Метод средних прямоугольников: формула и примеры

Метод средних прямоугольников - это способ приближённо вычислить определённый интеграл, когда первообразную найти трудно или функция задана только таблицей значений. Идея простая: отрезок интегрирования делят на равные части и площадь под кривой на каждой части заменяют площадью прямоугольника, высота которого равна значению функции в середине этого отрезка. Именно выбор средней точки делает метод заметно точнее левых и правых прямоугольников при той же работе. Ниже разберём формулу, шаг $h$, как находить средние точки, как оценивать погрешность и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как прямоугольники садятся на кривую и как падает ошибка при росте числа разбиений, покрутите калькулятор ниже.

В чём идея метода

Нужно вычислить определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$, то есть площадь криволинейной трапеции под графиком $f(x)$ на отрезке $[a, b]$. Точно взять интеграл удаётся не всегда: первообразная может не выражаться через элементарные функции, а иногда функция вообще задана только набором измеренных точек. Тогда площадь приближают суммой простых фигур.

Отрезок $[a, b]$ делят на $n$ равных частей. На каждой части истинную площадь под дугой заменяют прямоугольником. Вопрос в том, какой высоты брать прямоугольник. Если брать значение функции на левом конце отрезка - получится метод левых прямоугольников, на правом - правых. Метод средних прямоугольников берёт высоту по значению функции в середине отрезка, и это ключевое отличие.

Геометрически это означает, что верх каждого прямоугольника касается кривой ровно в одной точке - над серединой отрезка. Слева от этой точки прямоугольник немного выступает над графиком, справа немного не достаёт до него (или наоборот, смотря по выпуклости). Эти два кусочка площади частично гасят друг друга, и суммарная ошибка на отрезке оказывается меньше, чем если бы прямоугольник упирался в кривую краем. Чем мельче разбиение, тем точнее каждый прямоугольник повторяет дугу.

Рассчитать для своей задачи

Формула метода средних прямоугольников

Сначала находим шаг разбиения - длину одного маленького отрезка:

$h = \frac{b - a}{n}.$

Границы отрезков обозначим $x_i = a + i h$, где $i = 0, 1, \dots, n$. Середина $i$-го отрезка (от $x_i$ до $x_{i+1}$) равна

$\bar{x}_i = x_i + \frac{h}{2} = a + \left(i + \tfrac{1}{2}\right) h.$

Площадь $i$-го прямоугольника - это высота $f(\bar{x}_i)$, умноженная на ширину $h$. Складываем по всем отрезкам и получаем итоговую формулу метода средних прямоугольников:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f\!\left(x_i + \frac{h}{2}\right) = h \big[ f(\bar{x}_0) + f(\bar{x}_1) + \dots + f(\bar{x}_{n-1}) \big].$

Обратите внимание: в сумме ровно $n$ слагаемых (по числу отрезков), а не $n+1$, как в формуле трапеций. Концевые точки $a$ и $b$ в значения функции не входят вовсе - работают только середины. Это упрощает и расчёт по таблице: достаточно знать значения функции в серединах ячеек.

Рассчитать для своей задачи

Пример расчёта по шагам

Возьмём $f(x) = x^2$ на отрезке $[0, 2]$ и $n = 6$ разбиений. Точное значение интеграла известно: $\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}6667$ - есть с чем сравнить.

Шаг разбиения: $h = \dfrac{2 - 0}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$.

Средние точки отрезков: $\bar{x}_i = (i + 0{,}5)\,h$, то есть

$0{,}1667;\quad 0{,}5000;\quad 0{,}8333;\quad 1{,}1667;\quad 1{,}5000;\quad 1{,}8333.$

Значения функции в них (квадраты) суммируем и умножаем на $h$:

$\int_0^2 x^2\,dx \approx \frac{1}{3}\,(0{,}0278 + 0{,}25 + 0{,}6944 + 1{,}3611 + 2{,}25 + 3{,}3611) \approx 2{,}6481.$

Погрешность составила всего $|2{,}6667 - 2{,}6481| \approx 0{,}0185$ - около $0{,}7\%$. Для сравнения, метод трапеций при том же $n$ даёт ошибку примерно вдвое больше и с противоположным знаком: средние прямоугольники систематически точнее.

