Метод секущих для корня уравнения: формула и шаги

Метод секущих - это итерационный численный способ найти корень нелинейного уравнения $f(x) = 0$, когда аналитически решить его невозможно или слишком громоздко. Идея проста: берём два начальных приближения, проводим через соответствующие точки графика прямую (секущую) и смотрим, где она пересекает ось $x$. Эта точка пересечения становится новым, более точным приближением к корню, и шаг повторяется. От метода Ньютона он отличается тем, что не требует производной, а от метода половинного деления - заметно более быстрой сходимостью. Ниже разберём рекуррентную формулу, распишем шаги на конкретном уравнении, сравним метод с соседями и покажем, где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как секущая подтягивается к корню, покрутите калькулятор ниже: он строит график, проводит секущую через два приближения и отмечает следующее приближение на оси.

Идея метода секущих

Пусть нужно решить уравнение $f(x) = 0$, где $f$ - непрерывная функция. Корень - это точка, в которой график пересекает ось абсцисс. Метод секущих заменяет неизвестную нам кривую вблизи корня прямой линией, которую легко пересечь с осью аналитически.

Берутся два стартовых приближения $x_0$ и $x_1$. Через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$ проводится секущая - прямая, соединяющая две точки графика. Там, где эта прямая пересекает ось $x$, лежит следующее приближение $x_2$. Затем секущую строят уже через $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, получают $x_3$, и так далее. Каждое новое приближение использует два последних значения, поэтому метод называют двухточечным.

Рассчитать для своей задачи

Геометрически метод секущих - это аппроксимация графика прямой по двум точкам. Если эти точки близки к корню, секущая хорошо повторяет наклон кривой, и пересечение с осью оказывается очень близко к истинному корню. Именно поэтому с каждым шагом приближение, как правило, резко улучшается.

Формула метода секущих

Уравнение секущей через две точки $(x_{n-1}, f(x_{n-1}))$ и $(x_n, f(x_n))$ - это прямая с угловым коэффициентом, равным разностному отношению. Приравняв её к нулю и выразив точку пересечения с осью $x$, получаем основную рекуррентную формулу метода:

$x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}.$

Здесь дробь $\dfrac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$ - это величина, обратная угловому коэффициенту секущей. По сути, она играет роль шага, на который сдвигается приближение от $x_n$ к корню. Знаменатель $f(x_n) - f(x_{n-1})$ показывает, насколько изменилась функция между двумя точками: чем сильнее она меняется, тем меньше шаг, и наоборот.

Рассчитать для своей задачи

Сравните формулу с формулой метода Ньютона $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Они почти идентичны, только вместо производной $f'(x_n)$ в методе секущих стоит её разностная аппроксимация:

$f'(x_n) \approx \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}.$

То есть метод секущих - это метод Ньютона, в котором производную заменили конечной разностью по двум последним точкам. Это главное практическое преимущество: производную считать не нужно, достаточно уметь вычислять саму функцию $f(x)$. Запустите расчёт ниже, чтобы увидеть, как из двух приближений получается следующее по этой формуле.

Пошаговый разбор на примере

Разберём типовую задачу: найти корень уравнения $f(x) = x^3 - x - 2 = 0$ методом секущих с начальными приближениями $x_0 = 1$ и $x_1 = 2$. Сразу проверим знаки: $f(1) = -2$, $f(2) = 4$, знаки разные, значит корень лежит между 1 и 2.

Считаем первый шаг по формуле:

$x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1 - x_0}{f(x_1) - f(x_0)} = 2 - 4\cdot\frac{2 - 1}{4 - (-2)} = 2 - \frac{4}{6} \approx 1{,}3333.$

Теперь строим секущую уже через $x_1 = 2$ и $x_2 \approx 1{,}3333$. Значение функции в новой точке $f(1{,}3333) \approx -0{,}963$, и следующий шаг даёт:

$x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)} \approx 1{,}4627.$

Продолжая по той же схеме, получаем цепочку приближений:

$x_4 \approx 1{,}5312, \qquad x_5 \approx 1{,}5209, \qquad x_6 \approx 1{,}52138.$

Точный корень $x^* \approx 1{,}5213797$. Видно, что уже на пятом-шестом шаге совпадают четыре-пять значащих цифр. Погрешность шага $|x_{n+1} - x_n|$ быстро убывает: $0{,}67 \to 0{,}13 \to 0{,}068 \to 0{,}010 \to 0{,}0004$. Это и есть характерная для метода секущих почти квадратичная скорость: на каждом шаге число верных цифр умножается примерно в 1,6 раза.

Сходимость и порядок метода

Скорость, с которой приближения подходят к корню, называют порядком сходимости. Для метода секущих он равен золотому сечению:

$p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618.$

Это означает сверхлинейную сходимость: быстрее, чем у метода половинного деления (линейный порядок $p = 1$, погрешность падает вдвое за шаг), но медленнее, чем у метода Ньютона (квадратичный порядок $p = 2$). Однако у метода секущих есть скрытое преимущество: за один шаг он вычисляет функцию $f$ только один раз (значение в предыдущей точке уже известно), тогда как метод Ньютона на шаге считает и $f$, и $f'$. Если производная дорога в вычислении, метод секущих на практике может оказаться эффективнее Ньютона по общему числу операций.

