Как найти производную сложной функции: цепное правило

Дано: $f(x) = \sin^3\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$. Найти: производную $f'(x)$ и её значение в точке $x_0 = 0$.

Функция составная: под кубом стоит синус, а под синусом - линейное выражение. Такие функции дифференцируют цепным правилом: производные слоёв не складывают, а перемножают, двигаясь снаружи внутрь. Ответ: $f'(x) = 6\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$, а в точке $x_0 = 0$ производная равна $\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}299$. Калькулятор сверху собирает композицию из трёх слоёв и показывает все множители по отдельности, ниже тот же расчёт разобран вручную.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = \sin^3\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$. Найти: $f'(x)$ и $f'(0)$.

Шаг 1. Разбираем композицию на слои. Запись $\sin^3 t$ означает $(\sin t)^3$: сначала берётся синус, и только потом результат возводится в куб. Значит, последнее действие - возведение в степень, и именно степень будет внешним слоем. Разбор удобно оформить таблицей, пронумеровав слои снаружи внутрь: в этом же порядке их придётся дифференцировать.

Собранная обратно цепочка обязана давать исходную функцию: $f(x) = g\big(v(u(x))\big)$. Это единственная надёжная проверка разбора - подставь слои друг в друга и сверь результат с условием.

Шаг 2. Дифференцируем каждый слой отдельно. Ключевой момент: каждый слой дифференцируется по своей собственной переменной, а не по $x$. Внешний слой производится по $v$, средний по $u$, и только внутренний по $x$:

$$\begin{aligned} g'(v) &= 3v^2, \\ v'(u) &= \cos u, \\ u'(x) &= 2. \end{aligned}$$

Шаг 3. Перемножаем производные слоёв. Цепное правило говорит, что производная композиции равна произведению производных всех слоёв, причём в каждую производную подставлен её собственный аргумент:

$$f'(x) = g'(v) \cdot v'(u) \cdot u'(x) = 3\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot 2.$$

Числовые коэффициенты 3 и 2 выносим вперёд и получаем компактный вид:

$$f'(x) = 6\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right).$$

Шаг 4. Считаем значение в точке. Подставляем $x_0 = 0$. Внутренний слой даёт $u = \frac{\pi}{6}$, дальше работают табличные значения $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$f'(0) = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}299.$$

Шаг 5. Проверяем ответ другим способом. Куб синуса раскладывается по формуле понижения степени $\sin^3 t = \frac{3\sin t - \sin 3t}{4}$. Тогда исходная функция превращается в разность двух синусов, и цепное правило нужно только для линейных подстановок:

$$f(x) = \frac{3\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{4}, \qquad f'(x) = \frac{6\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - 6\cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{4}.$$

В точке $x_0 = 0$ второй косинус обращается в ноль, потому что $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, и остаётся $\frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ - ровно то же число. Два независимых пути дали один ответ, значит, ошибки в выкладках нет.

Есть и вторая, совсем дешёвая проверка. В точке $x = \frac{\pi}{6}$ аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2}$, сам синус достигает максимума, а найденная производная обращается в ноль из-за множителя $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Максимум функции и нуль её производной обязаны совпадать, и они совпали.

Ответ. $f'(x) = 6\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$, значение в заданной точке $f'(0) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}299$.

Цепное правило: откуда берётся произведение

Пусть $y = g(u)$, а сам аргумент зависит от $x$, то есть $u = u(x)$. Дадим $x$ приращение $\Delta x$: за ним изменится внутренняя переменная на $\Delta u$, а следом и сама функция на $\Delta y$. Отношение приращений можно домножить и разделить на $\Delta u$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}.$$

При $\Delta x \to 0$ непрерывная внутренняя функция даёт и $\Delta u \to 0$, поэтому первый множитель стремится к $g'(u)$, второй - к $u'(x)$. Отсюда и берётся формула, которую в обозначениях Лейбница запоминают почти как сокращение дробей:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}, \qquad \big(g(u(x))\big)' = g'(u) \cdot u'(x).$$

Смысл произведения проще всего понять через скорости. Если внутренняя величина меняется вдвое быстрее аргумента, а внешняя - втрое быстрее внутренней, то итоговая скорость выходит в шесть раз больше, а не в пять: вклады слоёв умножаются, а не складываются. Именно поэтому в ответе появился коэффициент $6 = 3 \cdot 2$.

Формула работает, когда внутренняя функция дифференцируема в точке $x$, а внешняя - в точке $u(x)$. На практике это условие нарушается редко и обычно там же, где у функции проблемы с областью определения: под корнем ноль, под логарифмом неположительное число.

Как определить слои: правило последнего действия

Надёжный способ разложить композицию - мысленно подставить в неё конкретное число и записать порядок действий калькулятора. Для $\sin^3\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ при $x = 1$ сначала считается $2 \cdot 1 + \frac{\pi}{6}$, потом от результата берётся синус, и только в конце происходит возведение в куб. Порядок вычисления снизу вверх и есть порядок слоёв, а дифференцирование идёт строго в обратном направлении: от последнего действия к первому.

Из этого правила сразу видно разницу между тремя похожими записями. В $\sin^3 x$ последнее действие - степень, в $\sin x^3$ последним берётся синус, а в $\sin 3x$ никакой степени нет вовсе и слоёв всего два. Три разные функции с тремя разными производными, и путаница между ними - источник большей части неверных ответов.

