Как вычислить конечные разности: таблица и пример

Дано: равноотстоящие узлы с шагом $h = 1$: $x = 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5$ и значения $y = 3;\ 10;\ 29;\ 66;\ 127$. Найти: таблицу конечных разностей, $y(1{,}5)$ по первой формуле Ньютона и $y(4{,}5)$ по второй.

Конечная разность - это просто разность соседних значений таблицы: $\Delta y_i = y_{i+1} - y_i$. Разности второго и более высоких порядков считаются по тому же правилу, но уже от предыдущего столбца, поэтому вся работа сводится к вычитанию «нижний минус верхний» сверху вниз. Ответ: третьи разности постоянны и равны 6, четвёртые равны нулю, отсюда $y(1{,}5) = 5{,}375$ и $y(4{,}5) = 93{,}125$. Калькулятор сверху пересчитает таблицу и оба многочлена под твои числа.

Решение по шагам

Шаг 1. Строим таблицу конечных разностей. Первый столбец разностей получается вычитанием соседних значений: $10 - 3 = 7$, $29 - 10 = 19$, $66 - 29 = 37$, $127 - 66 = 61$. Второй столбец - то же самое, но уже от первого: $19 - 7 = 12$, $37 - 19 = 18$, $61 - 37 = 24$. Дальше по той же схеме, пока значения не кончатся.

Каждый следующий столбец короче предыдущего на одну строку: из пяти значений выходит четыре первые разности, три вторые, две третьи и одна четвёртая. Третьи разности оказались одинаковыми ($6$ и $6$), а четвёртая обратилась в ноль - это и есть главный вывод таблицы, к нему вернёмся в шаге 4.

Шаг 2. Первая формула Ньютона: считаем $y(1{,}5)$. Точка $1{,}5$ лежит у начала таблицы, поэтому берём разности вперёд от верхнего узла $x_0 = 1$. Сначала переводим аргумент в безразмерную переменную:

$$q = \frac{x - x_0}{h} = \frac{1{,}5 - 1}{1} = 0{,}5.$$

Сама формула с разностями до третьего порядка выглядит так:

$$N_1(x) = y_0 + q\,\Delta y_0 + \frac{q(q-1)}{2!}\,\Delta^2 y_0 + \frac{q(q-1)(q-2)}{3!}\,\Delta^3 y_0.$$

Подставляем верхнюю строку таблицы: $y_0 = 3$, $\Delta y_0 = 7$, $\Delta^2 y_0 = 12$, $\Delta^3 y_0 = 6$.

$$\begin{aligned} N_1(1{,}5) &= 3 + 0{,}5 \cdot 7 + \frac{0{,}5 \cdot (-0{,}5)}{2} \cdot 12 + \frac{0{,}5 \cdot (-0{,}5) \cdot (-1{,}5)}{6} \cdot 6 \\ &= 3 + 3{,}5 - 1{,}5 + 0{,}375 = 5{,}375. \end{aligned}$$

Обрати внимание, как быстро убывают слагаемые: $3{,}5$, затем $-1{,}5$, затем $0{,}375$. Это нормальная картина для сходящегося расчёта, и по величине последнего члена уже можно судить о точности.

Шаг 3. Вторая формула Ньютона: считаем $y(4{,}5)$. Точка $4{,}5$ стоит у конца таблицы, разностей вперёд от неё почти не осталось, поэтому опираемся на нижний узел $x_n = 5$ и на обратные разности - те, что лежат на нижней диагонали: $\nabla y_n = 61$, $\nabla^2 y_n = 24$, $\nabla^3 y_n = 6$.

$$p = \frac{x - x_n}{h} = \frac{4{,}5 - 5}{1} = -0{,}5,$$ $$N_2(x) = y_n + p\,\nabla y_n + \frac{p(p+1)}{2!}\,\nabla^2 y_n + \frac{p(p+1)(p+2)}{3!}\,\nabla^3 y_n.$$

Подстановка даёт:

$$\begin{aligned} N_2(4{,}5) &= 127 + (-0{,}5) \cdot 61 + \frac{(-0{,}5) \cdot 0{,}5}{2} \cdot 24 + \frac{(-0{,}5) \cdot 0{,}5 \cdot 1{,}5}{6} \cdot 6 \\ &= 127 - 30{,}5 - 3 - 0{,}375 = 93{,}125. \end{aligned}$$

Шаг 4. Проверка. Постоянные третьи разности означают, что таблицу порождает многочлен третьей степени, а его старший коэффициент восстанавливается прямо из таблицы: $a_3 = \Delta^3 y / (3!\,h^3) = 6/6 = 1$. Подбором свободного члена получаем $y = x^3 + 2$, и это действительно даёт все пять табличных значений. Тогда $1{,}5^3 + 2 = 5{,}375$ и $4{,}5^3 + 2 = 93{,}125$ - оба результата совпали с интерполяцией до последнего знака, потому что многочлен Ньютона третьей степени и есть исходная функция.

