = 40$, смешанные $z''_{xy} = z''_{yx} = 4$. Полный дифференциал $dz = 0{,}8$.

Что такое частная производная и откуда берётся правило

Определение повторяет обычную производную, только приращение даётся одной переменной:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x,\, y) - f(x,\, y)}{\Delta x}.$$

Во всём выражении $y$ не меняется, поэтому предел устроен точно так же, как у функции одного аргумента. Отсюда и рабочее правило: никакой новой техники дифференцирования не нужно, годятся все привычные формулы и правила, включая цепное правило для композиций.

Геометрия здесь наглядная. Уравнение $y = y_0$ вырезает из поверхности $z = f(x,\,y)$ плоскую кривую, и $\partial z/\partial x$ в точке равна тангенсу угла наклона касательной к этой кривой. Ровно эти два сечения нарисованы в калькуляторе сверху: синяя кривая отвечает движению вдоль оси $Ox$, зелёная - вдоль $Oy$, а пунктирные прямые с наклонами $-8$ и $8$ и есть касательные.

Обозначения равноправны и путать их не надо: $\partial z/\partial x$, $z'_x$ и $f_x(x,\,y)$ означают одно и то же. Круглая буква $\partial$ подчёркивает, что переменных несколько и производная взята только по одной из них.

Смешанные производные и теорема Шварца

У функции двух переменных производных второго порядка четыре: $z''_{xx}$, $z''_{xy}$, $z''_{yx}$ и $z''_{yy}$. Две средние называются смешанными и отличаются порядком дифференцирования: сначала по $x$ и потом по $y$ либо наоборот. В нашей задаче обе дали $6x^2y - 10x$, и это типичная картина.

Причину объясняет теорема Шварца (её же называют теоремой Клеро): если обе смешанные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в ней, то они равны. Многочлены, дроби вне нулей знаменателя, экспоненты, синусы и логарифмы этому условию удовлетворяют, поэтому в учебных задачах порядок дифференцирования не важен. Практический вывод: считать достаточно одну смешанную, вторая нужна только для проверки, а на контрольной её просят именно как проверку.

Условие непрерывности выкинуть нельзя. Классический контрпример - функция $f(x,\,y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$, доопределённая нулём в начале координат. Прямой счёт по определению даёт в нуле $f_x(0,\,y) = -y$ и $f_y(x,\,0) = x$, поэтому смешанная производная в порядке «сначала $x$, потом $y$» равна $-1$, а в обратном порядке $+1$. Смешанные производные там разрывны, и равенство ломается.

Полный дифференциал и точность приближения

Полный дифференциал - это главная линейная часть приращения функции: $dz = z'_x\,dx + z'_y\,dy$. Для одной переменной такая же конструкция разобрана в задаче про дифференциал функции, здесь к ней просто добавляется второе слагаемое.

Посмотрим, насколько хорошо линейная часть описывает реальное изменение. Точное приращение при $dx = 0{,}1$ и $dy = 0{,}2$ равно $\Delta z = z(2{,}1;\,1{,}2) - z(2;\,1) = -6{,}21216 + 8 = 1{,}78784$, тогда как $dz = 0{,}8$. Расхождение большое, и виноваты не ошибки счёта, а размер шага: приращение $0{,}2$ для этой функции уже не малое.

Разницу закрывают как раз производные второго порядка - они дают следующий член формулы Тейлора:

$$\Delta z \approx dz + \frac{1}{2}\left(z''_{xx}\,dx^2 + 2z''_{xy}\,dx\,dy + z''_{yy}\,dy^2\right).$$

Подставим найденные числа: $\tfrac{1}{2}(2 \cdot 0{,}01 + 2 \cdot 4 \cdot 0{,}02 + 40 \cdot 0{,}04) = 0{,}89$. Вместе с линейной частью получается $1{,}69$ против точного $1{,}78784$ - вместо промаха в $1$ остаётся $0{,}1$. Так что вторые производные не формальность из задания, а мера кривизны поверхности.

Зачем нужны вторые производные: матрица Гессе

Собранные вместе, производные второго порядка образуют матрицу Гессе, а её определитель $D = z''_{xx} \cdot z''_{yy} - (z''_{xy})^2$ решает вопрос об экстремуме функции двух переменных. Схема такая: сначала ищут стационарные точки, где обе первые производные равны нулю, а затем в каждой считают $D$ и знак $A = z''_{xx}$.

