Вторая интерполяционная формула Ньютона: разбор и формула

Когда функция задана таблицей равноотстоящих узлов, а значение нужно найти не в узле, а между ними, выручают интерполяционные формулы Ньютона. Их две: первая работает у начала таблицы, вторая интерполяционная формула Ньютона дает приближение у её конца. Разница в том, какие конечные разности и какой опорный узел берутся за основу. Ниже разберём, что такое обратные разности, как вводится параметр $q$, как выводится сама формула, когда её применять вместо первой и где чаще всего ошибаются в задачах. Чтобы сразу почувствовать, как многочлен подстраивается под хвост таблицы, покрутите калькулятор ниже: он строит интерполяционный многочлен против истинной функции и пересчитывает значение и погрешность по мере того, как вы добавляете обратные разности.

Когда нужна именно вторая формула

Пусть функция $y = f(x)$ задана в равноотстоящих узлах $x_0, x_1, \dots, x_n$ с постоянным шагом $h$, то есть $x_{i+1} - x_i = h$. Первая формула Ньютона строит многочлен, отсчитывая от первого узла $x_0$, и хорошо приближает функцию вблизи начала таблицы. Но если точка интерполяции $x$ лежит у конца таблицы, ближе к последнему узлу $x_n$, первая формула теряет точность: её слагаемые с разностями высокого порядка опираются на далёкие узлы.

Здесь и вступает вторая интерполяционная формула Ньютона. Она отсчитывается от последнего узла $x_n$ и собирается из так называемых обратных конечных разностей. Параметр в ней вводится как

$q = \frac{x - x_n}{h},$

и для точки внутри таблицы он отрицателен (мы движемся влево от $x_n$). Чем ближе $x$ к $x_n$, тем меньше модуль $q$ и тем быстрее сходится приближение. Именно поэтому правило простое: для точки у начала таблицы берут первую формулу, для точки у конца - вторую.

Обратные конечные разности

Обратная конечная разность первого порядка в узле $x_i$ определяется как

$\nabla y_i = y_i - y_{i-1}.$

Разности более высоких порядков получаются повторным применением оператора:

$\nabla^2 y_i = \nabla y_i - \nabla y_{i-1}, \qquad \nabla^k y_i = \nabla^{k-1} y_i - \nabla^{k-1} y_{i-1}.$

Численно обратная разность $\nabla^k y_n$ совпадает с прямой разностью $\Delta^k y_{n-k}$ - это одни и те же числа в таблице, просто прочитанные по другой диагонали. На практике строят обычную таблицу конечных разностей, а для второй формулы Ньютона берут её нижнюю диагональ: значения, заканчивающиеся в последнем узле.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно: столбцы - это разности всё более высокого порядка, а формуле нужна именно нижняя диагональ ($\nabla y_n$, $\nabla^2 y_n$, $\nabla^3 y_n$ и так далее). Каждый коэффициент формулы берётся из своего столбца - нижнего элемента. Если в таблице шесть узлов, то доступны обратные разности до пятого порядка включительно.

Вывод и запись формулы

Интерполяционный многочлен степени $n$, проходящий через все узлы, для второй формулы Ньютона записывается через $q$ и обратные разности так:

$P_n(x) = y_n + q\,\nabla y_n + \frac{q(q+1)}{2!}\,\nabla^2 y_n + \frac{q(q+1)(q+2)}{3!}\,\nabla^3 y_n + \dots + \frac{q(q+1)\cdots(q+n-1)}{n!}\,\nabla^n y_n.$

Структура слагаемых зеркальна первой формуле, но множители в числителях идут со знаком плюс: $q$, затем $q(q+1)$, затем $q(q+1)(q+2)$ и так далее. Это прямое следствие того, что мы отсчитываем узлы назад от $x_n$, поэтому в произведениях появляются $q+1$, $q+2$ вместо $q-1$, $q-2$.

Чтобы увидеть, как добавление каждой обратной разности уточняет приближение у конца таблицы, посмотрите на анимацию: золотой маркер по очереди подсвечивает слагаемые формулы, и видно, как каждый член отвечает за свою разность.

Рассчитать для своей задачи

Анимация показывает главное: при одной обратной разности формула даёт лишь линейное приближение у конца таблицы, а с ростом числа учтённых разностей многочлен всё точнее ложится на истинную кривую и в пределе проходит через каждый узел. Если узлов $n+1$, то многочлен степени $n$ совпадает с табличными значениями во всех узлах точно.

