Как найти период функции: формула и разбор

Дано: четыре функции - $y = \sin 3x$, $y = 4\cos \dfrac{x}{2}$, $y = \operatorname{tg} 6x$ и $y = \sin 3x + \cos 2x$. Найти: наименьший положительный период каждой из них.

Схема одна на все четыре: смотрим на коэффициент $k$ перед $x$ и делим на него период базовой функции. У синуса и косинуса базовый период равен $2\pi$, у тангенса $\pi$, а для суммы периоды слагаемых считаются отдельно и потом сводятся в наименьшее общее кратное. Ответы: $\dfrac{2\pi}{3}$, $4\pi$, $\dfrac{\pi}{6}$ и $2\pi$. Калькулятор сверху показывает то же самое картинкой: заштрихована ровно одна волна, а деления оси абсцисс подписаны кратными найденного периода.

Решение по шагам

Шаг 1. Что именно ищем. Число $T > 0$ называют периодом функции, если равенство $y(x + T) = y(x)$ выполняется при всех допустимых $x$. Периодов у периодической функции бесконечно много: вместе с $T$ подходят $2T$, $3T$ и любое $nT$. В задачах спрашивают наименьший положительный из них, и именно его обычно называют просто периодом.

Шаг 2. Функция $y = \sin 3x$. Коэффициент при $x$ равен $k = 3$, значит график синуса сжат вдоль оси абсцисс втрое. Волна становится втрое короче:

$$T = \frac{2\pi}{\lvert k \rvert} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09.$$

Шаг 3. Функция $y = 4\cos \dfrac{x}{2}$. Здесь $k = \dfrac{1}{2}$, то есть график наоборот растянут вдоль оси абсцисс вдвое:

$$T = \frac{2\pi}{\tfrac{1}{2}} = 4\pi \approx 12{,}57.$$

Множитель 4 перед косинусом растягивает график вверх и вниз, но вдоль оси $Ox$ ничего не меняет, поэтому на период он не влияет. Не влияет и постоянное слагаемое: у функции $y = 4\cos \dfrac{x}{2} - 7$ период тот же самый.

Шаг 4. Функция $y = \operatorname{tg} 6x$. Тангенс повторяется вдвое чаще синуса: его собственный период равен $\pi$, потому что $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$. Поэтому в формуле стоит $\pi$, а не $2\pi$:

$$T = \frac{\pi}{\lvert k \rvert} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52.$$

Откуда берётся период $\pi$ у тангенса и как он работает при записи корней, подробно разобрано в статье про уравнение с тангенсом.

Шаг 5. Сумма $y = \sin 3x + \cos 2x$. Периоды слагаемых считаем по той же формуле: $T_1 = \dfrac{2\pi}{3}$ и $T_2 = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$. Общий период обязан быть кратен каждому из них, иначе одно из слагаемых после сдвига не вернётся к прежнему значению. Наименьшее такое число и есть ответ:

$$T = \text{НОК}\left(\frac{2\pi}{3},\ \pi\right) = 2\pi \approx 6{,}28.$$

Проверяем кратность: $2\pi = 3 \cdot \dfrac{2\pi}{3}$ и $2\pi = 2 \cdot \pi$. В общий период укладываются три волны синуса и две волны косинуса, поэтому обе они одновременно возвращаются в исходное положение.

Шаг 6. Убеждаемся, что период наименьший. Ближайший кандидат поменьше - это $\pi$. Косинусу он подходит, а синусу нет: $\sin 3(x + \pi) = \sin(3x + 3\pi) = -\sin 3x$. Второй кандидат, $\dfrac{2\pi}{3}$, подходит синусу и не подходит косинусу. Любое общее кратное чисел $\dfrac{2\pi}{3}$ и $\pi$ обязано делиться на оба, а самое маленькое такое число - как раз $2\pi$. В калькуляторе это видно по последней плашке: при сдвиге на $T$ расхождение равно нулю, а при сдвиге на половину периода оно доходит до двух.

