Как вычислить определённый интеграл: пример решения

Дано: $\int_0^1 x e^{2x}\,dx$. Найти: числовое значение определённого интеграла.

Под интегралом стоит произведение многочлена на экспоненту, поэтому первообразная берётся интегрированием по частям, а числовой ответ даёт формула Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Ответ: $\dfrac{e^2+1}{4} \approx 2{,}097$. Калькулятор сверху считает первообразную и подстановку пределов для четырёх типовых классов интегралов, а ниже идёт решение по шагам.

Решение по шагам

Дано: $\int_0^1 x e^{2x}\,dx$, нижний предел $a = 0$, верхний предел $b = 1$.

Шаг 1. Определяем метод. Табличной такая функция не является: это произведение $x$ на $e^{2x}$. Множитель $x$ при дифференцировании превращается в единицу и исчезает, а экспонента при интегрировании остаётся собой. Значит, работает интегрирование по частям.

Замена здесь не помогает: производная показателя равна двойке, а не $x$, поэтому подстановка $t = 2x$ множитель перед экспонентой не убирает. Проверка на замену занимает пару секунд и делается до всех выкладок - в подынтегральном выражении ищут функцию и её производную рядом.

Шаг 2. Записываем формулу по частям для определённого интеграла. Пределы подставляются сразу, обратный переход не нужен:

$$\int_a^b u\,dv = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b v\,du.$$

Шаг 3. Разбиваем подынтегральное выражение. Берём $u = x$ и $dv = e^{2x}\,dx$, тогда

$$du = dx, \qquad v = \int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2}.$$

Константу интегрирования у $v$ не пишем: она всё равно сократится при подстановке пределов.

Шаг 4. Подставляем в формулу.

$$\int_0^1 x e^{2x}\,dx = \Big[\frac{x\,e^{2x}}{2}\Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{e^{2x}}{2}\,dx.$$

Шаг 5. Считаем внеинтегральный член. Это уже обычная подстановка по Ньютону-Лейбницу:

$$\Big[\frac{x\,e^{2x}}{2}\Big]_0^1 = \frac{1 \cdot e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot e^{0}}{2} = \frac{e^2}{2} \approx 3{,}695.$$

Шаг 6. Считаем оставшийся интеграл. Он табличный:

$$\int_0^1 \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\Big[\frac{e^{2x}}{2}\Big]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{4} \approx 1{,}597.$$

Шаг 7. Собираем ответ. Вычитаем одно из другого и приводим к общему знаменателю:

$$\frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{2e^2 - e^2 + 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.$$

Ответ: $\displaystyle\int_0^1 x e^{2x}\,dx = \frac{e^2+1}{4} \approx 2{,}097$.

Грубая прикидка подтверждает порядок величины: на отрезке от нуля до единицы функция растёт от $0$ до $e^2 \approx 7{,}39$, среднее значение около двух, длина отрезка равна единице, значит ответ должен быть примерно двойкой. Так и вышло.

Формула Ньютона-Лейбница и откуда она берётся

Формула связывает две совершенно разные вещи: предел интегральных сумм и первообразную. Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, а $F$ - любая её первообразная, то определённый интеграл равен приращению первообразной на этом отрезке.

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b.$$

Доказательство опирается на функцию с переменным верхним пределом $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. По теореме Барроу её производная равна подынтегральной функции: $\Phi'(x) = f(x)$, то есть $\Phi$ сама является первообразной. Любые две первообразные отличаются на константу, поэтому $F(x) = \Phi(x) + C$, и в разности $F(b) - F(a)$ эта константа исчезает.

Отсюда два практических вывода. Первый: в ответе определённого интеграла никогда не пишут $+C$ - он сокращается. Второй: результат не зависит от того, какую именно первообразную ты выбрал, поэтому проверять ответ по чужому решебнику с другой записью первообразной бессмысленно, сравнивать надо числа.

Обрати внимание и на смысл записи: определённый интеграл - это число, а не функция. У неопределённого интеграла ответом служит целое семейство первообразных, у определённого - одно конкретное значение, зависящее только от $f$ и от концов отрезка. Именно поэтому переменную интегрирования можно называть как угодно: $\int_a^b f(x)\,dx$ и $\int_a^b f(t)\,dt$ - это одно и то же число.

Условие непрерывности - не формальность. Если на отрезке есть разрыв, формула даёт бессмыслицу. Классический пример: $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$ формально равен $\Big[-\frac{1}{x}\Big]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$, хотя подынтегральная функция всюду положительна. На самом деле интеграл расходится, и такие случаи разбираются в теории несобственных интегралов.

Замена переменной: пределы меняются вместе с переменной

Второй базовый приём - подстановка. Вычислим $\int_0^2 \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+5}}$. Замена напрашивается: $t = x^2 + 5$, тогда $dt = 2x\,dx$, то есть $x\,dx = \dfrac{dt}{2}$, и числитель уходит целиком.

Признак удачной замены простой: под интегралом видна некоторая функция и рядом, с точностью до числового множителя, её производная. Здесь под корнем стоит $x^2+5$, а в числителе - $x$, то есть половина производной этого выражения. Значит, после подстановки переменная $x$ исчезнет полностью, а не останется висеть в остатке.