Ответ. Третьи разности постоянны и равны $6$, четвёртые нулевые; $y(1{,}5) = 5{,}375$, $y(4{,}5) = 93{,}125$.

Формула и откуда она берётся

Конечная разность первого порядка определяется как $\Delta y_i = y_{i+1} - y_i$ и играет ту же роль, что приращение функции, только на фиксированном шаге сетки. Разность порядка $k$ вводится рекурсивно:

$$\Delta^k y_i = \Delta^{k-1} y_{i+1} - \Delta^{k-1} y_i,$$

то есть каждый новый столбец - это разности предыдущего. Если раскрыть рекурсию до конца, получится сумма табличных значений с биномиальными коэффициентами и чередующимися знаками:

$$\Delta^k y_i = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{j} \binom{k}{j} y_{i+k-j}.$$

Эта запись объясняет, почему разности высокого порядка так чувствительны к ошибкам: значения входят в них с коэффициентами $1, 4, 6, 4, 1$ и разными знаками, и погрешность одного узла размазывается по всей диагонали, увеличиваясь в разы.

Связь с производными такая же прямая. Разложение по Тейлору даёт $\Delta^k y_i \approx h^k\,y^{(k)}(x_i)$, поэтому столбец $k$-го порядка ведёт себя как $k$-я производная, умноженная на $h^k$. Отсюда и формулы Ньютона: они переписывают ряд Тейлора через разности вместо производных, которых у табличной функции попросту нет. Про вывод второй формулы и про то, как в ней появляется параметр $p$, подробно написано в разборе второй интерполяционной формулы Ньютона - здесь мы пользуемся готовым результатом.

Как по таблице оценить степень и гладкость

Таблица разностей отвечает не только на вопрос «чему равно значение между узлами», но и на вопрос «какой функцией это вообще описывается». Работает простое правило: если разности $k$-го порядка постоянны, а $(k+1)$-го равны нулю, данные порождены многочленом ровно степени $k$. В нашей задаче постоянны третьи разности, значит степень равна трём, и удерживать четвёртый член формулы бессмысленно: он умножается на ноль.

На реальных данных нули не получаются никогда, но принцип остаётся. Разности убывают, пока не достигнут уровня погрешности исходных значений, а дальше начинают беспорядочно скакать со сменой знака. Порядок, на котором началась эта «болтанка», и есть граница полезной информации: все более высокие разности состоят из шума, и добавлять их в интерполяционный многочлен - значит ухудшать ответ. Практический критерий: останавливаемся на том порядке, где очередной член формулы стал меньше требуемой точности; как оценивается сама погрешность результата, разобрано на странице про абсолютную погрешность.

Тот же столбец ловит опечатки. Одно испорченное значение в таблице даёт в третьих разностях характерный всплеск со знаками, пропорциональными $1, -3, 3, -1$, симметричный относительно бракованного узла. Если в ровном столбце шестёрок вдруг появляется последовательность вроде $6, -6, 18, 0$, искать надо не ошибку в вычитании, а неверно переписанное значение функции.

Когда брать формулу вперёд, а когда назад

Выбор формулы - это выбор диагонали, по которой идёт расчёт. Первая формула Ньютона использует верхнюю диагональ таблицы и предназначена для точек вблизи начала ряда: чтобы удержать три разности, от узла $x_0$ должно оставаться вниз ещё три строки. Вторая формула идёт по нижней диагонали и работает у конца таблицы, где разностей вперёд уже не набрать.

