Как решить трансцендентное уравнение: пошаговое решение

Дано: трансцендентное уравнение $e^x = x + 2$, отрезок $[1;\,2]$, требуемая точность $\varepsilon = 0{,}001$. Найти: корень с этой точностью.

Трансцендентное уравнение не решается формулой: экспоненту и многочлен нельзя развести по разные стороны никакими преобразованиями, поэтому корень ищут численно. Схема всегда одна: сначала корень отделяют, то есть загоняют в отрезок, где он заведомо один, а потом уточняют итерациями. Ответ этой задачи: $x \approx 1{,}146$, половинное деление добирается до такой точности за 10 шагов, метод Ньютона со старта $x_0 = 2$ за 5. Калькулятор сверху прогоняет оба метода на любых границах и любой точности и показывает, как быстро каждый набирает верные знаки.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = e^x - x - 2$, отрезок $[1;\,2]$, точность $\varepsilon = 0{,}001$.

Шаг 1. Убедиться, что корень отделён. Уравнение переписано в виде $f(x) = 0$. Считаем значения на концах:

$$f(1) = e - 3 = -0{,}2817, \qquad f(2) = e^2 - 4 = 3{,}3891 .$$

Знаки разные, функция непрерывна, значит внутри отрезка корень есть. Он там один: производная $f'(x) = e^x - 1$ на $[1;\,2]$ строго положительна (при $x > 0$ всегда $e^x > 1$), то есть функция монотонно возрастает и пересечь ось может только однажды. Графически это видно так: экспонента $y = e^x$ и прямая $y = x + 2$ пересекаются между $x = 1$ и $x = 2$, где экспонента обгоняет прямую.

Шаг 2. Посчитать, сколько делений пополам потребуется. После $n$ делений длина отрезка равна $\dfrac{b - a}{2^n}$, и она должна уложиться в $\varepsilon$:

$$\frac{2 - 1}{2^n} \le 0{,}001 \quad \Longrightarrow \quad n \ge \log_2 1000 = 9{,}97 \quad \Longrightarrow \quad n = 10 .$$

Число шагов известно заранее, ещё до первого вычисления - это главное удобство метода.

Шаг 3. Прогнать половинное деление. На каждом шаге берём середину $c = \dfrac{a + b}{2}$, считаем $f(c)$ и оставляем ту половину, на концах которой знаки остались разными.

После десятого шага остаётся отрезок $[1{,}145508;\,1{,}146484]$ длиной $0{,}000977$. За приближение берут его середину $x \approx 1{,}145996$, и тогда погрешность не превышает половины длины:

$$|x - x^{*}| \le \frac{b - a}{2^{n+1}} = \frac{1}{2048} = 0{,}000488 < \varepsilon .$$

Шаг 4. Уточнить корень методом Ньютона. Итерационная формула строит касательную в текущей точке и берёт её пересечение с осью:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{e^{x_n} - x_n - 2}{e^{x_n} - 1} .$$

Старт берут на том конце отрезка, где $f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0$. Здесь $f''(x) = e^x > 0$ всюду, а положительное значение функции только на правом конце, поэтому $x_0 = 2$.

Соседние приближения совпали уже в шестом знаке: $|x_5 - x_4| = 0{,}000005 < \varepsilon$, итерации останавливают.

Ответ: $x^{*} \approx 1{,}146$ (уточнённое значение $1{,}146193$). Оба метода дали один и тот же корень, но половинное деление потратило 10 вычислений функции, а метод Ньютона 5 вычислений функции и 5 вычислений производной.

Формулы и откуда они берутся

Половинное деление опирается на теорему Больцано-Коши: если непрерывная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, внутри найдётся точка, где она обращается в ноль. Проверка знака произведения $f(a) \cdot f(c) < 0$ и есть формальная запись вопроса «в какой половине осталась смена знака». Ничего, кроме непрерывности, метод не требует: ни производной, ни гладкости, ни удачного старта.

Формула Ньютона получается из разложения в ряд Тейлора. Запишем $f(x^{*}) = 0$ через точку $x_n$ и оборвём разложение на линейном члене:

$$0 = f(x^{*}) \approx f(x_n) + f'(x_n)\,(x^{*} - x_n) \quad \Longrightarrow \quad x^{*} \approx x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$

Отброшенный остаток содержит квадрат погрешности, отсюда и квадратичная сходимость: если приближение уже верно до трёх знаков, следующее будет верно примерно до шести. На графике калькулятора это видно прямо: линия бисекции ползёт неровными ступеньками, прибавляя в среднем $0{,}3$ знака за шаг (потому что $\lg 2 = 0{,}30$), а линия Ньютона круто загибается вверх. Подробный вывод обеих формул и условия применимости разобраны в статьях про метод половинного деления и метод касательных.

Оценка точности: два разных критерия

У методов принципиально разные способы понять, что пора останавливаться, и путать их нельзя. У половинного деления оценка априорная: длина отрезка известна заранее, гарантия $\dfrac{b-a}{2^{n+1}}$ не зависит от поведения функции. У Ньютона такой гарантии нет, потому что длины отрезка тоже нет, и останавливаются по разности соседних приближений $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$.

