Как найти асимптоты графика функции: решение по шагам

Дано: $f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 1}{x - 1}$. Найти: все асимптоты графика.

Знаменатель обращается в нуль в одной точке, а степень числителя ровно на единицу выше степени знаменателя. Отсюда сразу видно, чего ждать: одна вертикальная прямая и одна наклонная, горизонтальной не будет. Ответ: вертикальная асимптота $x = 1$, наклонная $y = 2x - 3$ в обе стороны, горизонтальных нет. Калькулятор сверху пересчитывает обе прямые под любые коэффициенты дроби и показывает остаток от деления, по знаку которого видно, с какой стороны график подходит к наклонной.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 1}{x - 1}$. Найти: уравнения всех асимптот её графика.

Шаг 1. Область определения. Дробь определена везде, кроме нуля знаменателя. Из $x - 1 = 0$ получаем $x = 1$, поэтому

$$D(f) = (-\infty;\,1) \cup (1;\,+\infty).$$

Вертикальные асимптоты ищут только среди граничных точек области определения, так что подозрительная точка здесь ровно одна.

Шаг 2. Вертикальная асимптота. Прежде чем считать пределы, подставим кандидата в числитель: $2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 1 = -2$. Числитель не обнулился, дробь не сокращается, значит в точке разрыв со стремлением к бесконечности. Считаем односторонние пределы. Слева от единицы разность $x - 1$ отрицательна и стремится к нулю, числитель при этом близок к $-2$, поэтому дробь уходит в плюс бесконечность; справа знаменатель положителен и всё меняется на противоположное:

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2 - 5x + 1}{x - 1} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2 - 5x + 1}{x - 1} = -\infty.$$

Хотя бы один односторонний предел бесконечен, и этого уже достаточно: прямая $x = 1$ вертикальная асимптота. Сама классификация разрывов и разбор того, чем полюс отличается от устранимого разрыва, вынесены в отдельную задачу про точки разрыва функции, здесь разрыв нужен только как источник вертикальной прямой.

Шаг 3. Проверяем горизонтальную. Горизонтальная асимптота существует тогда и только тогда, когда предел функции на бесконечности конечен. Делим числитель и знаменатель на $x$:

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 5 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} = \pm\infty.$$

Предел бесконечен, горизонтальной асимптоты нет. Это не тупик, а указание искать наклонную: график уходит вверх, но может уходить вдоль прямой.

Шаг 4. Коэффициент $k$. Наклон ищем как предел отношения функции к аргументу:

$$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 - \dfrac{1}{x}} = 2.$$

Предел конечен и одинаков на плюс и минус бесконечности, поэтому дальше считаем один раз для обоих направлений.

Шаг 5. Свободный член $b$. Вычитаем найденный наклон и снова идём на бесконечность:

$$b = \lim_{x \to \infty}\bigl(f(x) - 2x\bigr) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 1 - 2x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{x - 1} = -3.$$

Оба коэффициента найдены, наклонная асимптота имеет уравнение $y = 2x - 3$.

Шаг 6. Проверка делением. Разделим числитель на знаменатель уголком:

$$2x^2 - 5x + 1 = (x - 1)(2x - 3) - 2 \quad \Longrightarrow \quad f(x) = 2x - 3 - \frac{2}{x - 1}.$$

Дробный остаток стремится к нулю, а целая часть совпала с найденной прямой. Заодно виден знак отклонения: при $x > 1$ остаток отрицателен и график идёт ниже асимптоты, при $x < 1$ положителен и график идёт выше.

Ответ: вертикальная асимптота $x = 1$; наклонная асимптота $y = 2x - 3$ и при $x \to +\infty$, и при $x \to -\infty$; горизонтальных асимптот нет.

Формула и откуда она берётся

Асимптота это прямая, к которой график неограниченно приближается при удалении точки по кривой. Отсюда два разных определения, и путать их нельзя. Прямая $x = x_0$ вертикальная асимптота, если хотя бы один односторонний предел в этой точке бесконечен. Прямая $y = kx + b$ наклонная асимптота, если расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к нулю:

$$\lim_{x \to \infty}\bigl[f(x) - (kx + b)\bigr] = 0.$$

Из этого равенства и выводятся рабочие формулы. Обозначим $\alpha(x) = f(x) - kx - b$, по условию $\alpha(x) \to 0$. Разделим всё на $x$:

$$\frac{f(x)}{x} = k + \frac{b}{x} + \frac{\alpha(x)}{x}.$$

Второе и третье слагаемые стремятся к нулю, значит $k = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$. Подставив найденный наклон обратно, получаем $b = \lim\limits_{x \to \infty}\bigl(f(x) - kx\bigr)$. Порядок здесь жёсткий: без $k$ второй предел не считается.

Горизонтальная асимптота отдельного аппарата не требует: это тот же случай при $k = 0$, и тогда $b = \lim\limits_{x \to \infty} f(x)$. Поэтому в ответе никогда не бывает и горизонтальной, и наклонной асимптоты в одном направлении. Если пределы дают неопределённость вида бесконечность на бесконечность, её раскрывают делением на старшую степень или правилом Лопиталя.

Второй способ: выделение целой части

Для дробно-рациональной функции пределы можно вообще не считать. Разделите числитель на знаменатель уголком и запишите результат как целая часть плюс правильная дробь. Правильная дробь по определению имеет степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому на бесконечности она стремится к нулю, а целая часть и есть асимптота.

В нашей задаче деление дало $f(x) = 2x - 3 - \dfrac{2}{x - 1}$, откуда прямая $y = 2x - 3$ читается без единого предела. Способ быстрее и заодно отвечает на вопрос, который по формулам $k$ и $b$ не виден: график подходит к асимптоте снизу справа и сверху слева, а пересечь её не может, потому что дробь $\dfrac{2}{x - 1}$ в нуль не обращается ни при каком $x$.

