Как отделить корни уравнения: таблица знаков и пример

Дано: уравнение $x^3 - 3x + 1 = 0$, отрезок поиска $[-3;\,3]$, шаг таблицы $h = 0{,}5$. Найти: отрезки, каждый из которых содержит ровно один корень.

Отделить корень означает указать отрезок, где корень заведомо есть и притом только один. Рабочий инструмент - таблица знаков: считаем значения функции в узлах и ищем места, где знак меняется. Ответ: корни отделены отрезками $[-2;\,-1{,}5]$, $[0;\,0{,}5]$ и $[1{,}5;\,2]$, других действительных корней у уравнения нет. Калькулятор сверху пересчитает таблицу под любые границы и шаг.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = x^3 - 3x + 1$, отрезок поиска $[-3;\,3]$, шаг $h = 0{,}5$.

Шаг 1. Оценить, где вообще могут лежать корни. Для многочлена работает граница Коши: все корни по модулю меньше, чем

$$1 + \frac{\max\left(|a_2|,\,|a_1|,\,|a_0|\right)}{|a_3|} = 1 + \frac{3}{1} = 4 .$$

Значит, искать за пределами $(-4;\,4)$ бессмысленно. Берём отрезок $[-3;\,3]$: он уже границы Коши, зато в конце решения мы проверим по числу найденных корней, что ничего не потеряли.

Шаг 2. Составить таблицу знаков с шагом 0,5. Считаем $f(x)$ в каждом узле и выписываем только знак - сама величина не важна, важно её направление.

Шаг 3. Выписать отрезки со сменой знака. Знак меняется ровно в трёх местах таблицы:

$$\begin{aligned} f(-2) \cdot f(-1{,}5) &= (-1) \cdot 2{,}125 < 0, \\ f(0) \cdot f(0{,}5) &= 1 \cdot (-0{,}375) < 0, \\ f(1{,}5) \cdot f(2) &= (-0{,}125) \cdot 3 < 0 . \end{aligned}$$

По теореме о промежуточном значении внутри каждого из отрезков $[-2;\,-1{,}5]$, $[0;\,0{,}5]$ и $[1{,}5;\,2]$ есть хотя бы один корень.

Шаг 4. Убедиться, что корень на отрезке один. Смена знака гарантирует нечётное число корней, а не обязательно один, поэтому проверяем монотонность через производную:

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1).$$

На $[-2;\,-1{,}5]$ и на $[1{,}5;\,2]$ выполнено $|x| > 1$, значит $f'(x) > 0$ и функция строго возрастает. На $[0;\,0{,}5]$ выполнено $|x| < 1$, значит $f'(x) < 0$ и функция строго убывает. Строго монотонная функция принимает каждое значение не более одного раза, поэтому на каждом отрезке корень ровно один.

Шаг 5. Проверить полноту ответа. Уравнение третьей степени имеет не более трёх действительных корней, а мы отделили три. Значит, за пределами просмотренного отрезка корней нет и перебор можно не продолжать.

Ответ. Корни отделены отрезками $[-2;\,-1{,}5]$, $[0;\,0{,}5]$ и $[1{,}5;\,2]$; на каждом лежит ровно один корень. Их приближённые значения $-1{,}879$, $0{,}347$ и $1{,}532$ - но это уже результат следующего этапа, уточнения.

Почему смена знака означает корень

В основе метода лежит теорема Больцано-Коши: если функция непрерывна на $[a;\,b]$ и на концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся точка, где она обращается в ноль. Проверка сводится к одному неравенству $f(a) \cdot f(b) < 0$ - перемножать удобнее, чем сравнивать знаки по отдельности.

Два условия здесь одинаково важны, и второе забывают чаще. Первое - знаки на концах разные. Второе - функция непрерывна на всём отрезке. Для $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ знаки на концах отрезка $[1;\,3]$ разные, но корня нет: внутри разрыв, и функция «перескакивает» через ноль, не проходя через него.

Обратное утверждение неверно, и это главная ловушка таблицы. Отсутствие смены знака не доказывает отсутствие корней: их может быть чётное число внутри одного шага. Возьми в нашем примере $h = 3$, и таблица схлопнется до трёх узлов $f(-3) = -17$, $f(0) = 1$, $f(3) = 19$. Знак поменяется один раз, отрезок найдётся один, а два корня $0{,}347$ и $1{,}532$ пропадут - на $[0;\,3]$ их ровно два, и функция возвращается к прежнему знаку.

Аналитический способ: производная и монотонность

Число корней можно получить и без перебора узлов. Ищем критические точки: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ даёт $x = \pm 1$. Считаем значения в них: $f(-1) = 3 > 0$ - это локальный максимум, $f(1) = -1 < 0$ - локальный минимум.

Дальше работает картина монотонности. Функция возрастает на $(-\infty;\,-1]$ от $-\infty$ до $3$, убывает на $[-1;\,1]$ от $3$ до $-1$, снова возрастает на $[1;\,+\infty)$ от $-1$ до $+\infty$. На каждом из трёх промежутков она строго монотонна и меняет знак, значит на каждом ровно один корень - всего три. Этот способ даёт точное число корней, а таблица знаков превращает его в конкретные отрезки.

Признак удобно запоминается так: между соседними корнями непрерывно дифференцируемой функции обязательно лежит критическая точка. Поэтому корней не больше, чем промежутков монотонности, а если на концах промежутка знаки разные - ровно столько. Схема исследования функции разобрана подробно в задаче про полное исследование и построение графика.