Ключевой шаг - пересчёт пределов. Новые границы получаются подстановкой старых в формулу замены: $t(0) = 0^2 + 5 = 5$ и $t(2) = 2^2 + 5 = 9$.

$$\int_0^2 \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+5}} = \frac{1}{2}\int_5^9 \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2}\Big[2\sqrt{t}\Big]_5^9 = \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5} \approx 0{,}764.$$

Обратно к переменной $x$ возвращаться не нужно - это главное отличие от неопределённого интеграла. Как подбирать саму замену для разных классов подынтегральных выражений, подробно разобрано в статье про замену переменной в определённом интеграле. В калькуляторе сверху этот пример лежит на чипе «Замена»: сдвинь ползунок $c$ и посмотри, как вместе с ним едут значения первообразной на концах отрезка.

Интегрирование по частям: как выбрать u

За $u$ берут то, что упрощается при дифференцировании, за $dv$ - то, что легко интегрируется. Рабочее правило по типу произведения:

Второй случай выглядит неожиданно, но именно он спасает интеграл от логарифма. Возьмём $\int_1^e \ln x\,dx$, где явного произведения нет вовсе. Полагаем $u = \ln x$ и $dv = dx$, тогда $du = \dfrac{dx}{x}$ и $v = x$:

$$\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{dx}{x} = (e - 0) - \Big[x\Big]_1^e = e - (e - 1) = 1.$$

Третий случай особый: там формула применяется дважды, и исходный интеграл возвращается в правой части с коэффициентом. Его переносят влево и делят на получившийся множитель - приём называют циклическим интегрированием по частям.

Если под интегралом стоит многочлен второй или третьей степени, формулу применяют столько раз, какова его степень: каждое дифференцирование понижает степень на единицу, пока множитель не превратится в константу. Разумно после каждого применения выписывать промежуточный результат отдельной строкой, иначе в подстановках теряются знаки.

Проверка ответа и таблица первообразных

Самая надёжная проверка - продифференцировать найденную первообразную. Для нашей задачи $F(x) = \dfrac{e^{2x}(2x-1)}{4}$, и производная действительно даёт $x e^{2x}$. Вторая проверка - грубая численная: по формуле Симпсона с двумя отрезками получаем $\dfrac{0{,}5}{3}\big(0 + 4 \cdot 1{,}359 + 7{,}389\big) \approx 2{,}138$, что близко к точному $2{,}097$; подробности метода - в разборе численного интегрирования по Симпсону.

Большая часть школьных и вузовских интегралов закрывается коротким списком первообразных.

Полезны и свойства самого определённого интеграла: при перестановке пределов знак меняется, $\int_a^b f = -\int_b^a f$; отрезок можно разбить точкой $c$ и считать по кускам; постоянный множитель выносится за знак интеграла. Та же подстановка пределов работает и в прикладных задачах - например, когда считают математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Частые ошибки

• Не пересчитали пределы после замены. Перешли к $t$, а подставили старые $0$ и $2$ вместо $5$ и $9$ - ответ будет неверным, хотя все выкладки формально правильные.
• Написали $+C$ в определённом интеграле. Константа сокращается в разности, её присутствие в ответе сразу выдаёт непонимание формулы.
• Перепутали порядок подстановки. Считать надо $F(b) - F(a)$; обратный порядок даёт ответ с противоположным знаком.
• Неверно нашли $v$. Для $dv = e^{2x}dx$ первообразная равна $\dfrac{e^{2x}}{2}$, а не $e^{2x}$ и не $2e^{2x}$: при интегрировании коэффициент показателя уходит в знаменатель.
• Потеряли внеинтегральный член. В формуле по частям кроме нового интеграла есть подстановка $\Big[uv\Big]_a^b$, её забывают чаще всего.
• Применили формулу на отрезке с разрывом. Перед подстановкой пределов проверь, что подынтегральная функция непрерывна на всём $[a; b]$.

FAQ

Нужна ли константа интегрирования в определённом интеграле? Нет. При вычислении разности $F(b) - F(a)$ константа входит в оба слагаемых с одинаковым знаком и сокращается, поэтому в ответе её не пишут.

Что делать, если первообразная не берётся в элементарных функциях? Такое бывает часто: например, у $e^{-x^2}$ или $\dfrac{\sin x}{x}$ первообразной в элементарных функциях нет. Тогда интеграл считают численно - методом трапеций, Симпсона или квадратурами Гаусса, и ответ получается приближённым с оценкой погрешности.

Обязательно ли пересчитывать пределы при замене переменной? Не обязательно, но так короче. Альтернатива - найти первообразную в переменной $t$, вернуться к $x$ и только потом подставить исходные пределы; шагов больше, а риск ошибиться выше.

Что делать, если верхний предел меньше нижнего? Ничего особенного: формула Ньютона-Лейбница работает и в этом случае, просто ответ окажется со знаком минус. Формально $\int_a^b f = -\int_b^a f$.

Коротко

1. Определи класс подынтегральной функции: табличная, требует замены или интегрирования по частям.
2. Найди первообразную $F(x)$ выбранным методом; при замене сразу пересчитай пределы и не возвращайся к старой переменной.
3. Подставь пределы по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, без константы $C$.
4. Проверь ответ дифференцированием первообразной, а знак и порядок величины - грубой численной прикидкой.
5. Для примера $\int_0^1 x e^{2x}\,dx$ метод - по частям при $u = x$, ответ $\dfrac{e^2+1}{4} \approx 2{,}097$.