Интерполяционная формула Лагранжа: узлы и базисные полиномы

Интерполяционная формула Лагранжа - это способ построить единственный многочлен степени не выше $n$, который проходит ровно через $n+1$ заданную точку $(x_0, y_0), \dots, (x_n, y_n)$. В отличие от подгонки коэффициентов через систему уравнений, интерполяционная формула Лагранжа даёт готовое явное выражение: она сразу собирает искомый полином из элементарных «кирпичиков» - базисных полиномов, каждый из которых отвечает за один узел. Это делает её удобной для теории и для ручного счёта по короткой таблице, хотя на практике у неё есть и слабые места, о которых речь ниже.

Постановка задачи интерполяции

Дана таблица значений неизвестной функции: набор узлов интерполяции $x_0, x_1, \dots, x_n$ (все различны) и соответствующие значения $y_i = f(x_i)$. Требуется найти многочлен $L_n(x)$ степени не выше $n$, такой что $L_n(x_i) = y_i$ во всех узлах. Такой многочлен существует и единственен - это следствие того, что определитель Вандермонда для различных узлов отличен от нуля. Единственность важна: какой бы метод вы ни применили (Лагранжа, Ньютона, решение системы), при одних и тех же узлах получится один и тот же полином, отличаться будет лишь форма записи и объём вычислений.

Интерполяционная формула Лагранжа отвечает именно на этот вопрос, не требуя решать линейную систему. Ниже - мини-форма: впишите узлы и значения из своей таблицы, а в чате соберём базисные полиномы $\ell_i(x)$, итоговый многочлен и при желании оценку погрешности.

Базисные полиномы Лагранжа

Ключевая идея - для каждого узла $x_i$ построить свой базисный полином $\ell_i(x)$, который равен единице в «своём» узле и нулю во всех остальных:

$\ell_i(x_j) = \begin{cases} 1, & j = i, \\ 0, & j \ne i. \end{cases}$

Такой полином легко выписать явно как произведение: в числителе перемножаются все множители $(x - x_j)$ при $j \ne i$, а знаменатель нормирует значение до единицы в точке $x_i$:

$\ell_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}.$

Подстановка $x = x_i$ обнуляет всё, кроме нужного множителя, и даёт ровно $1$; подстановка любого другого узла $x = x_k$ ($k \ne i$) включает в числитель множитель $(x_k - x_k) = 0$. Каждый $\ell_i(x)$ - многочлен степени ровно $n$.

Сборка интерполяционного многочлена

Имея базисные полиномы, итоговый многочлен собирается как линейная комбинация значений $y_i$ с весами $\ell_i(x)$ - это и есть интерполяционная формула Лагранжа:

$L_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i\, \ell_i(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}.$

Проверка условия интерполяции тривиальна: подставив $x = x_k$, мы получаем $L_n(x_k) = \sum_i y_i \ell_i(x_k) = y_k$, потому что все $\ell_i(x_k)$ зануляются, кроме $\ell_k(x_k) = 1$. Так интерполяционная формула Лагранжа гарантированно проходит через все табличные точки. Для двух узлов она вырождается в обычную линейную интерполяцию (прямую через две точки), для трёх - в параболу.

Пример: парабола по трём точкам

Пусть даны три узла: $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 7)$. Тогда $n = 2$, и базисные полиномы такие:

$\ell_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2},$ $\ell_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = -x(x-2),$ $\ell_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{x(x-1)}{2}.$

Подставляя в формулу с весами $y_0 = 1$, $y_1 = 3$, $y_2 = 7$, после раскрытия скобок получаем $L_2(x) = x^2 + x + 1$. Легко проверить: $L_2(0) = 1$, $L_2(1) = 3$, $L_2(2) = 7$ - все узлы воспроизведены точно.

