Как решить систему методом Гаусса: пошаговое решение

Дано: система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными $2x + y - z = 2$, $3x - y + 2z = 9$, $x + 2y + 3z = 3$. Найти: $x$, $y$, $z$.

Метод Гаусса работает в два хода: прямым ходом система приводится к ступенчатому (для квадратной невырожденной матрицы - к треугольному) виду, обратным ходом неизвестные находятся снизу вверх. Ответ: $x = 2$, $y = -1$, $z = 1$. Калькулятор сверху прокручивает прямой ход по шагам: на карте видно, как под главной диагональю один за другим появляются нули.

Решение по шагам

Дано. Коэффициенты системы:

Найти: значения $x$, $y$, $z$.

Шаг 1. Выписываем расширенную матрицу. Сами буквы неизвестных в вычислениях не участвуют, поэтому от системы переходим к таблице чисел: слева коэффициенты, за чертой свободные члены.

$$(A \mid b) = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \end{array}\right)$$

Дальше работаем только со строками. Каждая строка - это уравнение, и любое действие над ней означает то же действие над уравнением целиком, вместе со свободным членом.

Шаг 2. Прямой ход, первый столбец. Ведущим элементом берём число на месте $a_{11}$, то есть двойку. Чтобы обнулить коэффициенты под ней, из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на свои множители:

$$m_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{3}{2} = 1{,}5, \qquad m_{31} = \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$$

Пересчитываем вторую строку: $-1 - 1{,}5 \cdot 1 = -2{,}5$, затем $2 - 1{,}5 \cdot (-1) = 3{,}5$ и свободный член $9 - 1{,}5 \cdot 2 = 6$. Третью строку считаем так же: $2 - 0{,}5 \cdot 1 = 1{,}5$, $3 - 0{,}5 \cdot (-1) = 3{,}5$, $3 - 0{,}5 \cdot 2 = 2$. Получаем:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -2{,}5 & 3{,}5 & 6 \\ 0 & 1{,}5 & 3{,}5 & 2 \end{array}\right)$$

Шаг 3. Прямой ход, второй столбец. Первую строку больше не трогаем: её работа закончена. Новый ведущий элемент - число $-2{,}5$ во второй строке, множитель для третьей строки получается отрицательным:

$$m_{32} = \frac{1{,}5}{-2{,}5} = -0{,}6.$$

Вычесть строку, умноженную на $-0{,}6$, - это то же самое, что прибавить её, умноженную на $0{,}6$. Считаем: $3{,}5 + 0{,}6 \cdot 3{,}5 = 5{,}6$ и $2 + 0{,}6 \cdot 6 = 5{,}6$. Прямой ход закончен, матрица стала ступенчатой:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -2{,}5 & 3{,}5 & 6 \\ 0 & 0 & 5{,}6 & 5{,}6 \end{array}\right)$$

Шаг 4. Обратный ход. Возвращаемся от матрицы к уравнениям и идём снизу вверх. Последняя строка содержит одну неизвестную, поэтому она решается сразу, а найденное значение подставляется в строку выше:

$$\begin{aligned} 5{,}6z &= 5{,}6 &&\Rightarrow\quad z = 1, \\ -2{,}5y + 3{,}5 \cdot 1 &= 6 &&\Rightarrow\quad y = \frac{6 - 3{,}5}{-2{,}5} = -1, \\ 2x + 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 &= 2 &&\Rightarrow\quad x = \frac{2 + 1 + 1}{2} = 2. \end{aligned}$$

Ответ: $x = 2$, $y = -1$, $z = 1$.

Шаг 5. Проверка. Подставляем тройку чисел в исходные уравнения, а не в преобразованные: ошибка прямого хода иначе не всплывёт. Получаем $2 \cdot 2 + (-1) - 1 = 2$, затем $3 \cdot 2 - (-1) + 2 \cdot 1 = 9$ и $2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 3$. Все три равенства выполняются, решение верное.

Почему метод работает: элементарные преобразования

В прямом ходе используются только три действия над строками: перестановка двух строк, умножение строки на число, отличное от нуля, и прибавление к строке другой строки, умноженной на число. Каждое из них обратимо, поэтому новая система имеет ровно то же множество решений, что и исходная. Именно это позволяет менять матрицу как угодно и в конце получить ответ, который годится для первоначальной системы.

Ступенчатый вид ценен тем, что в последней ненулевой строке остаётся одна неизвестная, в предпоследней - две, и так далее. Такую систему разворачивают подстановкой без всякого перебора. По ходу дела бесплатно считается ещё одна величина: произведение ведущих элементов даёт определитель. У нас $\det A = 2 \cdot (-2{,}5) \cdot 5{,}6 = -28$, и знак минус здесь не от перестановок строк - их не было, - а от самих чисел. Если бы строки менялись местами, определитель менял бы знак при каждой перестановке.

Обратите внимание на служебную деталь: число ненулевых строк ступенчатого вида - это и есть ранг матрицы, а прямой ход метода Гаусса и есть стандартный способ его вычисления. Один и тот же алгоритм отвечает сразу на три вопроса: чему равен ранг, чему равен определитель и каково решение.

Несовместная и неопределённая система

Ступенчатый вид сам сообщает, к какому из трёх случаев относится система. Сравниваются ранг основной матрицы $A$ и ранг расширенной $(A \mid b)$ - это теорема Кронекера-Капелли, и в калькуляторе сверху оба ранга выведены отдельными числами.

