Как найти абсолютную погрешность: формула и пример

Дано: точное значение $x = 1/7 = 0{,}142857142857\ldots$, приближение $x^* = 0{,}143$. Найти: абсолютную и относительную погрешность и число верных значащих цифр.

Абсолютная погрешность - это модуль разности точного и приближённого значений, $\Delta = \lvert x - x^* \rvert$; относительная получается делением абсолютной на модуль приближения. Ответ: $\Delta \approx 1{,}43 \cdot 10^{-4}$, $\delta \approx 0{,}1\%$, все три значащие цифры приближения верны. Калькулятор сверху пересчитает эти величины для другого числа удержанных знаков и для усечения вместо округления, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $\Delta$, $\delta$ и число верных значащих цифр.

Шаг 1. Абсолютная погрешность по определению. Вычитаем приближение из точного значения и берём модуль:

$$\Delta = \lvert x - x^* \rvert = \lvert 0{,}142857142857\ldots - 0{,}143 \rvert = 0{,}000142857\ldots$$

В ответе погрешность оставляют с одной-двумя значащими цифрами и округляют только с избытком, чтобы гарантия не ослабла: $\Delta \approx 1{,}5 \cdot 10^{-4}$.

Шаг 2. Относительная погрешность. Делим абсолютную погрешность на модуль приближения:

$$\delta = \frac{\Delta}{\lvert x^* \rvert} = \frac{0{,}000142857}{0{,}143} = 0{,}000999 \approx 0{,}1\%.$$

Шаг 3. Число верных значащих цифр. У числа $0{,}143$ три значащие цифры: 1, 4 и 3 (ведущий ноль незначащий). Цифра считается верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы её разряда. Последняя цифра стоит в разряде $10^{-3}$, половина единицы этого разряда равна $0{,}0005$:

$$\Delta = 0{,}000143 \le 0{,}5 \cdot 10^{-3} = 0{,}0005.$$

Неравенство выполнено, значит верна последняя цифра, а вместе с ней и все старшие. Все три значащие цифры верны.

Шаг 4. Проверка через относительную погрешность. Для числа с $n$ верными значащими цифрами и первой значащей цифрой $a_1$ работает оценка

$$\delta \le \frac{1}{2 a_1} \cdot 10^{-(n-1)}.$$

При $a_1 = 1$ и $n = 3$ получаем $\delta \le 0{,}5 \cdot 10^{-2} = 0{,}5\%$. Найденные $0{,}1\%$ в границу укладываются - расчёт согласован.

Ответ. $\Delta \approx 1{,}43 \cdot 10^{-4}$ (в записи с избытком $0{,}00015$), $\delta \approx 0{,}1\%$, все три значащие цифры верны. Результат записывается как $x = 0{,}143 \pm 0{,}00015$, то есть $0{,}142857 \le x \le 0{,}143143$.

Формула и откуда она берётся

Пусть $x$ - точное значение величины, $x^*$ - приближение, которым его заменили. Абсолютная погрешность вводится как

$$\Delta(x^*) = \lvert x - x^* \rvert .$$

Модуль здесь принципиален: важна только величина промаха, а не то, завышено приближение или занижено. Разность без модуля называют ошибкой приближения, и она может быть отрицательной, а абсолютная погрешность - никогда.

У определения есть неудобство: точное значение $x$ почти всегда неизвестно, иначе приближение было бы не нужно. Поэтому на практике работают с предельной абсолютной погрешностью $\Delta_{x^*}$ - любым числом, про которое доказано, что

$$\lvert x - x^* \rvert \le \Delta_{x^*} \quad\Longleftrightarrow\quad x^* - \Delta_{x^*} \le x \le x^* + \Delta_{x^*}.$$

Отсюда привычная запись $x = x^* \pm \Delta_{x^*}$: она означает не «ошибка ровно такая», а «точное значение лежит в этом интервале». Из двух чисел, удовлетворяющих неравенству, берут меньшее - иначе оценка теряет смысл.

Рядом с абсолютной всегда идёт относительная погрешность $\delta = \Delta / \lvert x^* \rvert$, безразмерная и обычно записываемая в процентах. Абсолютная погрешность именованная и говорит, до какого разряда можно доверять записи; относительная сравнивает качество измерений разного масштаба. Ошибка в 1 см - это отлично для расстояния между городами и катастрофа для толщины подшипника.

Если точное значение неизвестно

В типовых задачах предельную погрешность не выдумывают, а берут из способа получения числа. Источников три.

Округление. Если приближение получено округлением до $d$ знаков после запятой, погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда: $\Delta \le 0{,}5 \cdot 10^{-d}$. Правило первой отброшенной цифры и пограничный случай «ровно половина» разобраны в статье про округление приближённых чисел.