Ответ: $T = \dfrac{2\pi}{3}$; $T = 4\pi$; $T = \dfrac{\pi}{6}$; $T = 2\pi$.

Формула и откуда она берётся

Формулу $T = \dfrac{2\pi}{\lvert k \rvert}$ не нужно запоминать отдельно, она выводится из определения за две строки. Пусть $y = \sin kx$. Требуем, чтобы сдвиг на $T$ ничего не менял:

$$\sin\bigl(k(x + T)\bigr) = \sin(kx + kT) = \sin kx .$$

Синус повторяет значение ровно тогда, когда аргумент вырос на целое число полных оборотов, то есть при $kT = 2\pi n$. Отсюда $T = \dfrac{2\pi n}{k}$, и наименьшее положительное значение получается при $n = 1$. Модуль в знаменателе нужен для случая отрицательного $k$: сам период всегда положителен, а знак коэффициента на длину волны не влияет, ведь $\sin(-3x) = -\sin 3x$ повторяется так же часто, как $\sin 3x$.

Расшифровка букв простая. Буква $k$ - множитель при $x$, он же частота: чем он больше, тем плотнее волны и тем короче период. Буква $T$ - длина одной волны по горизонтали. Амплитуда, вертикальный сдвиг и горизонтальный сдвиг в формулу не входят вовсе, поэтому у функций $y = \sin 3x$, $y = 5\sin 3x$ и $y = \sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) - 2$ период один и тот же.

Для тангенса меняется только числитель. Из формул приведения следует $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$, поэтому базовый период равен $\pi$ и рабочая формула принимает вид $T = \dfrac{\pi}{\lvert k \rvert}$. Тот же приём с приведением аргумента используется и в других задачах на тригонометрию, например в формулах приведения для синуса и косинуса.

Период суммы: как считать НОК от долей пи

Наименьшее общее кратное привычно искать для целых чисел, а тут в ответах стоят дроби с $\pi$. Приём стандартный: вынести $\pi$ за скобку и работать с обыкновенными дробями. Алгоритм из трёх шагов:

1. Записать каждый период в виде $\dfrac{p}{q}\pi$ с целыми $p$ и $q$.
2. Взять НОК числителей и НОД знаменателей: $\text{НОК}\left(\dfrac{p_1}{q_1},\ \dfrac{p_2}{q_2}\right) = \dfrac{\text{НОК}(p_1,\,p_2)}{\text{НОД}(q_1,\,q_2)}$.
3. Умножить результат обратно на $\pi$.

В нашей задаче $T_1 = \dfrac{2}{3}\pi$ и $T_2 = \dfrac{1}{1}\pi$. Числители 2 и 1 дают НОК, равный 2, знаменатели 3 и 1 дают НОД, равный 1, откуда $T = \dfrac{2}{1}\pi = 2\pi$. Второй пример для тренировки: у функции $y = \cos 2x + \sin \dfrac{3x}{2}$ периоды равны $\pi$ и $\dfrac{4\pi}{3}$, то есть $\dfrac{1}{1}\pi$ и $\dfrac{4}{3}\pi$; НОК числителей равен 4, НОД знаменателей равен 1, ответ $4\pi$. Эти числа можно подставить в калькулятор ползунками и сверить. Если приёмы поиска НОД и НОК подзабылись, их разбор с алгоритмом Евклида лежит в отдельной задаче про нахождение НОД двух чисел.

Когда наименьшее общее кратное подводит

НОК гарантирует, что найденное число - период. Но не всегда наименьший. Классический контрпример: у функции $y = \sin^2 x$ по формуле НОК получилось бы $2\pi$, а понижение степени даёт

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2},$$

то есть на самом деле период равен $\pi$. Вывод практический: если функцию можно упростить тождеством, сначала упрощаем, а уже потом считаем период. Особенно осторожно нужно обращаться с квадратами, произведениями синусов и косинусов и с модулями: у $y = \lvert \sin x \rvert$ период тоже $\pi$, а не $2\pi$.