Оценка погрешности

Погрешность метода средних прямоугольников оценивается через вторую производную функции:

$|R| \le \frac{(b - a)\,h^2}{24}\,\max_{[a,b]} |f''(x)| = \frac{(b - a)^3}{24\,n^2}\,\max |f''(x)|.$

Главное здесь - зависимость от $h^2$ (или, что то же, от $1/n^2$). Если удвоить число разбиений $n$, ошибка падает примерно в четыре раза. Поэтому на графике сходимости в калькуляторе точки выстраиваются в прямую в логарифмическом масштабе с наклоном два.

Рассчитать для своей задачи

Сравним порядки точности соседних методов на одной сетке:

• левые и правые прямоугольники - погрешность порядка $h$ (первый порядок);
• средние прямоугольники и трапеции - порядок $h^2$ (второй);
• формула Симпсона (параболы) - порядок $h^4$ (четвёртый).

Удобно, что при гладкой выпуклой функции средний прямоугольник занижает площадь там, где кривая выпукла вниз, ровно настолько, насколько завышает её по краям отрезка, - и эти отклонения частично гасятся. Именно поэтому средняя точка побеждает левую и правую.

Когда метод применяют

Метод средних прямоугольников выбирают, когда нужна простая и устойчивая формула, а второй порядок точности достаточен. Типичные ситуации: интеграл от функции без элементарной первообразной (например, $\int e^{-x^2}\,dx$), обработка экспериментальных данных, вычисление площадей и объёмов в инженерных расчётах, а также как базовый блок в составных квадратурных схемах и в численном решении дифференциальных уравнений.

У метода есть и практическое преимущество перед трапециями: ему не нужны значения на концах отрезка интегрирования. Это удобно, когда функция в точках $a$ или $b$ не определена или обращается в бесконечность, а в серединах ведёт себя нормально. Поэтому средние прямоугольники иногда применяют там, где трапеции напрямую не работают. Если же требуется выше точность при тех же узлах, переходят к формуле Симпсона; если функция задана таблицей именно в узлах сетки, а не в серединах ячеек, естественнее взять метод трапеций.

Частые ошибки

• Берут значения функции на концах отрезков, а не в серединах. Это превращает метод в левые или правые прямоугольники и роняет порядок точности с $h^2$ до $h$.
• Путают число слагаемых. В сумме ровно $n$ значений (по числу отрезков), а не $n+1$. Лишнее слагаемое - типичная арифметическая ошибка.
• Забывают умножить сумму на шаг $h$. Сумма значений функции - это ещё не площадь; её обязательно домножают на ширину прямоугольника.
• Неверно считают шаг при несимметричном отрезке. Шаг всегда $h = (b-a)/n$, а первая средняя точка сдвинута от $a$ на $h/2$, а не на $h$.
• Применяют оценку погрешности к функции с разрывной производной. Формула с $f''$ работает для гладких функций; на изломах и особенностях её результат ничего не гарантирует.

FAQ

Чем метод средних прямоугольников лучше левых и правых? Средняя точка даёт второй порядок точности ($h^2$) вместо первого ($h$): при одинаковом числе разбиений ошибка в разы меньше, потому что завышения и занижения площади частично компенсируют друг друга.

Как связаны метод средних прямоугольников и метод трапеций? Оба имеют второй порядок точности, но ошибки у них противоположного знака и средний прямоугольник обычно вдвое точнее. Их полусумма с весами даёт ещё более точную формулу Симпсона.

Сколько разбиений нужно для заданной точности? Из оценки $|R| \le \dfrac{(b-a)^3}{24 n^2}\max|f''|$ выражают $n$: чтобы уменьшить ошибку в $k$ раз, число разбиений увеличивают примерно в $\sqrt{k}$ раз. Удвоение $n$ сокращает погрешность вчетверо.

Коротко

Метод средних прямоугольников приближает определённый интеграл суммой $h\sum f(\bar{x}_i)$, где $h = (b-a)/n$, а высоты берутся в серединах отрезков $\bar{x}_i = a + (i+0{,}5)h$. Выбор средней точки даёт второй порядок точности: при удвоении числа разбиений ошибка падает примерно вчетверо, что заметно лучше левых и правых прямоугольников. Главное - считать значения именно в серединах, брать ровно $n$ слагаемых и не забывать множитель $h$.