Графический способ: две кривые вместо одной

Строить график $f(x) = x^3 - 3x + 1$ целиком необязательно. Перепишем уравнение как $x^3 = 3x - 1$: слева кубическая парабола, справа прямая. Обе рисуются по памяти, а абсциссы их пересечений и есть корни. На эскизе видно три пересечения - примерно у $-1{,}9$, около нуля и около $1{,}5$, и это ровно те окрестности, которые дала таблица.

Разбиение выбирают так, чтобы обе части стали элементарными функциями. Вариант $x^3 - 3x = -1$ ничего не упрощает: слева опять кубика, которую нужно исследовать. А вот для трансцендентных уравнений графический способ часто единственный быстрый: $e^x = 3x$ сводится к экспоненте и прямой, и сразу видно, что пересечений два.

Точности от эскиза ждать не надо - это способ увидеть, сколько корней и где они примерно сидят. Результат всё равно проверяют арифметикой: подставляют концы предполагаемого отрезка в $f(x)$ и смотрят на знаки.

Шаг таблицы и подготовка отрезка к половинному делению

Шаг - единственный свободный параметр метода, и он балансирует между потерей корней и лишними вычислениями. Слишком крупный шаг проглатывает пары близких корней, слишком мелкий заставляет считать сотни значений ради того же результата. Практическое правило: шаг берут заметно меньше расстояния между соседними критическими точками. У нас критические точки $\pm 1$ отстоят на 2, шаг 0,5 в четыре раза меньше - этого хватило.

Отделение не даёт значения корня, оно готовит вход для уточняющего метода. Отрезок $[-2;\,-1{,}5]$ длиной 0,5 можно сразу отдать половинному делению: каждый шаг сокращает длину вдвое, и для точности $\varepsilon = 0{,}001$ нужно

$$n \geqslant \log_2 \frac{0{,}5}{0{,}001} = \log_2 500 \approx 8{,}97 ,$$

то есть 9 делений. Сам алгоритм разобран в статье про метод половинного деления.

Другим методам отрезка мало. Методу касательных Ньютона нужно начальное приближение, на котором $f$ и $f''$ одного знака, иначе итерации уводит от корня. Поэтому этап отделения полезно заканчивать не только отрезком, но и знаками производных на нём.

Частые ошибки

• Считают, что раз знак не поменялся, корней нет. У $f(x) = x^2 - 4x + 4$ корень $x = 2$ двукратный, функция касается оси и знака не меняет: таблица его не увидит ни при каком шаге.
• Не проверяют непрерывность. Смена знака у функции с разрывом ничего не гарантирует: точки разрыва нужно выписать заранее и разбить область определения на отрезки по ним.
• Берут слишком крупный шаг. Два корня внутри одного шага дают чётное число пересечений, знак возвращается к исходному, и оба корня теряются.
• Останавливаются на первом найденном отрезке. Если степень многочлена 3, а отделён один корень, просмотр нужно продолжать или объяснять через производную, почему остальных нет.
• Путают отделение с уточнением. Отрезок $[-2;\,-1{,}5]$ - это не ответ «корень равен $-2$»; ответ этапа отделения всегда отрезок, а не число.
• Забывают про единственность. Смена знака даёт нечётное число корней. Чтобы сказать «ровно один», нужна монотонность, то есть знакопостоянство производной на отрезке.

FAQ

Чем отделение корней отличается от уточнения? Отделение отвечает на вопрос «сколько корней и где они примерно» и выдаёт отрезки. Уточнение сжимает найденный отрезок до нужной точности численным методом и выдаёт число. Без отделения уточнять нечего: почти все итерационные методы требуют отрезка или начального приближения.

Сколько корней может быть на отрезке со сменой знака? Нечётное число: один, три, пять. Смена знака исключает только чётное количество. Чтобы гарантировать ровно один корень, проверяют, что производная на отрезке не меняет знак, то есть функция строго монотонна.

Как отделить корни, если функция задана таблицей, а не формулой? Точно так же по знакам соседних значений: непрерывность в таком случае принимают как физическое допущение о процессе. Производной нет, поэтому единственность корня внутри шага обосновывают характером величины, а шаг таблицы просто берут таким, какой дал эксперимент.

Можно ли вместо таблицы сразу строить график? Можно, и на практике так и делают: эскиз быстрее. Но эскиз не доказательство - близкие корни на нём сливаются. Надёжный порядок такой: график показывает, сколько корней ожидать, а таблица знаков превращает догадку в отрезки с арифметической проверкой.

Коротко

1. Оцени область, где могут лежать корни: для многочлена - по границе Коши $|x| < 1 + \max|a_i| / |a_n|$.
2. Составь таблицу значений $f(x)$ с выбранным шагом и выпиши узлы, между которыми знак меняется: условие отделения - $f(a) \cdot f(b) < 0$ при непрерывной $f$.
3. Проверь единственность корня на каждом отрезке: производная не должна менять знак внутри.
4. Убедись, что найдены все корни: число корней многочлена не превышает его степени, а у произвольной функции - числа промежутков монотонности.
5. Для $x^3 - 3x + 1 = 0$ на $[-3;\,3]$ с шагом $0{,}5$ ответ: три отрезка $[-2;\,-1{,}5]$, $[0;\,0{,}5]$, $[1{,}5;\,2]$, по одному корню в каждом.