Погрешность интерполяции

Если значения $y_i$ взяты от гладкой функции $f$, отклонение многочлена от самой функции в произвольной точке описывает остаточный член. При $f \in C^{n+1}$ на отрезке, содержащем узлы и точку $x$, найдётся точка $\xi$ внутри этого отрезка, для которой

$f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\, \omega_{n+1}(x), \qquad \omega_{n+1}(x) = \prod_{i=0}^{n}(x - x_i).$

Множитель $\omega_{n+1}(x)$ показывает: погрешность мала вблизи узлов и растёт между ними, особенно у краёв отрезка. Поэтому наивное увеличение числа равноотстоящих узлов не всегда улучшает приближение - на функции $f(x) = 1/(1+25x^2)$ возникает феномен Рунге: колебания на концах отрезка только усиливаются. Лекарство - выбирать узлы Чебышёва, которые сгущаются к краям и минимизируют максимум $|\omega_{n+1}(x)|$.

Сравнение с формулой Ньютона

Интерполяционная формула Лагранжа и интерполяционный многочлен Ньютона задают один и тот же полином, но Ньютон использует разделённые разности и схему, удобную для добавления новых узлов: чтобы учесть ещё одну точку, к формуле Ньютона дописывают одно слагаемое, тогда как формула Лагранжа требует пересчёта всех базисных полиномов с нуля. Зато запись Лагранжа нагляднее и удобнее в теоретических выкладках. Идею вычислений через узловые значения продолжают и другие табличные методы - например, метод Симпсона для интегрирования по сути интегрирует именно интерполяционный многочлен по трём узлам.

Отдельно стоит барицентрическая форма формулы Лагранжа - алгебраически эквивалентная, но численно устойчивая и быстрая: после однократного вычисления барицентрических весов значение в новой точке считается за $O(n)$ операций. На практике для повторных вычислений используют именно её, а не прямую формулу с произведениями.

Где применяется

Интерполяционная формула Лагранжа лежит в основе многих численных методов: вывода квадратурных формул (Ньютона-Котеса), численного дифференцирования, восстановления функции по таблице, а также в криптографии - схема разделения секрета Шамира восстанавливает секрет именно лагранжевой интерполяцией по долям-точкам. Везде, где есть набор точек и нужен проходящий через них многочлен, эта формула даёт явный ответ.

Частые ошибки

• Совпадающие узлы: если два $x_i$ равны, знаменатель $\prod_{j \ne i}(x_i - x_j)$ обнуляется и формула теряет смысл - узлы обязаны быть различными.
• Путаница индексов в произведении: в $\ell_i(x)$ из перемножения исключается множитель именно с $j = i$ (и в числителе, и в знаменателе), а не какой-то другой.
• Ожидание, что больше узлов всегда лучше: на равномерной сетке высокая степень провоцирует феномен Рунге - растущие осцилляции у краёв.
• Прямой пересчёт при добавлении точки: добавив узел, нельзя «дописать» слагаемое как у Ньютона - все базисные полиномы меняются, нужен полный пересчёт.
• Численная неустойчивость наивной формы при большом $n$: вычитания близких чисел в знаменателях накапливают ошибку - используйте барицентрическую форму.

FAQ

Чем формула Лагранжа отличается от многочлена Ньютона? Это один и тот же интерполяционный полином, записанный по-разному. Лагранж нагляднее и не требует разделённых разностей, Ньютон удобнее, когда узлы добавляются по одному.

Сколько узлов нужно для многочлена степени n? Ровно $n+1$ различный узел задаёт единственный многочлен степени не выше $n$. Три точки дают параболу, две - прямую.

Почему интерполяция иногда ухудшается с ростом числа узлов? Из-за феномена Рунге: на равноотстоящих узлах множитель $\omega_{n+1}(x)$ сильно растёт у краёв отрезка. Помогает переход к узлам Чебышёва.

Коротко

Интерполяционная формула Лагранжа строит единственный многочлен степени не выше $n$ через $n+1$ заданную точку как сумму $L_n(x) = \sum y_i\, \ell_i(x)$, где базисные полиномы $\ell_i(x) = \prod_{j \ne i}(x - x_j)/(x_i - x_j)$ равны $1$ в своём узле и $0$ в остальных. Погрешность контролирует остаточный член с множителем $\omega_{n+1}(x)$, а выбор узлов (Чебышёва вместо равномерных) спасает от феномена Рунге. Полином совпадает с ньютоновским, но для устойчивых повторных расчётов применяют барицентрическую форму.