В нашей задаче $D = 2 \cdot 40 - 4^2 = 64$, но точка $M(2;\,1)$ не стационарная: первые производные равны $-8$ и $8$, а не нулю, поэтому признак к ней неприменим. Чтобы увидеть его в работе, переключи в калькуляторе чип на $x^3 + y^3 - 3xy$ и поставь точку $(1;\,1)$: обе первые производные обнулятся, $D = 27 > 0$ при $A = 6 > 0$, и это минимум. Логика та же, что при исследовании функции одной переменной на экстремум, только вторую производную заменяет определитель. Если на переменные наложена связь, работает метод множителей Лагранжа.

Частые ошибки

• Дифференцируют сразу по обеим переменным. В слагаемом $x^3y^2$ по $x$ выходит $3x^2y^2$, а не $3x^2 \cdot 2y$. Вторая переменная на этом шаге не трогается вообще.
• Обнуляют слагаемое, где вторая переменная стоит множителем. Производная $-5x^2y$ по $y$ равна $-5x^2$, а не нулю: константой здесь является только $-5x^2$, а сам множитель $y$ дифференцируется.
• Подставляют координаты точки до дифференцирования. Если сразу вычислить $z(2;\,1) = -8$, дифференцировать станет нечего. Сначала производные как функции, потом подстановка.
• Читают $\partial^2 z/\partial x \partial y$ как произведение первых производных. Это последовательное дифференцирование: сначала одна переменная, затем другая. Произведение $z'_x \cdot z'_y$ в точке дало бы $-64$ вместо $4$.
• Теряют $dx$ и $dy$ в полном дифференциале. Запись $dz = z'_x + z'_y$ бессмысленна: без приращений это не дифференциал, а сумма наклонов.
• Применяют признак $D = AC - B^2$ в нестационарной точке. Определитель считается в любой точке, но вывод об экстремуме верен только там, где обе первые производные равны нулю.

FAQ

Чем $\partial$ отличается от $d$? Круглая $\partial$ пишется, когда переменных несколько и дифференцирование идёт по одной из них при фиксированных остальных. Прямая $d$ остаётся у функций одной переменной и у полного дифференциала, который учитывает изменение всех аргументов сразу.

Нужно ли считать обе смешанные производные? Математически достаточно одной: для функций с непрерывными вторыми производными теорема Шварца гарантирует равенство. Но в задании обычно просят найти обе именно для проверки - совпадение результатов почти наверняка означает, что первые производные взяты без ошибок.

Как найти частные производные функции трёх переменных? Точно так же: фиксируются две переменные, дифференцирование идёт по третьей. Производных первого порядка станет три, второго - девять, но смешанных среди них по-прежнему поровну, и при непрерывности они попарно равны.

Что означает знак частной производной? Тот же, что у обычной производной, но вдоль своей оси. Отрицательное $z'_x(M) = -8$ говорит, что при движении в сторону роста $x$ и неизменном $y$ функция убывает; положительное $z'_y(M) = 8$ - что вдоль оси $Oy$ она растёт. Подробнее о производных высших порядков в одномерном случае - в разборе производных высших порядков.

Коротко

1. Частная производная берётся как обычная: вторую переменную фиксируют и дифференцируют по первой. Для $z = x^3y^2 - 5x^2y + 4y^3$ получаем $z'_x = 3x^2y^2 - 10xy$ и $z'_y = 2x^3y - 5x^2 + 12y^2$.
2. В точке $M(2;\,1)$ эти производные равны $-8$ и $8$; координаты подставляют только после дифференцирования.
3. Производных второго порядка четыре: $z''_{xx} = 2$, $z''_{yy} = 40$ и две смешанные, обе равные $4$.
4. Смешанные совпали по теореме Шварца - для непрерывных производных порядок дифференцирования не важен; вторая смешанная нужна как проверка.
5. Полный дифференциал равен $dz = z'_x\,dx + z'_y\,dy = 0{,}8$, а квадратичная поправка по вторым производным добавляет ещё $0{,}89$ и приближает результат к точному приращению $1{,}78784$.