Разность приближений - признак косвенный, и надёжнее подстраховаться оценкой через невязку:

$$|x - x^{*}| \le \frac{|f(x)|}{m_1}, \qquad m_1 = \min_{[a;\,b]} |f'(x)| .$$

Здесь $m_1 = f'(1) = e - 1 = 1{,}7183$, а $f(1{,}146) = -0{,}000415$, поэтому $|x - x^{*}| \le 0{,}00024$ - вдвое лучше требуемого. Эта же формула отвечает на вопрос, сколько знаков в ответе оставлять: погрешность лежит в четвёртом знаке после запятой, значит записывать больше трёх знаков бессмысленно. Как связаны абсолютная и относительная погрешности и как их правильно округлять, разобрано отдельно в задаче про абсолютную погрешность.

Комбинированная схема и другие методы

На практике редко используют один метод целиком. Рабочая схема такая: два-три деления пополам, чтобы гарантированно подобраться к корню и не зависеть от выбора старта, а дальше метод Ньютона, который за три итерации выжимает остальные знаки. В нашей задаче достаточно было бы двух делений до отрезка $[1{,}0;\,1{,}25]$ и трёх касательных.

Когда производную считать дорого или она вообще не выписывается аналитически, вместо касательной проводят секущую через два последних приближения - так работает метод секущих, у которого порядок сходимости $1{,}618$ вместо $2$, зато производная не нужна. Третий вариант - привести уравнение к виду $x = \varphi(x)$ и запускать простые итерации, но там сначала придётся проверить условие $|\varphi'(x)| < 1$, иначе последовательность разойдётся; разбор этого условия есть в материале про сходимость метода простой итерации.

Частые ошибки

• Ньютон запускают с произвольной точки. Если взять $x_0 = 1$, касательная в точке с малой производной уводит приближение далеко влево, и итерации начинают блуждать. Проверка $f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0$ занимает одну строчку и снимает проблему.
• Число делений считают по требуемой точности корня, а не по длине отрезка. Формула $n \ge \log_2 \dfrac{b-a}{\varepsilon}$ содержит именно длину исходного отрезка: для $[0;\,10]$ при той же точности потребуется 14 шагов, а не 10.
• За ответ берут конец отрезка, а не середину. Середина даёт вдвое меньшую погрешность бесплатно: $\dfrac{b-a}{2^{n+1}}$ вместо $\dfrac{b-a}{2^n}$.
• Знак произведения $f(a) \cdot f(c)$ заменяют сравнением модулей. Половину отрезка выбирают по смене знака, а не по тому, где значение функции меньше: ближе к нулю по модулю может оказаться как раз та половина, где корня нет.
• Округляют промежуточные итерации. Если в таблице Ньютона держать по три знака, квадратичная сходимость ломается: погрешность округления становится больше погрешности метода. Промежуточные значения считают с запасом в два-три знака.
• Останавливаются по невязке $|f(x)| < \varepsilon$. Для пологой функции малое значение $f$ ещё не означает близость к корню - сравнивать нужно с оценкой через $m_1$.

FAQ

Чем трансцендентное уравнение отличается от алгебраического? В алгебраическом неизвестное участвует только в арифметических действиях и возведении в степень с целым показателем. Если появились экспонента, логарифм, синус или степень с переменным показателем, уравнение трансцендентное: корни в общем случае не выражаются через коэффициенты, и точного решения в радикалах нет даже теоретически.

Сколько корней у трансцендентного уравнения? Заранее неизвестно: от нуля до бесконечности. У $e^x = x + 2$ их два, второй лежит около $x = -1{,}841$, и его ищут тем же способом на отрезке $[-2;\,-1]$. Поэтому этап отделения обязателен: численный метод находит ровно тот корень, в чей отрезок его загнали.

Всегда ли метод Ньютона быстрее? По числу итераций почти всегда, но каждая итерация дороже: нужна производная. Кроме того, Ньютон может разойтись при неудачном старте или в окрестности точки, где $f'(x) = 0$, а половинное деление не расходится никогда. Отсюда и практика комбинировать их.

Что делать, если производная не вычисляется аналитически? Заменить её разностным отношением и перейти к методу секущих либо считать производную численно по формуле центральной разности. Скорость упадёт незначительно, а формулу дифференцирования выписывать не придётся.

Коротко

1. Привести уравнение к виду $f(x) = 0$ и отделить корень: найти отрезок, на концах которого знаки $f$ разные, и убедиться в монотонности. Для $f(x) = e^x - x - 2$ это $[1;\,2]$.
2. Посчитать число делений пополам из условия $\dfrac{b-a}{2^n} \le \varepsilon$: при $\varepsilon = 0{,}001$ получается $n = 10$.
3. Прогнать половинное деление, каждый раз оставляя половину со сменой знака; ответ - середина последнего отрезка, погрешность $\dfrac{b-a}{2^{n+1}} = 0{,}000488$.
4. Уточнить корень по формуле $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ со старта $x_0 = 2$, где $f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0$; хватает 5 итераций.
5. Ответ: $x^{*} \approx 1{,}146$ (точнее $1{,}146193$), проверка по невязке даёт погрешность не выше $0{,}00024$.