Как найти дифференциал функции: формула и пример

Дано: $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$, точка $x_0 = 2$, приращение аргумента $\Delta x = 0{,}1$. Найти: дифференциал в общем виде и его значение в точке, сравнить с точным приращением функции.

Дифференциал ищется по одной формуле: производную умножают на приращение аргумента, $df = f'(x)\,dx$. Ответ: $df = (3x^2 - 4x)\,dx$, в заданной точке $df = 0{,}4$, тогда как точное приращение $\Delta f = 0{,}441$. Разница $0{,}041$ и есть та малая величина, которой дифференциал пренебрегает. Калькулятор сверху пересчитывает обе величины для другой функции, точки и шага и показывает, как быстро тает остаток.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$, точка $x_0 = 2$, приращение аргумента $\Delta x = 0{,}1$. Найти: $df$ в общем виде и в точке, сравнить с $\Delta f$.

Шаг 1. Производная. Дифференцируем почленно по правилу $(x^n)' = n x^{n-1}$, производная константы равна нулю:

$$f'(x) = 3x^2 - 4x.$$

Функция здесь простая. Если под знаком дифференциала стоит композиция, производную сначала берут по цепному правилу, и только потом дописывают множитель $dx$: сама схема нахождения дифференциала от этого не меняется.

Шаг 2. Дифференциал в общем виде. Записываем определение и подставляем найденную производную:

$$df = f'(x)\,dx = (3x^2 - 4x)\,dx.$$

Это уже полноценный ответ на вопрос «найдите дифференциал функции»: в общем виде дифференциал записывают именно так, вместе с множителем $dx$. Без него получилась бы просто производная.

Шаг 3. Значение дифференциала в точке. Подставляем $x_0 = 2$ в производную, затем умножаем на заданный шаг:

$$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4, \qquad df = f'(2)\,\Delta x = 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4.$$

Шаг 4. Точное приращение функции. Чтобы было с чем сравнивать, считаем настоящее изменение функции на том же шаге:

$$\begin{aligned} f(2) &= 8 - 8 + 5 = 5, \\ f(2{,}1) &= 9{,}261 - 8{,}82 + 5 = 5{,}441, \\ \Delta f &= f(2{,}1) - f(2) = 0{,}441. \end{aligned}$$

Шаг 5. Сравнение. Дифференциал занижает приращение на

$$\Delta f - df = 0{,}441 - 0{,}4 = 0{,}041,$$

то есть на $0{,}041 / 0{,}441 \approx 9{,}3\%$ от приращения. Именно эта величина отбрасывается как бесконечно малая более высокого порядка.

Ответ. $df = (3x^2 - 4x)\,dx$; при $x_0 = 2$ и $\Delta x = 0{,}1$ дифференциал $df = 0{,}4$, точное приращение $\Delta f = 0{,}441$, отброшенный остаток $0{,}041$ (около $9{,}3\%$ приращения).

Формула $df = f'(x)\,dx$ и откуда она берётся

Функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, если её приращение раскладывается на линейную часть и добавку, малую по сравнению с шагом:

$$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \cdot \Delta x + o(\Delta x),$$

где число $A$ от шага не зависит, а $o(\Delta x)$ при $\Delta x \to 0$ стремится к нулю быстрее самого $\Delta x$. Разделив равенство на $\Delta x$ и перейдя к пределу, получаем $A = f'(x_0)$: коэффициент линейной части - это в точности производная.

Дифференциалом и называют эту линейную часть: $df = f'(x_0)\,\Delta x$. Ключевое слово - «линейная»: при фиксированной точке дифференциал пропорционален шагу, тогда как настоящее приращение зависит от шага сложнее.

Остаётся объяснить, почему в формуле пишут $dx$, а не $\Delta x$. Возьмём простейшую функцию $y = x$: её производная равна единице, поэтому $dy = 1 \cdot \Delta x = \Delta x$. У независимой переменной дифференциал совпадает с приращением, и обозначения сливаются. Отсюда же привычная запись Лейбница $f'(x) = \dfrac{df}{dx}$, в которой производная - настоящее отношение двух дифференциалов, а не просто значок.

Из этого следует то, что чаще всего теряют на экзамене: дифференциал зависит от двух вещей - от точки и от шага. Производная в точке $x_0 = 2$ равна 4 всегда, а дифференциал равен 0,4 при шаге 0,1 и 0,04 при шаге 0,01.

Геометрический смысл: приращение по касательной

Касательная к графику в точке $(x_0;\, f(x_0))$ имеет уравнение $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, её угловой коэффициент равен производной. Сдвинемся вдоль оси на $\Delta x$: ордината касательной изменится ровно на $f'(x_0)\,\Delta x$, то есть на дифференциал.

Получается наглядная пара. Приращение $\Delta f$ - это подъём по кривой, дифференциал $df$ - подъём по касательной за тот же шаг. Кривая и прямая выходят из одной точки, но дальше расходятся, и вертикальный зазор между ними - тот самый остаток $o(\Delta x)$.

В нашем примере касательная в точке $(2;\, 5)$ задаётся уравнением $y = 5 + 4(x - 2)$. При $x = 2{,}1$ она даёт $y = 5{,}4$, а кривая проходит через $5{,}441$: зазор 0,041 - это и есть разница между $\Delta f$ и $df$. Подробный разбор самой касательной и нормали к графику вынесен в отдельную статью, здесь она нужна только как геометрическая опора.

Отсюда же понятно, почему у выпуклой вверх функции дифференциал завышает приращение, а у выпуклой вниз занижает: касательная лежит соответственно выше или ниже графика. Знак остатка определяется второй производной, а не капризом задачи.