Пример расчёта по шагам

Возьмём функцию, заданную в узлах $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ со значениями $y = 1{,}000;\ 1{,}873;\ 2{,}591;\ 3{,}047;\ 3{,}208;\ 3{,}132$. Шаг $h = 1$, последний узел $x_n = 5$. Сначала выписываем нижнюю диагональ обратных разностей:

$\nabla y_n = -0{,}077, \quad \nabla^2 y_n = -0{,}238, \quad \nabla^3 y_n = 0{,}056, \quad \nabla^4 y_n = 0{,}087, \quad \nabla^5 y_n = 0{,}009.$

Пусть нужно значение в точке $x = 3{,}4$. Считаем параметр:

$q = \frac{x - x_n}{h} = \frac{3{,}4 - 5}{1} = -1{,}6.$

Подставляем в формулу. Линейное приближение по одной разности даёт $y_n + q\,\nabla y_n = 3{,}132 + (-1{,}6)(-0{,}077) \approx 3{,}255$, что заметно выше истинного значения $f(3{,}4) \approx 3{,}146$. Добавляя второй и третий члены, получаем $P(3{,}4) \approx 3{,}144$, а с учётом всех пяти разностей - $3{,}1457$, что практически совпадает с точным значением. Это и есть рабочий порядок действий: посчитать $q$, выписать диагональ обратных разностей, сложить слагаемые по формуле. Калькулятор выше повторяет ровно эти шаги для любой точки и любого числа разностей.

Связь с первой формулой и оценка погрешности

Обе формулы Ньютона строят один и тот же интерполяционный многочлен степени $n$ - если взять все доступные разности, результат не зависит от того, какой формулой считать. Различие практическое: вблизи начала таблицы быстрее сходится первая формула (там малы по модулю множители $q-1$, $q-2$), а вблизи конца - вторая (малы $q+1$, $q+2$). Поэтому формулу выбирают по положению точки, чтобы оборванный ряд давал меньшую погрешность.

Остаточный член второй формулы Ньютона по форме совпадает с общей оценкой интерполяции:

$R_n(x) = \frac{q(q+1)\cdots(q+n)}{(n+1)!}\,h^{n+1} f^{(n+1)}(\xi),$

где $\xi$ - некоторая точка интервала. На практике погрешность оценивают проще: по модулю первого отброшенного слагаемого формулы. Если он мал, приближения достаточно. Для узлов с произвольным шагом этот аппарат не работает, и тогда переходят к интерполяционному многочлену Лагранжа, который не требует равноотстоящих точек.

Частые ошибки

• Путают, от какого узла отсчитывать. Во второй формуле опорный узел - последний, $x_n$, а параметр $q = (x - x_n)/h$ обычно отрицателен. Если случайно взять $x_0$, получится первая формула с неверными разностями.
• Берут не ту диагональ таблицы. Для второй формулы нужна нижняя диагональ ($\nabla^k y_n$), а не верхняя строка ($\Delta^k y_0$). Это самая частая арифметическая ошибка.
• Ставят знаки минус как в первой формуле. Множители идут со знаком плюс: $q(q+1)$, $q(q+1)(q+2)$. Знак минус вместо плюса сразу ломает ответ.
• Применяют формулу при неравном шаге. Обе формулы Ньютона требуют постоянного шага $h$. Для произвольных узлов нужна интерполяция Лагранжа или разделённые разности.
• Выбирают формулу не по положению точки. Для точки у конца таблицы первая формула формально тоже даст ответ, но при обрыве ряда погрешность будет больше, чем у второй.

FAQ

Чем вторая интерполяционная формула Ньютона отличается от первой? Первая формула отсчитывается от первого узла $x_0$ и использует прямые разности $\Delta^k y_0$ с параметром $q = (x - x_0)/h$. Вторая отсчитывается от последнего узла $x_n$, использует обратные разности $\nabla^k y_n$ и параметр $q = (x - x_n)/h$. Многочлен они дают один и тот же, но сходимость оборванного ряда у них лучше на разных концах таблицы.

Почему параметр q получается отрицательным? Потому что точка интерполяции внутри таблицы лежит левее последнего узла $x_n$, а $q = (x - x_n)/h$. Разность $x - x_n$ отрицательна, отсюда и знак. Это нормально: модуль $q$ показывает, на сколько шагов точка отстоит от конца таблицы.

Можно ли применять формулу при неравных промежутках между узлами? Нет. И первая, и вторая формулы Ньютона выведены для равноотстоящих узлов с постоянным шагом $h$. Если узлы расположены неравномерно, применяют интерполяционный многочлен Лагранжа или формулу Ньютона с разделёнными разностями.

Коротко

Вторая интерполяционная формула Ньютона приближает функцию у конца таблицы равноотстоящих узлов. Она отсчитывается от последнего узла $x_n$, использует параметр $q = (x - x_n)/h$ и обратные конечные разности $\nabla^k y_n$ с нижней диагонали таблицы. Слагаемые идут с множителями $q$, $q(q+1)$, $q(q+1)(q+2)$ и факториалами в знаменателе. Для точки у начала таблицы берут первую формулу, у конца - вторую; обе строят один и тот же многочлен, а выбор влияет только на точность оборванного ряда.