Формально обе формулы дают один и тот же интерполяционный многочлен, если удержать все доступные разности, - в нашей задаче при полном наборе обе дадут $x^3 + 2$. Разница появляется, когда порядок ограничен. Считая $y(4{,}5)$ по первой формуле от узла $x_0 = 1$, мы получаем $q = 3{,}5$, а члены такого ряда убывают медленно и требуют всех разностей до последней; при $q = -0{,}5$ во второй формуле убывание быстрое. Правило простое: параметр $q$ или $p$ должен лежать в пределах примерно от $-1$ до $1$, то есть опорный узел выбирается ближайшим к точке интерполяции.

Есть и третий случай - точка в середине таблицы. Формулы Ньютона там работают, но невыгодны: удержать разности высокого порядка не удастся ни от начала, ни от конца. Для середины предназначены формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя, которые собирают разности вокруг центрального узла и потому симметричнее по точности.

Частые ошибки

• Вычитают наоборот. Конечная разность считается как «следующее минус текущее», $\Delta y_i = y_{i+1} - y_i$. Если знак перепутать, весь столбец получится с обратным знаком, и ответ уедет уже во втором члене формулы.
• Записывают разности не по той диагонали. В первую формулу идут числа из верхней строки таблицы ($7$, $12$, $6$), во вторую - из нижней ($61$, $24$, $6$). Подстановка $\Delta y_0 = 7$ во вторую формулу - самая частая ошибка в контрольных.
• Забывают про шаг. Величина $q$ равна $(x - x_0)/h$, а не $x - x_0$. При $h = 1$ разницы не видно, и студент честно повторяет ошибку на следующей задаче, где шаг равен $0{,}2$.
• Путают знаки в множителях второй формулы. В первой формуле идут скобки $(q-1)$, $(q-2)$, во второй - $(p+1)$, $(p+2)$. Знак плюс здесь не опечатка: движение идёт вверх по таблице, а не вниз.
• Удерживают разности из области шума. Если четвёртые разности скачут от $-12$ до $20$, добавлять их в многочлен нельзя: это усилит погрешность, а не уменьшит её.
• Применяют формулы к неравноотстоящим узлам. Вся конструкция опирается на постоянный шаг. Если узлы идут вразнобой, конечные разности теряют смысл и нужен другой аппарат.

FAQ

Сколько разностей можно построить по таблице из n значений? Ровно $n-1$ порядков: из пяти значений выходит четыре первых разности, три вторых, две третьих и одна четвёртая. Дальше вычитать нечего, поэтому и многочлен Ньютона по такой таблице имеет степень не выше $n-1$.

Чем конечные разности отличаются от метода конечных разностей для уравнений? Термин один, задачи разные. Здесь разности - инструмент работы с таблицей: интерполяция, оценка производных, поиск опечаток. В методе конечных разностей для уравнений теми же разностями заменяют производные в самом уравнении, сводя его к системе алгебраических уравнений на сетке.

Что означают нулевые разности четвёртого порядка? Что данные порождены многочленом третьей степени. Такая таблица восстанавливается точно: интерполяционный многочлен совпадает с исходной функцией, а погрешность интерполяции равна нулю в любой точке, а не только в узлах.

Обязательно ли удерживать все разности до конца таблицы? Нет. Удерживают столько членов, сколько нужно для заданной точности: расчёт останавливают, когда очередное слагаемое становится меньше допустимой погрешности. Лишние члены не только не помогают, но и вносят шум исходных данных в ответ.

Коротко

1. Конечная разность - это разность соседних значений таблицы: $\Delta y_i = y_{i+1} - y_i$; разности высших порядков считаются от предыдущего столбца.
2. Для узлов $1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5$ со значениями $3;\ 10;\ 29;\ 66;\ 127$ столбцы такие: $7,\ 19,\ 37,\ 61$, затем $12,\ 18,\ 24$, затем $6,\ 6$ и ноль.
3. Постоянные третьи разности означают многочлен третьей степени; старший коэффициент равен $\Delta^3 y/(3!\,h^3) = 1$, сама функция $y = x^3 + 2$.
4. Первая формула Ньютона с $q = (x - x_0)/h = 0{,}5$ даёт $y(1{,}5) = 3 + 3{,}5 - 1{,}5 + 0{,}375 = 5{,}375$.
5. Вторая формула с $p = (x - x_n)/h = -0{,}5$ и обратными разностями $61,\ 24,\ 6$ даёт $y(4{,}5) = 127 - 30{,}5 - 3 - 0{,}375 = 93{,}125$.