Как остаток зависит от шага

Посчитаем ту же пару величин для нескольких шагов - это стандартный подпункт задачи и то, что рисует калькулятор сверху.

Закономерность читается прямо по столбцам: при уменьшении шага вдвое дифференциал падает вдвое, а остаток - примерно вчетверо. Остаток ведёт себя как квадрат шага, поэтому его доля в приращении уменьшается линейно.

Это видно и из алгебры. Раскроем скобки в приращении кубического многочлена:

$$\Delta f = (3x_0^2 - 4x_0)\,\Delta x + (3x_0 - 2)\,\Delta x^2 + \Delta x^3.$$

Первое слагаемое и есть дифференциал, остальные образуют остаток. При $x_0 = 2$ главная часть остатка равна $4\,\Delta x^2$, что совпадает с $\tfrac{1}{2} f''(x_0)\,\Delta x^2$, поскольку $f''(x) = 6x - 4$ и $f''(2) = 8$. Вторая производная и управляет точностью: чем сильнее изогнут график, тем быстрее касательная отходит от кривой.

Дифференциал в приближённых вычислениях

Практическая ценность дифференциала в том, что из разложения $\Delta f \approx df$ сразу следует формула приближения:

$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x.$$

Для нашей функции она даёт $f(2{,}1) \approx 5 + 0{,}4 = 5{,}4$ против точного 5,441. Тот же приём переносится на оценку погрешностей: если аргумент измерен с ошибкой $\Delta x$, то ошибка результата оценивается как $|f'(x_0)|\,\Delta x$ - производная работает коэффициентом усиления. Разбор самих погрешностей есть в задаче про абсолютную погрешность, а набор стандартных приближений для корней, логарифмов и синусов собран в статье о приближённых вычислениях.

Полезно помнить и о продолжении темы. Дифференциал второго порядка равен $d^2 f = f''(x)\,dx^2$, и вместе с ним приближение становится точнее: добавка $\tfrac{1}{2} f''(x_0)\,\Delta x^2$ в нашем примере равна 0,04 и почти полностью закрывает остаток 0,041. Так дифференциалы выстраиваются в ряд Тейлора, где первый член и есть $df$.

Ещё одно свойство, которое спрашивают отдельно, - инвариантность формы первого дифференциала: запись $df = f'(u)\,du$ верна и когда $u$ - независимая переменная, и когда $u$ сама зависит от другой переменной. У второго дифференциала такого свойства уже нет.

Частые ошибки

• Путают $df$ и $\Delta f$. Дифференциал - линейная часть приращения, а не само приращение. В нашем примере 0,4 и 0,441 - разные числа, и в ответе нужно указывать именно то, что просят.
• Теряют множитель $dx$. Запись «$df = 3x^2 - 4x$» - это производная. Дифференциал в общем виде обязан содержать $dx$: $df = (3x^2 - 4x)\,dx$.
• Подставляют точку до дифференцирования. Если сначала вычислить $f(2) = 5$, а потом «продифференцировать», получится ноль. Сначала производная как функция, затем подстановка $x_0$.
• Забывают подставить $x_0$ в производную. Ответ вида $df = (3x^2 - 4x) \cdot 0{,}1$ не доведён до числа: в точке требуется конкретное значение 0,4.
• Ждут высокой точности при крупном шаге. При $\Delta x = 0{,}4$ остаток равен 0,704 - почти треть приращения. Формула приближения работает только при малых $\Delta x$.
• Роняют знак при отрицательном шаге. Приращение аргумента может быть отрицательным: при $\Delta x = -0{,}1$ дифференциал равен $-0{,}4$, и знак обязан сохраниться в ответе.

FAQ

Чем дифференциал отличается от производной? Производная - это число (или функция), предел отношения приращений, она зависит только от точки. Дифференциал - произведение производной на приращение аргумента, поэтому зависит ещё и от шага. В точке $x_0 = 2$ производная равна 4 всегда, а дифференциал равен 0,4 при $\Delta x = 0{,}1$ и 0,04 при $\Delta x = 0{,}01$.

Почему в формуле пишут $dx$, а не $\Delta x$? Потому что для функции $y = x$ дифференциал совпадает с приращением: $dy = 1 \cdot \Delta x = \Delta x$. У независимой переменной эти понятия неразличимы, поэтому обозначения объединили. Заодно это оправдывает запись производной в виде дроби $df/dx$.

Как найти дифференциал функции двух переменных? Через частные производные: $df = \dfrac{\partial f}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}\,dy$. Каждая частная производная берётся при фиксированной второй переменной, а смысл прежний - главная линейная часть полного приращения.

Может ли дифференциал равняться нулю? Да, если производная в точке обращается в нуль. У функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ это точки $x = 0$ и $x = 4/3$: там $df = 0$ при любом шаге, хотя функция меняется - всё приращение уходит в остаток. Такие точки разделяют промежутки возрастания и убывания.

Коротко

1. Дифференциал равен производной, умноженной на приращение аргумента: $df = f'(x)\,dx$. Ответ в общем виде обязан содержать множитель $dx$.
2. Чтобы найти дифференциал в точке, подставляют $x_0$ в производную и умножают результат на $\Delta x$.
3. Для $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ получаем $df = (3x^2 - 4x)\,dx$; при $x_0 = 2$ и $\Delta x = 0{,}1$ дифференциал равен 0,4.
4. Точное приращение $\Delta f = 0{,}441$, остаток 0,041 - около 9,3 % приращения; при уменьшении шага вдвое остаток падает примерно вчетверо.
5. Геометрически дифференциал - приращение ординаты касательной, а приращение функции - подъём по самой кривой; зазор между ними и есть отброшенная малая величина.