Погрешность метода трапеций: оценка остатка

Погрешность метода трапеций - это разность между точным значением определённого интеграла и его приближением по составной формуле трапеций. Она убывает как $O(h^2)$: при уменьшении шага $h$ вдвое ошибка падает примерно вчетверо. Уметь оценить эту погрешность нужно не ради красоты - без неё нельзя обоснованно выбрать число отрезков $n$, при котором результат гарантированно точен до заданного $\varepsilon$. Ниже разберём остаточный член на одном отрезке и на всём $[a,b]$, мажорантную оценку через вторую производную, апостериорный контроль по правилу Рунге и типовые задачи.

Формула трапеций и откуда берётся ошибка

Составная формула трапеций приближает интеграл $I = \int_a^b f(x)\,dx$, заменяя $f$ на каждом из $n$ отрезков длиной $h = (b-a)/n$ ломаной - отрезком прямой через соседние узлы. Сумма площадей трапеций даёт

$I \approx T_n = h\left[\frac{f_0 + f_n}{2} + f_1 + f_2 + \ldots + f_{n-1}\right], \qquad x_i = a + ih,\ f_i = f(x_i).$

Ошибка возникает потому, что прямая не совпадает с кривой: между узлами ломаная либо «срезает» выпуклость, либо «провисает» под вогнутостью. Если $f$ выпукла вниз ($f'' > 0$), хорда лежит выше графика и трапеции завышают интеграл; при $f'' < 0$ - занижают. Знак и величина ошибки управляются именно второй производной - это ключевая мысль всей оценки погрешности.

Tool: оценить погрешность метода трапеций

Чтобы не считать $h^2/12$, четвёртые подстановки и максимум $|f''|$ вручную, опишите свою задачу в форме ниже: функция, пределы, число отрезков либо требуемая точность. Получите оценку остаточного члена, нужное $n$ и сравнение с точным значением, где оно берётся аналитически.

Остаточный член на одном отрезке

Рассмотрим один элементарный отрезок $[x_i, x_{i+1}]$ длиной $h$. Заменяя $f$ линейной интерполяцией $L_1(x)$ через концы и интегрируя остаток интерполяции, получаем точное выражение локальной погрешности:

$r_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)\,dx - \frac{h}{2}\bigl[f(x_i) + f(x_{i+1})\bigr] = -\frac{h^3}{12}\, f''(\xi_i), \qquad \xi_i \in (x_i, x_{i+1}).$

Здесь $\xi_i$ - некоторая (неизвестная) точка внутри отрезка, существование которой гарантирует теорема о среднем. Локальная ошибка пропорциональна $h^3$ и второй производной. Знак минус подтверждает наблюдение: при $f'' > 0$ имеем $r_i < 0$, то есть формула даёт больше точного значения.

Глобальная погрешность и порядок $O(h^2)$

Суммируя локальные ошибки по всем $n$ отрезкам и применяя теорему о промежуточном значении к набору $f''(\xi_i)$, приходим к остаточному члену составной формулы:

$R_n = I - T_n = -\frac{(b-a)\,h^2}{12}\, f''(\xi), \qquad \xi \in (a, b).$

Поскольку $n = (b-a)/h$, один множитель $h$ из $h^3$ «съедается» суммированием, и остаётся $h^2$. Это и есть порядок точности метода трапеций: погрешность есть $O(h^2)$. Удвоение числа отрезков ($h \to h/2$) уменьшает ошибку в $2^2 = 4$ раза. Для сравнения, у метода Симпсона порядок $O(h^4)$ - при том же числе вычислений $f$ ошибка падает в 16 раз за удвоение, поэтому на гладких функциях он точнее.

Мажорантная оценка через максимум второй производной

Точку $\xi$ мы не знаем, поэтому для гарантированной (априорной) оценки заменяем $f''(\xi)$ на максимум модуля по всему отрезку. Обозначив $M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$, получаем рабочую формулу оценки погрешности:

$|R_n| \le \frac{(b-a)\,h^2}{12}\, M_2 = \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\, M_2.$

Вторая запись через $n$ удобнее для практической задачи «сколько отрезков нужно». Если требуется $|R_n| \le \varepsilon$, разрешаем неравенство относительно $n$:

$n \ge (b-a)\sqrt{\frac{(b-a)\,M_2}{12\,\varepsilon}}.$

Результат округляем вверх до целого. Эта оценка консервативна: реальная ошибка обычно в несколько раз меньше, потому что $M_2$ - максимум, а в формуле остатка стоит значение в одной средней точке.

Как найти $M_2$ на практике

Главная техническая трудность - найти $M_2 = \max |f''|$. Алгоритм:

1. Вычислить $f''(x)$ символьно.
2. Найти критические точки: решить $f'''(x) = 0$ на $[a,b]$.
3. Сравнить $|f''|$ в критических точках и на концах $a$, $b$; взять наибольшее.

Для $f(x) = e^{-x^2}$ на $[0,1]$: $f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$, на отрезке модуль максимален в $x=0$, где $f''(0) = -2$, значит $M_2 = 2$. Если аналитика тяжела, $M_2$ оценивают сверху грубой мажорантой (например, $|4x^2-2|\le 2$ и $e^{-x^2}\le 1$ дают тот же $M_2=2$) - оценка остаётся корректной, лишь чуть запас больше.