Первый случай: в ступенчатом виде появилась строка, где слева одни нули, а свободный член ненулевой. Переключите калькулятор на пример «Несовместная» - там из системы $x + 2y - z = 3$, $2x + 4y - 2z = 1$, $3x + y + z = 5$ после вычитания удвоенной первой строки получается равенство $0 = -5$. Ранг основной матрицы равен 2, расширенной - 3, решений нет.

Второй случай: ранги равны, но меньше числа неизвестных. Пример «Бесконечно много» даёт систему $x + 2y - z = 3$, $2x + 3y + z = 8$, $3x + 5y = 11$, где третье уравнение равно сумме первых двух и после прямого хода превращается в строку из нулей. Ранги равны 2, неизвестных три, значит одна неизвестная свободная. Принимаем $z = t$ и обратным ходом выражаем остальные: $y = -2 + 3t$, $x = 7 - 5t$. Это общее решение, из него подстановкой любого числа $t$ получается частное.

Третий случай - наш: ранги равны и совпадают с числом неизвестных, решение единственное. Полезно помнить соответствие: единственное решение существует ровно тогда, когда $\det A \neq 0$, и в этом же случае работает правило Крамера, которое для системы третьего порядка требует вычислить четыре определителя.

Выбор главного элемента и цена вычислений

Школьный вариант метода берёт ведущим элементом то число, которое стоит на диагонали. Если там оказался ноль, строки просто меняют местами - на решение это не влияет. Но в вычислениях на компьютере важнее другое: делить на маленькое число опасно, потому что множитель получается большим и разрывает точность промежуточных данных. Поэтому в численных методах на каждом шаге поднимают наверх строку с наибольшим по модулю элементом столбца - это частичный выбор главного элемента, второй режим в калькуляторе. Попробуйте переключить его на нашей системе: числа шагов станут другими, ответ останется прежним.

Метод Гаусса дёшев: прямой ход стоит около $\frac{2n^3}{3}$ арифметических операций, обратный - порядка $n^2$. Для системы из ста уравнений это сотни тысяч действий, тогда как правило Крамера потребовало бы вычислить 101 определитель. Если ту же матрицу нужно решать с несколькими правыми частями, прямой ход не повторяют, а сохраняют его множители - так получается LU-разложение. Для больших разреженных систем прямые методы уступают итерационным, например методу Гаусса-Зейделя, а чувствительность ответа к ошибкам входных данных оценивается через число обусловленности.

Частые ошибки

• Пересчитывают коэффициенты, но забывают про свободный член: строка - это уравнение целиком, столбец за чертой преобразуется наравне с остальными.
• Путают знак множителя. При отрицательном ведущем элементе множитель тоже отрицателен, и вычитание превращается в прибавление, как на шаге 3.
• Меняют местами столбцы, не переобозначив неизвестные. Переставлять строки можно свободно, а перестановка столбцов меняет порядок переменных, и в ответе они разъедутся.
• Увидев ноль на месте ведущего элемента, объявляют систему несовместной. Нулевой ведущий элемент - повод переставить строки, а не остановиться.
• Отбрасывают нулевую строку как «лишнюю». Строка $0 = 0$ означает, что уравнение было зависимым, и указывает на бесконечное множество решений.
• Округляют промежуточные значения до одного-двух знаков. В нашем примере после округления $-0{,}6$ до $-0{,}5$ ответ поплывёт уже во второй цифре.

FAQ

Чем метод Гаусса отличается от метода Гаусса-Жордана? В методе Гаусса нули делают только под ведущими элементами, а неизвестные находят обратным ходом. Метод Гаусса-Жордана обнуляет столбец и выше ведущего элемента и доводит матрицу до единичной, так что обратный ход не нужен. Платой становится примерно в полтора раза больший объём вычислений.

Можно ли решать методом Гаусса систему, где уравнений больше, чем неизвестных? Да, расширенная матрица не обязана быть квадратной. Прямой ход проходит одинаково, а вывод делается по рангам: лишние уравнения либо превращаются в нулевые строки, либо дают противоречие и показывают, что система несовместна.

Что делать, если появились громоздкие дроби? В ручном счёте удобнее обыкновенные дроби, чем десятичные: они не накапливают ошибку округления. Строку разрешается умножить на общий знаменатель или сократить на общий множитель - это элементарное преобразование, решения оно не меняет.

Как проверить ответ в большой системе? Подставить решение в каждое исходное уравнение и посмотреть на невязку - разность между левой и правой частями. Калькулятор сверху считает максимальную невязку по всем уравнениям: у точного ответа она равна нулю, у приближённого показывает порядок накопленной ошибки.

Коротко

1. Выписать расширенную матрицу: коэффициенты слева, свободные члены за чертой.
2. Прямой ход: выбрать ведущий элемент, найти множители $m_{ik} = a_{ik} / a_{kk}$ и обнулить столбец под ведущим элементом; повторять до ступенчатого вида.
3. Сравнить ранги. Ранг $A$ меньше ранга $(A \mid b)$ - решений нет; ранги равны и совпадают с числом неизвестных - решение единственное; равны, но меньше - решений бесконечно много, часть неизвестных объявляется свободными.
4. Обратный ход: снизу вверх выразить неизвестные, подставляя уже найденные значения.
5. Проверить подстановкой в исходные уравнения. Для системы $2x + y - z = 2$, $3x - y + 2z = 9$, $x + 2y + 3z = 3$ ответ $x = 2$, $y = -1$, $z = 1$, а определитель равен $-28$.