Ограничение у метода одно: он работает только для отношения многочленов. Для $f(x) = x + \operatorname{arctg} x$ или $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x}$ делить нечего, и остаются пределы. Переключатель в калькуляторе сверху показывает оба пути на одной и той же дроби, и результат совпадает.

Как степени числителя и знаменателя определяют ответ

Для дроби $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ поведение на бесконечности решается одним сравнением степеней, и таблица экономит все вычисления.

Последняя строка часто вызывает спор. У функции $f(x) = \dfrac{x^3}{x - 1}$ предел отношения $f(x)/x$ равен бесконечности, то есть конечного наклона не существует, и наклонной асимптоты нет: график уходит вдоль параболы, а не вдоль прямой. Проверить это в калькуляторе сверху нельзя специально, зато переключение числителя с квадратного трёхчлена на двучлен превращает наклонную асимптоту в горизонтальную, и видно, что это одна и та же формула при $k = 0$.

Когда асимптоты слева и справа разные

Запись $x \to \infty$ без знака допустима только тогда, когда оба предела совпали. В нашей дроби так и вышло, но это не общее правило, и на экзамене чаще всего срезаются именно здесь.

У функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ наклон равен $k = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$, а квадратный корень всегда неотрицателен: при $x \to +\infty$ получаем $k = 1$, при $x \to -\infty$ выходит $k = -1$. Свободный член в обоих случаях нулевой, так что асимптот две: $y = x$ справа и $y = -x$ слева. Так же ведут себя ветви гиперболы, у которой асимптоты выводятся из канонического уравнения без пределов, этот вывод разобран в статье про асимптоты гиперболы.

Ещё два типовых случая. У $f(x) = \operatorname{arctg} x$ пределы конечны и различны, поэтому горизонтальных асимптот две: $y = \dfrac{\pi}{2}$ и $y = -\dfrac{\pi}{2}$. У $f(x) = x + e^{-x}$ при $x \to +\infty$ экспонента гаснет и остаётся наклонная $y = x$, а при $x \to -\infty$ функция растёт быстрее любой прямой, и асимптоты просто нет. Асимптоты обычно ищут в связке с монотонностью и выпуклостью, когда строят полное исследование: промежутки роста берутся из первой производной, а точки перегиба из второй, они разобраны в задаче про точки перегиба функции.

Частые ошибки

• Объявляют асимптотой каждый нуль знаменателя. Если числитель обнуляется в той же точке, дробь сокращается и остаётся выколотая точка. У функции $\dfrac{2x^2 - 5x + 3}{x - 1}$ вертикальной асимптоты нет вовсе, хотя знаменатель в единице равен нулю.
• Считают один предел вместо двух односторонних. Для вертикальной асимптоты важно поведение с каждой стороны: слева график может уходить вверх, справа вниз, и в ответе это надо различать.
• Ищут наклонную, когда уже нашли горизонтальную. Горизонтальная это случай $k = 0$. Две прямые в одном направлении не сосуществуют, и лишняя строка в ответе считается ошибкой.
• Забывают вычесть $kx$ при поиске $b$. Предел $\lim (f(x) - kx)$ подменяют пределом самой функции и получают бесконечность вместо конечного числа.
• Пишут один ответ на оба направления, не проверив знаки. Корни, модули и экспоненты дают разные $k$ на плюс и минус бесконечности.
• Считают, что график не пересекает асимптоту. Наклонную и горизонтальную он пересекать может сколько угодно раз, приближение требуется только на бесконечности. Нельзя пересечь лишь вертикальную: там у функции нет значения.

FAQ

Сколько асимптот может быть у графика? Вертикальных сколько угодно, вплоть до бесконечного числа: у тангенса они стоят в каждой точке $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$. Невертикальных не больше двух, по одной на каждое направление бесконечности, потому что предел в каждую сторону единственный.

Что делать, если предел $f(x)/x$ равен бесконечности? Значит наклонной асимптоты в этом направлении нет и считать $b$ бессмысленно. Так бывает, когда степень числителя превышает степень знаменателя больше чем на единицу, а также у показательной функции $y = e^x$ при $x \to +\infty$.

Обязательно ли вертикальная асимптота стоит в точке разрыва? Да, но не всякий разрыв её даёт. Нужен бесконечный односторонний предел, то есть разрыв второго рода; устранимый разрыв и конечный скачок график ограниченным оставляют.

Можно ли найти асимптоты по графику, не считая пределы? По готовому графику прямые видно, но в работе требуется аналитическое обоснование: уравнение прямой и значение предела. Наклон асимптоты, кстати, не равен наклону касательной в далёкой точке, хотя предельно они и сближаются, а угловой коэффициент касательной считается совсем другим способом, через производную.

Коротко

1. Найти область определения и выписать точки, где функция не определена.
2. В каждой такой точке проверить числитель и посчитать два односторонних предела: бесконечный предел даёт вертикальную асимптоту.
3. Посчитать предел функции на плюс и минус бесконечности: конечный результат это горизонтальная асимптота, и на этом поиск в данном направлении закончен.
4. Если предел бесконечен, найти $k = \lim\limits_{x \to \infty} f(x)/x$ и затем $b = \lim\limits_{x \to \infty}(f(x) - kx)$, оба раза отдельно для плюс и минус бесконечности.
5. Для $f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 1}{x - 1}$ деление уголком даёт $f(x) = 2x - 3 - \dfrac{2}{x - 1}$, откуда вертикальная асимптота $x = 1$ и наклонная $y = 2x - 3$.