Усечение. Если хвост просто отбросили без поправки, граница вдвое хуже: $\Delta \le 10^{-d}$. Переключи калькулятор сверху на усечение - видно, как столбик погрешности поднимается и последняя цифра перестаёт быть верной. Дополнительная неприятность в том, что ошибка усечения всегда одного знака и потому накапливается при суммировании, тогда как ошибки округления частично компенсируют друг друга.

Прибор и метод. Для измерения предельную погрешность дают половина цены деления шкалы или класс точности, а при численном счёте - оценка погрешности метода, например остаточный член формулы трапеций или отброшенный хвост ряда.

Погрешность результата вычислений

Когда приближённые числа подставляют в формулу, погрешность переносится на результат по правилам, которые полезно помнить наизусть.

Пример. Стороны прямоугольника измерены как $a = 4{,}52 \pm 0{,}01$ м и $b = 7{,}30 \pm 0{,}02$ м. Площадь $S = 4{,}52 \cdot 7{,}30 = 32{,}996$ м², а её абсолютная погрешность по правилу для произведения равна

$$\Delta_S = b \Delta_a + a \Delta_b = 7{,}30 \cdot 0{,}01 + 4{,}52 \cdot 0{,}02 = 0{,}073 + 0{,}0904 = 0{,}1634 \approx 0{,}2 .$$

Значит $S = 33{,}0 \pm 0{,}2$ м², и писать в ответе все пять цифр числа 32,996 бессмысленно. Отдельно стоит запомнить опасный случай: при вычитании близких чисел абсолютная погрешность остаётся прежней, а относительная резко растёт, потому что уменьшается сам результат. Это и есть потеря точности, из-за которой в вычислительных схемах избегают разностей почти равных величин. Если погрешности случайные и независимые, вместо простой суммы используют квадратичное сложение.

Частые ошибки

• Забывают модуль. Абсолютная погрешность неотрицательна по определению; ответ вида $\Delta = -0{,}00014$ означает, что модуль просто не поставили.
• Округляют погрешность в меньшую сторону. Погрешность округляют только с избытком: $0{,}000142857 \to 0{,}00015$, но никак не $0{,}00014$. Иначе гарантия перестаёт быть гарантией.
• Оставляют в погрешности лишние цифры. В ответ идут одна-две значащие цифры $\Delta$, и по её разряду округляется сам результат; порядок действий разобран в правилах округления результата.
• Путают абсолютную и относительную. $\delta = 0{,}1\%$ и $\delta = 0{,}1$ отличаются в тысячу раз, а $\Delta$ ещё и именована: у неё те же единицы, что у самой величины.
• Меняют правила местами. При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности, при умножении и делении - относительные. Обратная подстановка даёт бессмыслицу вроде процентов, сложенных с метрами.
• Считают верными все выписанные цифры. Цифра верна, только если $\Delta$ не больше половины единицы её разряда; при усечении последняя цифра этой проверки обычно не проходит.

FAQ

Чем абсолютная погрешность отличается от относительной? Абсолютная погрешность $\Delta = \lvert x - x^* \rvert$ измеряется в тех же единицах, что и сама величина, и показывает, до какого разряда можно доверять записи. Относительная $\delta = \Delta / \lvert x^* \rvert$ безразмерна, выражается в процентах и позволяет сравнить точность измерений разного масштаба.

Может ли абсолютная погрешность быть отрицательной? Нет. В определении стоит модуль, поэтому $\Delta \ge 0$. Отрицательной бывает ошибка приближения $x - x^*$: её знак говорит, завышено приближение или занижено, но в качестве погрешности используют именно модуль.

Как найти абсолютную погрешность, если точное значение неизвестно? Берут предельную погрешность из способа получения числа: половина единицы последнего разряда при округлении, целая единица при усечении, половина цены деления или класс точности для прибора, остаточный член для численного метода.

Почему в относительной погрешности делят на приближение, а не на точное значение? Потому что точное значение неизвестно. Для малых погрешностей обе дроби отличаются на величину второго порядка малости, поэтому деление на $\lvert x^* \rvert$ ничего не портит и всегда выполнимо.

Коротко

1. Абсолютная погрешность - модуль разности точного и приближённого значений: $\Delta = \lvert x - x^* \rvert$.
2. Если точное значение неизвестно, вместо $\Delta$ берут предельную погрешность $\Delta_{x^*}$ и записывают ответ как $x = x^* \pm \Delta_{x^*}$; при округлении до $d$ знаков она равна $0{,}5 \cdot 10^{-d}$, при усечении - $10^{-d}$.
3. Относительная погрешность - это $\delta = \Delta / \lvert x^* \rvert$, обычно в процентах; она безразмерна и сравнивает точность величин разного масштаба.
4. Цифра приближения верна, если $\Delta$ не превосходит половины единицы её разряда.
5. Для примера $x = 1/7$, $x^* = 0{,}143$: $\Delta \approx 1{,}43 \cdot 10^{-4}$, $\delta \approx 0{,}1\%$, все три значащие цифры верны, $x = 0{,}143 \pm 0{,}00015$.