Вторая ловушка - несоизмеримые периоды. У функции $y = \sin x + \sin \sqrt{2}\,x$ отношение периодов иррационально, общего кратного не существует, и функция не периодична вовсе. Формально это значит, что уравнение $T = 2\pi n = \dfrac{2\pi m}{\sqrt{2}}$ не имеет решений в целых числах. Периодичность - лишь одно из свойств функции, которое проверяют при исследовании; рядом с ним обычно стоит симметрия, и её удобно разобрать по отдельной задаче про определение чётности функции.

Период и непрерывность связаны: у тангенса внутри каждого периода сидит полюс, и при построении графика его отмечают вместе с осью симметрии - классификация таких особенностей разобрана в задаче про точки разрыва функции.

Частые ошибки

• Делят $2\pi$ на коэффициент тангенса. У $y = \operatorname{tg} 6x$ период равен $\dfrac{\pi}{6}$, а не $\dfrac{2\pi}{6}$: ответ завышается ровно вдвое.
• Умножают на $k$ вместо деления. У $y = \sin \dfrac{x}{2}$ период $4\pi$, а не $\dfrac{\pi}{2}$. Простая проверка здравым смыслом: чем больше коэффициент, тем чаще колебания и тем короче период.
• Считают, что амплитуда влияет на период. Множитель перед функцией и постоянное слагаемое растягивают и двигают график по вертикали, а период задаётся только коэффициентом при $x$.
• Забывают модуль при отрицательном $k$. У $y = \cos(-4x)$ период равен $\dfrac{\pi}{2}$, а не отрицательному числу.
• Складывают периоды слагаемых вместо взятия НОК. Для $y = \sin 3x + \cos 2x$ сумма $\dfrac{2\pi}{3} + \pi = \dfrac{5\pi}{3}$ периодом не является: подстановка это сразу опровергает.
• Останавливаются на первом подошедшем числе, не проверив, нет ли меньшего. Проверка сдвигом на $\dfrac{T}{2}$ занимает одну строку и снимает вопрос.

FAQ

Как найти период, если аргумент имеет вид $kx + b$? Точно так же, по коэффициенту $k$. Слагаемое $b$ сдвигает график влево или вправо, но не растягивает его, поэтому длина волны не меняется: у $y = \sin\left(3x - \dfrac{\pi}{5}\right)$ период остаётся равным $\dfrac{2\pi}{3}$.

Влияет ли знак коэффициента на ответ? Нет. Замена $k$ на $-k$ отражает график относительно оси ординат, а расстояние между одинаковыми точками сохраняется. Поэтому в формуле стоит модуль, и период всегда получается положительным.

Что делать, если периоды слагаемых несоизмеримы? Записать их отношение и проверить, рационально ли оно. Если отношение периодов - иррациональное число, общего кратного нет и функция непериодична. Такой ответ в контрольной вполне допустим, его нужно обосновать одной строкой.

Как проверить найденный период без графика? Подставить $x + T$ в исходную формулу и свернуть выражение по формулам приведения: должно получиться исходное выражение. Затем подставить $\dfrac{T}{2}$ и убедиться, что равенство нарушается, иначе найденное число не наименьшее.

Коротко

1. Для синуса и косинуса $T = \dfrac{2\pi}{\lvert k \rvert}$, для тангенса и котангенса $T = \dfrac{\pi}{\lvert k \rvert}$, где $k$ - коэффициент при $x$.
2. Амплитуда, вертикальный сдвиг и слагаемое внутри аргумента на период не влияют.
3. Для суммы считаем периоды слагаемых по отдельности и берём НОК: НОК числителей делим на НОД знаменателей, результат умножаем на $\pi$.
4. Перед вычислением упрощаем функцию тождествами: квадраты и модули часто уменьшают период вдвое.
5. Ответы разобранной задачи: $\dfrac{2\pi}{3}$, $4\pi$, $\dfrac{\pi}{6}$ и $2\pi$.