Слоёв может быть сколько угодно, правило распространяется на любую глубину вложенности: каждый новый слой просто добавляет ещё один множитель.

$$\big(g_1(g_2(\ldots g_m(x)))\big)' = g_1' \cdot g_2' \cdot \ldots \cdot g_m'.$$

Цепное правило почти никогда не бывает самоцелью: производную сначала находят, а потом с ней работают. Например, в разборе, как найти промежутки возрастания функции, производная нужна только ради знака - но получают её ровно этим правилом. Если внутри композиции стоит произведение или дробь, цепное правило комбинируется с правилами произведения и частного, а при повторном дифференцировании оно применяется заново на каждом шаге, что подробно разобрано в материале про производные высших порядков.

Четыре типовых случая

Разбор слоёв не зависит от того, какие именно функции стоят внутри. Ниже четыре композиции разной глубины с контрольными значениями - по ним удобно проверять себя.

Самый показательный здесь третий пример: в нём четыре слоя, и каждый честно даёт свой множитель.

$$\big(\ln\left(\cos^2 3x\right)\big)' = \frac{1}{\cos^2 3x} \cdot 2\cos 3x \cdot (-\sin 3x) \cdot 3 = -6\,\frac{\sin 3x}{\cos 3x} = -6\operatorname{tg} 3x.$$

Обрати внимание, как громоздкое выражение схлопывается после сокращения: длинная цепочка множителей почти всегда упрощается, и упрощать стоит только в самом конце, а не по дороге. Промежуточное «наведение красоты» - вторая по частоте причина потерянных множителей.

Первый пример показывает частный случай, который встречается чаще всех остальных: если внешний слой - степень, то производная равна $n$-й степени, уменьшенной на единицу, умноженной на производную внутренности. Для корня это даёт $\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, и подставлять сюда $u = x^2 + 9$, $u' = 2x$ проще, чем каждый раз выводить формулу заново.

Частые ошибки

• Потерян множитель внутреннего слоя. Самая массовая ошибка: пишут $(\sin 2x)' = \cos 2x$ вместо $2\cos 2x$. Линейная подстановка $kx + b$ всегда добавляет множитель $k$, и именно он теряется чаще всего, потому что выглядит незначительным.
• В производную внешнего слоя подставляют $x$ вместо внутренней функции. Получается $3\sin^2 x$ там, где должно быть $3\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$. Внешняя производная берётся по своему аргументу, а её аргумент - это весь внутренний слой целиком.
• Производные слоёв складывают. Композиция даёт произведение; сумма появляется при дифференцировании суммы функций, а не вложенности. Признак ошибки - исчезнувший коэффициент 6 в ответе.
• Путают $\sin^3 x$, $\sin x^3$ и $\sin 3x$. Это три разные функции с разным последним действием и, соответственно, с разным разбором на слои.
• Теряют знак на среднем слое. Производная косинуса равна $-\sin u$, и минус обязан дойти до итогового ответа, а не раствориться при перемножении трёх множителей.
• Останавливаются на двух слоях, когда их три. Если после дифференцирования степени и синуса забыть про внутреннее $2x + \frac{\pi}{6}$, ответ отличается от верного ровно вдвое, и такая ошибка не бросается в глаза.
• Применяют цепное правило к произведению. Выражение $x^2\sin x$ не композиция: здесь нужно правило произведения, а не цепное.

FAQ

Чем сложная функция отличается от произведения двух функций? В композиции одна функция стоит внутри другой и подставляется вместо её аргумента: $\sin(x^2)$. В произведении обе функции равноправны и просто перемножаются: $x^2 \cdot \sin x$. Первое дифференцируется цепным правилом, второе - правилом Лейбница, и путать их нельзя.

Сколько слоёв может быть в композиции? Сколько угодно. Правило распространяется на любую глубину: каждый слой добавляет ещё один множитель, а его производная берётся по своему аргументу. На практике в задачах встречается два-четыре слоя, глубже - редко.

Что означает запись $\sin^3 x$: куб синуса или синус куба? Куб синуса, то есть $(\sin x)^3$. Синус куба записывается как $\sin\left(x^3\right)$ или $\sin x^3$. Степень, приписанная к названию функции, всегда относится к её значению, а не к аргументу.

Как проверить найденную производную, если ответа под рукой нет? Тремя способами. Преобразовать функцию тождеством и продифференцировать иначе, как в шаге 5. Проверить особые точки: в максимуме и минимуме производная обязана обращаться в ноль. Наконец, сравнить с численной оценкой $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}$ при малом $h$ - калькулятор сверху считает производную именно аналитически, и совпадение с такой оценкой подтверждает выкладки.

Коротко

1. Определи последнее действие - это внешний слой; распиши композицию снаружи внутрь: $g(v) = v^3$, $v(u) = \sin u$, $u(x) = 2x + \frac{\pi}{6}$.
2. Продифференцируй каждый слой по его собственной переменной: $3v^2$, $\cos u$, $2$.
3. Перемножь производные слоёв, подставив в каждую её аргумент, и вынеси числовые коэффициенты вперёд: $f'(x) = 6\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$.
4. Подставь точку и досчитай по табличным значениям: $f'(0) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}299$.
5. Проверь ответ вторым способом или по особой точке: в $x = \frac{\pi}{6}$ функция максимальна, а производная равна нулю.