Апостериорная оценка: правило Рунге

Априорная оценка требует $M_2$, что не всегда удобно. Апостериорный подход (правило Рунге) использует только два уже посчитанных приближения. Считаем $T_n$ и $T_{2n}$ (удвоив число отрезков). Поскольку ошибка ведёт себя как $C h^2$, для метода с порядком $p = 2$:

$R_{2n} \approx \frac{T_{2n} - T_n}{2^p - 1} = \frac{T_{2n} - T_n}{3}.$

Если $|T_{2n} - T_n|/3 \le \varepsilon$, точность достигнута. Более того, по Ричардсону можно уточнить ответ:

$I \approx T_{2n} + \frac{T_{2n} - T_n}{3}.$

Любопытно, что эта экстраполяция трапеций совпадает с формулой Симпсона - именно так строится метод Ромберга, где трапеции экстраполируются по столбцам до высоких порядков.

Когда оценка $O(h^2)$ не работает

Формула $R_n = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ выведена в предположении $f \in C^2[a,b]$ - непрерывной второй производной. Если её нет, порядок падает:

• На $\int_0^1 \sqrt{x}\,dx$ вторая производная $f'' = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ не ограничена в нуле, $M_2 = \infty$, и наблюдаемый порядок снижается до $h^{1.5}$.
• На функции с изломом (разрыв $f'$) трапеции на «гладких» кусках сходятся как $O(h^2)$, но узел разбиения должен попасть в точку излома - иначе на содержащем излом отрезке ошибка $O(h)$ испортит всё.
• На периодической гладкой функции, проинтегрированной по целому периоду, трапеции, наоборот, сходятся экспоненциально быстро - краевые члены формулы Эйлера-Маклорена взаимно уничтожаются. Это исключение работает в пользу метода.

Типовые задачи на оценку погрешности

В контрольных и на коллоквиуме просят, как правило, одно из трёх: (1) посчитать $T_n$ при заданном $n$ и оценить погрешность через $M_2$; (2) найти минимальное $n$, гарантирующее $|R_n| \le \varepsilon$ - это прямое применение формулы $n \ge (b-a)\sqrt{(b-a)M_2/(12\varepsilon)}$; (3) применить правило Рунге к паре $T_n, T_{2n}$ и уточнить ответ по Ричардсону. Реже встречается обратная задача - по известной фактической ошибке восстановить эффективный порядок метода как $p = \log_2\bigl(|R_n|/|R_{2n}|\bigr)$.

Частые ошибки

• Берут первую производную вместо второй. В остатке трапеций стоит именно $f''$ - линейная интерполяция точна для многочленов первой степени, поэтому ошибка начинается со второй производной.
• Забывают модуль и максимум. $M_2$ - это $\max|f''|$, а не $f''$ в произвольной точке и не $\max f''$ без модуля. При $f''$, меняющей знак, без модуля оценка занижается.
• Путают $h^2$ и $h^3$. Локальная ошибка на одном отрезке $\sim h^3$, но глобальная (составная) $\sim h^2$ - степень падает на единицу из-за суммирования $n \sim 1/h$ слагаемых.
• Делят разность Рунге на $2^2$, а не на $2^2-1$. Знаменатель правила Рунге - $2^p - 1 = 3$ для трапеций, а не 4.
• Применяют оценку к негладкой функции. Если $f''$ не ограничена (корень, излом), формула $\frac{(b-a)h^2}{12}M_2$ даёт бесконечность - нужно дробить интеграл или менять переменную.

FAQ

Почему в остаточном члене именно делитель 12? Он получается прямым интегрированием остатка линейной интерполяции $f(x) - L_1(x) = \frac{f''(\xi)}{2}(x-x_i)(x-x_{i+1})$ по отрезку: $\int_{x_i}^{x_{i+1}}(x-x_i)(x-x_{i+1})\,dx = -h^3/6$, и с учётом множителя $1/2$ выходит $-h^3/12$. Число 12 - чистая константа квадратуры, как 180 у Симпсона.

Как оценить погрешность, если функция задана таблицей и формулы для $f''$ нет? Используйте правило Рунге: ему вторая производная не нужна, только значения функции. Посчитайте $T_n$ и $T_{2n}$ на тех же узлах (для $T_{2n}$ нужна вдвое более частая таблица) и оцените ошибку как $(T_{2n}-T_n)/3$. Если узлы зафиксированы и сгустить нельзя, $f''$ приближают конечными разностями второго порядка.

Что точнее при одном и том же $n$ - трапеции или средние прямоугольники? У обоих порядок $O(h^2)$, но константы остатка разные: у трапеций $\frac{(b-a)h^2}{12}M_2$, у средних прямоугольников $\frac{(b-a)h^2}{24}M_2$ - вдвое меньше. Формула средних точек обычно точнее трапеций, хотя и те и другие проигрывают Симпсону на гладких функциях.

Коротко

Погрешность метода трапеций описывается остаточным членом $R_n = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$, $\xi\in(a,b)$, и имеет порядок $O(h^2)$: при делении шага пополам ошибка падает вчетверо. Для гарантированной оценки берут мажоранту $|R_n| \le \frac{(b-a)h^2}{12}M_2$, где $M_2 = \max_{[a,b]}|f''|$; из неё находят минимальное число отрезков $n \ge (b-a)\sqrt{(b-a)M_2/(12\varepsilon)}$ под заданную точность $\varepsilon$. Когда $M_2$ искать неудобно или функция задана таблично, погрешность контролируют апостериорно по правилу Рунге через пару приближений $T_n, T_{2n}$: $R_{2n}\approx(T_{2n}-T_n)/3$, а экстраполяция Ричардсона уточняет ответ до точности Симпсона. Оценка справедлива для дважды непрерывно дифференцируемых функций; на негладких порядок снижается, а на гладких периодических - наоборот, резко возрастает.