Сходимость не гарантирована при любом старте. Метод сходится, если начальные приближения достаточно близки к корню, а функция в окрестности корня гладкая и её производная не обращается в ноль. Если же $f(x_n)$ и $f(x_{n-1})$ окажутся почти равны, знаменатель $f(x_n) - f(x_{n-1})$ станет близок к нулю, секущая - почти горизонтальной, и следующее приближение «выстрелит» далеко в сторону. В калькуляторе это видно: разведите два приближения по одну сторону от корня на пологом участке - и метод перестанет сходиться.

Чем метод секущих отличается от соседей

У метода секущих два близких родственника, и в задачах важно их не путать:

• Метод Ньютона использует касательную в одной точке, а значит требует производной $f'(x)$. Сходится быстрее (порядок 2), но производную нужно уметь брать. Метод секущих заменяет касательную секущей по двум точкам и обходится без производной.
• Метод половинного деления (бисекция) требует отрезка $[a, b]$ со сменой знака функции и гарантированно сходится, но медленно (порядок 1). Метод секущих обычно быстрее, но не гарантирует, что приближение останется около корня.
• Метод хорд (метод ложного положения) очень похож на метод секущих по формуле, но в нём одна из двух точек фиксируется так, чтобы сохранялась смена знака. Это делает его надёжнее, но иногда медленнее метода секущих, в котором всегда берутся два последних приближения без проверки знака.

То есть выбор обычно такой: нужна надёжность - бисекция или метод хорд; нужна скорость и есть производная - метод Ньютона; нужна скорость без производной - метод секущих.

Когда метод удобен на практике

Метод секущих особенно хорош, когда $f(x)$ задана сложной формулой или вообще алгоритмом (например, результатом численного интегрирования), и брать от неё производную аналитически неудобно или невозможно. Поскольку нужны только значения функции, метод легко программируется: достаточно хранить два последних приближения и пересчитывать по одной формуле. В инженерных и физических задачах его применяют для поиска корней характеристических уравнений, точек равновесия, обратных задач, где функция дорогая, а производная недоступна.

Критерий остановки на практике - не достижение «истинного» корня (его мы не знаем), а малость погрешности шага $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$ или малость невязки $|f(x_{n+1})| < \varepsilon$. Обычно используют оба условия сразу, чтобы не остановиться слишком рано на пологом участке. В калькуляторе вверху обе величины показаны рядом - погрешность шага и невязка - так что видно, как они убывают синхронно по мере приближения к корню.

Частые ошибки

• Один начальный приближение вместо двух. Метод секущих двухточечный: нужны именно $x_0$ и $x_1$. Если задать одну точку, формула не определена - в знаменателе будет ноль.
• Совпавшие или слишком близкие приближения. Если $x_0 = x_1$ или $f(x_0) = f(x_1)$, знаменатель $f(x_n) - f(x_{n-1})$ обращается в ноль, и метод ломается. Берите две разные точки, желательно по разные стороны от корня.
• Путаница индексов в формуле. В числителе дроби стоит $x_n - x_{n-1}$, в знаменателе $f(x_n) - f(x_{n-1})$ в том же порядке. Если перепутать порядок только в одном из них, знак шага окажется неверным.
• Ожидание гарантированной сходимости. В отличие от бисекции, метод секущих может разойтись при неудачном старте или на функции с перегибом. Если приближения «прыгают» и не стабилизируются, нужно сменить стартовые точки ближе к корню.
• Остановка только по невязке. На пологом графике $|f(x)|$ может быть мало вдали от корня. Контролируйте и невязку $|f(x_{n+1})|$, и погрешность шага $|x_{n+1} - x_n|$.

FAQ

Чем метод секущих отличается от метода Ньютона? Формулы почти одинаковы, но метод Ньютона использует производную $f'(x_n)$, а метод секущих заменяет её разностным отношением по двум последним точкам $\dfrac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}$. Поэтому секущим не нужна производная, но и сходятся они чуть медленнее (порядок 1,618 против 2).

Сколько начальных приближений нужно для метода секущих? Ровно два: $x_0$ и $x_1$. Через две точки графика проводится первая секущая. Дальше каждое новое приближение строится по двум предыдущим, так что хранить нужно всегда только последнюю пару значений.

Всегда ли метод секущих сходится к корню? Нет. Сходимость гарантирована лишь при достаточно близких к корню начальных приближениях и гладкой функции. При неудачном старте, на пологом участке или вблизи перегиба секущая может стать почти горизонтальной, и приближение уйдёт далеко - метод разойдётся. Тогда нужно выбрать пару точек ближе к корню.

Коротко

Метод секущих находит корень уравнения $f(x) = 0$, проводя через два приближения секущую и беря за следующее приближение точку её пересечения с осью $x$. Рекуррентная формула $x_{n+1} = x_n - f(x_n)\dfrac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$ - это метод Ньютона с производной, заменённой разностным отношением: производная не нужна, а сходимость сверхлинейная с порядком около 1,618. Метод быстр и прост в программировании, но не гарантирует сходимости, поэтому стартовые точки берут поближе к корню и контролируют и погрешность шага, и невязку.